年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國一卷）數(shù)學試卷評析本套數(shù)學試卷緊扣《普通高中數(shù)學課程標準》和高考試題命制的總體要求，融合了《高考評價體系》中對于數(shù)學核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和學科思維的延續(xù)性考查思想。全卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，題型包括單項選擇題、多項選擇題、填空題和解答題，貼近近年來全國卷的常規(guī)命題樣式。整卷共包含8道單選題、3道多選題、3道填空題、5道解答題，分值分布合理，總分設置與往年一致，同時展現(xiàn)出鮮明的“穩(wěn)中有新”的特點。試卷在知識覆蓋方面橫跨代數(shù)、幾何、三角、向量、概率統(tǒng)計等多個板塊，也兼顧了學生對數(shù)形結(jié)合、邏輯推理和實踐應用能力的考查。從題型和題量上看，選擇題共8小題（每題5分），多選題3小題（每題6分），填空題3小題（每題5分），解答題5小題（合計77分），整份試卷采用經(jīng)典的四大題型組合，區(qū)分度較為明顯。其中，第一部分（選擇題、多選題）偏重基礎概念和常見題型，第二部分（填空題、解答題）更加側(cè)重綜合運用與高階思維，能較好體現(xiàn)分層選拔的功能。整體難度設置平穩(wěn)，其中對學生知識遷移、思維靈活度的要求略有提升，意在考核學生在陌生情境中解決問題的能力。本卷考查知識點包括復數(shù)運算、集合與補集、三角函數(shù)與圖像性質(zhì)、雙曲線與離心率計算、正三棱柱中的空間向量及幾何關(guān)系、拋物線焦點與準線、橢圓標準方程、概率與統(tǒng)計推斷、數(shù)列通項與求和、導數(shù)與切線、立體幾何中平面與直線的垂直平行關(guān)系等。其中，概率統(tǒng)計題（如獨立性檢驗的應用）與解析幾何題（如拋物線、橢圓）緊扣高中階段重要知識。三個多選題的設置，在一定程度上提升了思考的綜合性，防止學生只會機械套用公式，對相關(guān)概念的本質(zhì)理解有更高要求。試卷緊密圍繞數(shù)學學科核心素養(yǎng)，如“數(shù)學抽象”“邏輯推理”“數(shù)學建?！薄爸庇^想象”等展開命題。例如第6題以帆船比賽中“真風”“視風”向量的合成和分解考查學生建模與幾何直觀的能力；統(tǒng)計與概率部分則注重對實際應用的考量，契合課程標準對大數(shù)據(jù)背景下數(shù)據(jù)分析與推斷能力的要求。類似的情境化問題能夠幫助學生認識到數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，實現(xiàn)學科素養(yǎng)的綜合提升。從難度分布和基礎性要求看，本卷兼顧了不同地區(qū)教學進度和學生整體認知水平：基礎題部分如集合、復雜度不高的三角與數(shù)列題，有助于中等程度學生穩(wěn)步得分；而空間向量綜合、解析幾何綜合及概率統(tǒng)計推斷等題，是對拔尖學生提出更高層次的挑戰(zhàn)。此種差異化設置，既能讓大多數(shù)學生在基礎層面完成穩(wěn)固考查，也能區(qū)分出具備較強探究和綜合處理能力的高水平學生。全卷不僅要求學生掌握常規(guī)知識與方法，而且還需在綜合題中靈活應用幾何思想、向量方法及導數(shù)概念。教學過程中，教師應在鞏固基礎算法與公式的同時，鼓勵學生從多角度、多模型理解與分析問題，鍛煉抽象思維與推理能力。試題多次出現(xiàn)新穎應用場景，如運用獨立性檢驗判斷超聲波檢查結(jié)果等真實背景問題，引導學生關(guān)注社會實際。這種命題方式對一線教學提出了更高要求：要注重引導學生開展數(shù)學探究活動，讀懂題目情境，抓住本質(zhì)結(jié)構(gòu)，將數(shù)學手段自如地應用于現(xiàn)實問題。綜上所述，2025年全國一卷數(shù)學試卷在題型布局與分值配比方面延續(xù)了近年高考命題的穩(wěn)健風格，同時以適度的創(chuàng)新和探究型試題貫穿考查全過程。對各地區(qū)而言，該套試卷具有良好的示范與參考價值：既可幫助教師在復習策略與授課節(jié)奏上加強對高階能力與素養(yǎng)導向的落實，也能引導學生主動提升綜合運用和創(chuàng)新思維水平，為后續(xù)應考與終身學習奠定堅實的知識與素養(yǎng)基礎。1.題型數(shù)量和分值分布未發(fā)生明顯變化與前一年相比，單選、多選、填空與解答四大題型的數(shù)量和分值分布仍保持一致，但命題更加靈活，注重多知識點的交叉考查。①選擇題（單選）本卷包含共計8道單選題，每題5分，合計40分，考查范圍涵蓋復數(shù)運算、集合、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等常規(guī)知識點。②選擇題（多選）本卷設置3道多選題，每題6分，合計18分，更側(cè)重對立體幾何、解析幾何與函數(shù)綜合等內(nèi)容的區(qū)分考查，要求考生在空間想象、函數(shù)性質(zhì)判斷等方面具有較強的綜合分析能力。