高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜昌市部分省級示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必在答題卡上填寫自己的姓名，并粘貼條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，用黑色水性筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分；每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，所以，又，所以.故選：C2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，必須，解得且，則函數(shù)的定義域為，故選：D．3.設(shè)函數(shù)則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，故，又成立，故，又因為，所以，所以，因為，所以．故選：B.4.冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則的值為（）A.﹣6 B.1 C.6 D.1或﹣6【答案】B【解析】∵冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，∴，且為偶數(shù)或當(dāng)時，滿足條件；當(dāng)時，，舍去因此：故選：B5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以排除A，當(dāng)時，，所以排除C，當(dāng)時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B，故選：D6.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以有，解得，故本題選A.7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，恒成立.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，當(dāng)時，恒成立知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時，由，可得，，解得，則；當(dāng)時，由，可得，解得，則.綜上所述，由，解得，當(dāng)時，由，可得，，解得，則；當(dāng)時，由，可得，顯然成立，則；當(dāng)時，由，可得，，解得或，則.綜上所述，，解得.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分；全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.）9.已知不等式的解集是，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由不等式的解集是，可得和是方程的兩個實(shí)數(shù)根，且，則，可得，所以A錯誤，C正確；由，可得，所以D正確；又由，令，可得，所以B正確.故選：BCD.10.已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A.的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.+的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，由，則，由，則當(dāng)時，取得最小值，故B錯誤；對于C，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C正確；對于D，設(shè)，解得，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.故選：ACD.11.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)滿足：B.函數(shù)的值域是C.對于任意的，都有D.在圖象上不存在不同的三個點(diǎn)，使得為等邊三角形【答案】AC【解析】由于，對于選項A，設(shè)任意，則；設(shè)任意，則，總之，對于任意實(shí)數(shù)恒成立，所以選項A正確，對于選項B，的值域為，又，所以選項B錯誤，對于選項C，當(dāng)，則，當(dāng)，則，所以選項C正確，對于選項D，取，此時，得到為等邊三角形，所以選項D錯誤，故選：AC．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)為上奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時，__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，則，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即.所以當(dāng)時，.故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】或【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，故最小值為即，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，故最小值為不合題意舍；當(dāng)時，此時函數(shù)在為減函數(shù)，故最小值為即，符合題意；綜上，或.故答案為:或.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的，當(dāng)時，有成立，則不等式的解集為______．【答案】【解析】令，由是定義在R上的奇函數(shù)，得，則為偶函數(shù)，由對任意的，當(dāng)時，有成立，得在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，不等式，因此，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值集合.解：（1）當(dāng)時，.由,得,則或，所以或（2）有題意得,則得,所以的取值集合為16.設(shè)命題，不等式恒成立；命題，使得不等式成立.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題有且只有一個是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），由題意可知，解得；（2）當(dāng)為真命題時，對于二次函數(shù)，其圖象對稱軸為，在區(qū)間上有，則，故，成立等價于，即，若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，綜上，.17.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）用定義證明：函數(shù)在上是遞減函數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)的范圍.（1）解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，又因為，所以解得，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，此時滿足，即函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，所以，所求函數(shù)的解析式為（2）證明：設(shè)，則，因為，所以，所以，即，則函數(shù)在上是遞減函數(shù)（3）解：因為，即，又因為由（2）知函數(shù)在上是遞減函數(shù)，所以，即，解得，所以，所求實(shí)數(shù)的范圍為18.隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是0千米/小時.（1）若車流速度不小于40千米/小時，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)的車流量（單位時間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時），并指出當(dāng)車流量最大時的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：）（1）解：由題意知當(dāng)（輛/千米）時，（千米/小時），代入，解得，所以，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，令，解得，所以.所以，若車流速度不小于40千米/小時，則車流密度的取值范圍是.