③填空題共有3小題，每題5分，合計15分，題目考查等比數(shù)列、概率統(tǒng)計與函數(shù)應用，考查計算與分析的準確度。④解答題共5小題，總分77分。解答題多融合了統(tǒng)計、立體幾何綜合、數(shù)列綜合、圓錐曲線、導數(shù)應用與三角函數(shù)綜合等，既考查運算求解，又要求邏輯推斷和思維嚴謹。2.情境設置更加貼近實際例如帆船比賽中的“風力等級”綜合題，突出了對物理背景和現(xiàn)實情境的理解要求；在概率統(tǒng)計、數(shù)列及三角函數(shù)等題目中，也出現(xiàn)了更貼近生活的素材，凸顯學科融合和應用價值。3.考查深度與知識融合度提升多選題與解答題進一步融合向量、數(shù)列、三角、解析幾何、概率統(tǒng)計等內(nèi)容，尤以極坐標思維、空間想象力以及函數(shù)綜合分析為重點，要求學生在靈活運用多個章節(jié)知識的同時，突出推理論證能力。4.思維與能力要求更高雖然題型形式上延續(xù)了傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，但整體命題更注重高階思維能力（如構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、綜合證明），對考生的嚴謹推理、過程表達以及創(chuàng)新思考都提出了更高要求。以下根據(jù)本試卷所含的各類題型及在試卷中所占比重，先對整體結(jié)構(gòu)進行說明，然后通過表格方式呈現(xiàn)每個題目的分值、題型、考查內(nèi)容、難易分析，最后對全卷的總體難度進行評估，并列舉不同層級難度的題目特點。（一）整體結(jié)構(gòu)選擇題（單選）：共8小題，每小題5分，合計40分。選擇題（多選）：共3小題，每小題6分，合計18分。填空題：共3小題，每小題5分，合計15分。解答題：共5小題，合計77分。全卷總分=40（二）分值、考查內(nèi)容與難易分析表下表按題號順序依次列出各題分值、題型、主要考查內(nèi)容，以及對其難易程度的簡要評定。題號分值題型考查內(nèi)容難易分析15單選復數(shù)運算（求虛部）易25單選集合與補集易35單選雙曲線離心率中45單選三角函數(shù)對稱中心（正切函數(shù)）易55單選周期函數(shù)與偶函數(shù)易65單選向量運算與風力等級中75單選圓與直線距離中85單選指數(shù)方程與大小比較中96多選立體幾何（正三棱柱）中106多選拋物線焦點與準線中116多選三角形面積、三角函數(shù)中125填空導數(shù)與切線問題中135填空等比數(shù)列公比求解易145填空概率與期望（古典概型、期望計算）中1513解答獨立性檢驗（列聯(lián)表、統(tǒng)計推斷）中1615解答數(shù)列性質(zhì)（等差數(shù)列）及相關(guān)函數(shù)中1715解答立體幾何（四棱錐、球心位置、線面關(guān)系）較難1817解答橢圓、離心率、軌跡方程較難1917解答三角函數(shù)不等式、導數(shù)綜合較難（三）總體難度評估o容易題：往往涉及基礎知識的直接應用，計算量小或思路清晰，考查對概念和公式的熟練掌握，如求復數(shù)虛部、集合運算及簡單三角函數(shù)特性等。o中等題：需要一定的分析與推理，綜合運用多種知識點，如圓與直線距離的討論、概率與期望的計算、立體幾何的平行與垂直判定等，稍具技巧性但整體難度仍可控。o難題：常在綜合性較強的解答題中出現(xiàn)，融合多模塊知識點（如橢圓、球面、三角函數(shù)不等式與導數(shù)等），不僅需要深入理解數(shù)學原理，還要求對步驟和方法進行靈活變通與運用。從整體來看，本卷題目覆蓋面廣，考查了代數(shù)、幾何、三角、解析幾何、概率統(tǒng)計等多領域知識，題型結(jié)構(gòu)層次分明，易、中、難比例合理，既適合基礎扎實的考生穩(wěn)步得分，也給優(yōu)秀學生提供了難度較高的思維挑戰(zhàn)。結(jié)合本套試卷的特點，從知識梳理、題型方法、心理調(diào)適和命題趨勢四個方面，為同學們提供后續(xù)復習與備考建議。請同學們根據(jù)自身實際，合理規(guī)劃復習進程。1.復數(shù)與集合：復數(shù)虛部、實部運算常見失誤在于未準確區(qū)分實部和虛部；運算時要嚴格按照代數(shù)形式（即z=集合部分要熟悉補集、并集、交集等基本概念，特別關(guān)注全集界定與補集運算的異同。2.解析幾何與三角函數(shù)：雙曲線、橢圓、拋物線三大曲線公式與焦點性質(zhì)須熟記，尤其要掌握離心率與焦點弦相關(guān)關(guān)系。三角函數(shù)部分要重點關(guān)注周期、對稱性以及正切函數(shù)的對稱中心。對于y=atanx+3.立體幾何與空間向量：正三棱柱、四棱錐類空間題?？疾椤熬€面垂直”“線面平行”或“面面垂直”判定，建議熟記：1)若一條直線同時垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則該直線垂直于此平面。2)若兩個平面中各有相交直線，兩直線互相垂直，且其中一對對應直線平行，則可判定面面垂直。向量法是快速精準處理空間問題的抓手，要擅于設立坐標系后，靈活運用點、向量坐標表達來判定垂直或平行。4.數(shù)列、函數(shù)與不等式：等比數(shù)列求和時，一定要區(qū)分首項a1、公比q的正負及大小關(guān)系，善用求和公式Sn=a1三角不等式與函數(shù)最值的題型易考“存在性”或“恒成立”問題，可結(jié)合單位圓或圖象理解，或借助導數(shù)判斷函數(shù)增減性。若題目涉及cosx和sinx的特殊方程，注意在1.選擇題排錯技巧：對易混選項先代入檢驗或畫簡單草圖，結(jié)合關(guān)鍵點（如函數(shù)零點、極值點）判斷。對集合、復數(shù)、三角恒等式類試題，代入特殊數(shù)值（如0,若遇到公式型選項且時間緊，可考慮極值、端點值或簡單代數(shù)驗證法，先保證在會做的題上不丟分。2.解答題規(guī)范化：書寫要“先分析、再公式、后結(jié)論”，邏輯嚴密。尤其幾何證明題，先寫已知，再借助輔助線或設坐標，最后明確結(jié)論。圖象變換類題目要清晰標明平移、伸縮或旋轉(zhuǎn)關(guān)系；三角或數(shù)列題中出現(xiàn)的中間步驟，如“由tanx周期判斷對稱中心”或“由a3.專題突破建議：三角函數(shù)、解析幾何與不等式綜合：可多做綜合類大題，重點練習參數(shù)法、輔助變量法以及幾何圖象法。立體幾何與向量：注意正確建立坐標系，迅速把幾何量分解成坐標表達。對于場景復雜的四棱錐、三棱柱等題型，常見思路是“找基準面+定方向向量+垂直（或平行）判定”。1.貼近實際應用場景：題目常結(jié)合向量或函數(shù)模型解釋物理、航海等背景，要求既能建模又能抽象運算。例如“帆船賽事”風速合成的向量題，已成為近年熱點。2.綜合考查探究能力：后續(xù)復習要在“多知識點交匯”的綜合大題上多下功夫，比如“三角數(shù)列、幾何不等式”或“函數(shù)單調(diào)性與向量正交”聯(lián)動。3.參數(shù)與極值思想：命題慣于利用參數(shù)隱藏在題中的“最值”或“存在性”考點，如“a取何值使不等式存在解”“b最小值”。訓練時要熟練運用導數(shù)、三角恒等式或幾何方法進行求解。同學們在后續(xù)復習中，應針對上述知識與題型特點構(gòu)建整體復習規(guī)劃：先梳理基本概念、公式和定理，專項強化薄弱部分，再進行跨模塊的綜合提升。與此同時，不斷調(diào)整心態(tài)、優(yōu)化答題技巧，力求在有限復習時間內(nèi)，實現(xiàn)最大化提升。祝各位在后續(xù)的考試準備中順利進步！2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國一卷）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.的虛部為（）A． B．0 C．1 D．6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.【詳解】因為，所以其虛部為1，故選：C．2.設全集，集合，則中元素個數(shù)為（）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補集的定義即可求出．【詳解】因為，所以，中的元素個數(shù)為，故選：C．3.若雙曲線C的虛軸長為實軸長的倍，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合和離心率公式求解【詳解】設雙曲線的實軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，于是，則，即.故選：D4.若點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結(jié)論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對稱中心橫坐標滿足，即的對稱中心是，即，又，則時最小，最小值是，即.故選：B5.設是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當時，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對一切成立，于是.故選：A6.帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學中稱為視風風速，視風風速對應的向量，是真風風速對應的向量與船行風速對應的向量之和，其中船行風速對應的向量與船速對應的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應關(guān)系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應的向量與船速對應的向量如圖2（風速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風為（）等級風速大小m/s名稱21.1~3.3輕風33.4~5.4微風45.5~7.9和風58.0~10.1勁風A．