（2）解：由題意得，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以，隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時，此時車流密度約為83輛/千米.19.已知函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有成立，則稱函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明：若不是，請說明理由；（2）若函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.解：（1）由題知，函數(shù)，定義域為，所以，不妨設(shè)，因為，所以，所以，所以是利普希茲條件函數(shù)（2）若函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”，則對于定義域上任意兩個，均有成立，不妨設(shè)，則恒成立，因為，所以，所以的最小值為．（3）由題意得在上恒成立，即，不妨設(shè)，所以，因為，所以，所以.湖北省宜昌市部分省級示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必在答題卡上填寫自己的姓名，并粘貼條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，用黑色水性筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分；每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，所以，又，所以.故選：C2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，必須，解得且，則函數(shù)的定義域為，故選：D．3.設(shè)函數(shù)則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，故，又成立，故，又因為，所以，所以，因為，所以．故選：B.4.冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則的值為（）A.﹣6 B.1 C.6 D.1或﹣6【答案】B【解析】∵冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，∴，且為偶數(shù)或當(dāng)時，滿足條件；當(dāng)時，，舍去因此：故選：B5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以排除A，當(dāng)時，，所以排除C，當(dāng)時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B，故選：D6.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以有，解得，故本題選A.7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，恒成立.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，當(dāng)時，恒成立知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時，由，可得，，解得，則；當(dāng)時，由，可得，解得，則.綜上所述，由，解得，當(dāng)時，由，可得，，解得，則；當(dāng)時，由，可得，顯然成立，則；當(dāng)時，由，可得，，解得或，則.綜上所述，，解得.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分；全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.）9.已知不等式的解集是，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由不等式的解集是，可得和是方程的兩個實(shí)數(shù)根，且，則，可得，所以A錯誤，C正確；由，可得，所以D正確；又由，令，可得，所以B正確.故選：BCD.10.已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A.的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.+的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，由，則，由，則當(dāng)時，取得最小值，故B錯誤；對于C，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C正確；對于D，設(shè)，解得，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.故選：ACD.11.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)滿足：B.函數(shù)的值域是C.對于任意的，都有D.在圖象上不存在不同的三個點(diǎn)，使得為等邊三角形【答案】AC【解析】由于，對于選項A，設(shè)任意，則；設(shè)任意，則，總之，對于任意實(shí)數(shù)恒成立，所以選項A正確，對于選項B，的值域為，又，所以選項B錯誤，對于選項C，當(dāng)，則，當(dāng)，則，所以選項C正確，對于選項D，取，此時，得到為等邊三角形，所以選項D錯誤，故選：AC．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)為上奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時，__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，則，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即.所以當(dāng)時，.故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】或【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，故最小值為即，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，故最小值為不合題意舍；當(dāng)時，此時函數(shù)在為減函數(shù)，故最小值為即，符合題意；綜上，或.故答案為:或.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的，當(dāng)時，有成立，則不等式的解集為______．【答案】【解析】令，由是定義在R上的奇函數(shù)，得，則為偶函數(shù)，由對任意的，當(dāng)時，有成立，得在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，不等式，因此，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值集合.解：（1）當(dāng)時，.由,得,則或，所以或（2）有題意得,則得,所以的取值集合為16.設(shè)命題，不等式恒成立；命題，使得不等式成立.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題有且只有一個是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），由題意可知，解得；（2）當(dāng)為真命題時，對于二次函數(shù)，其圖象對稱軸為，在區(qū)間上有，則，故，成立等價于，即，若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，綜上，.17.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）用定義證明：函數(shù)在上是遞減函數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)的范圍.（1）解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，又因為，所以解得，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，此時滿足，即函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，所以，所求函數(shù)的解析式為（2）證明：設(shè)，則，因為，所以，所以，即，則函數(shù)在上是遞減函數(shù)（3）解：因為，即，又因為由（2）知函數(shù)在上是遞減函數(shù)，所以，即，解得，所以，所求實(shí)數(shù)的范圍為18.隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：