輕風 B．微風 C．和風 D．勁風【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題目條件和圖寫出視風風速對應的向量和船行風速對應的向量，求出真風風速對應的向量，得出真風風速的大小，即可由圖得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，視風風速對應的向量為：，視風風速對應的向量，是真風風速對應的向量與船行風速對應的向量之和，船速方向和船行風速向量方向相反，設真風風速對應的向量為，船行風速對應的向量為，∴，船行風速：，∴，，∴由表得，真風風速為輕風，故選：A．7.若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線的距離為的點有且僅有個，∵圓心到直線的距離為：，故由圖可知，當時，圓上有且僅有一個點（點）到直線的距離等于；當時，圓上有且僅有三個點（點）到直線的距離等于；當則的取值范圍為時，圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于.故選：B．8.若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】法一：設，對討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳解】法一：設，所以令，則，此時，A有可能；令，則，此時，C有可能；令，則，此時，D有可能；故選：B．法二：設，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在正三棱柱中，D為BC中點，則（）A． B．平面C． D．平面【答案】BD【解析】【分析】法一：對于A，利用空間向量的線性運算與數(shù)量積運算即可判斷；對于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對于D，利用線面平行的判定定理即可判斷；對于C，利用反證法即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】法一：對于A，在正三棱柱中，平面，又平面，則，則，因為是正三角形，為中點，則，則又，所以，則不成立，故A錯誤；對于B，因為在正三棱柱中，平面，又平面，則，因為是正三角形，為中點，則，又平面，所以平面，故B正確；對于D，因為在正三棱柱中，又平面平面，所以平面，故D正確；對于C，因為在正三棱柱中，，假設，則，這與矛盾，所以不成立，故C錯誤；故選：BD．法二：如圖，建立空間直角坐標系，設該正三棱柱的底邊為，高為，則，對于A，，則，則不成立，故A錯誤；對于BD，，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，則平面，平面，故BD正確；對于C，，則，顯然不成立，故C錯誤；故選：BD．10.設拋物線的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點A作準線l的垂線，垂足為D，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】對于A，先判斷得直線為拋物線的準線，再利用拋物線的定義即可判斷；對于B，利用三角形相似證得，進而得以判斷；對于C，利用直線的反設法（法一）與正設法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理與焦點弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得，，結(jié)合焦半徑公式可判斷D．【詳解】法一：對于A，對于拋物線，則，其準線方程為，焦點，則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對于B，過點作準線的垂線，交于點，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯誤；對于C，易知直線的斜率不為，設直線的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，又，，所以，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，在與中，，所以，則，即，同理，又，，所以，則，故D正確.故選：ACD．法二：對于A，對于拋物線，則，其準線方程為，焦點，則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對于B，過點作準線的垂線，交于點，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯誤；對于C，當直線的斜率不存在時，；當直線的斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立，消去，得，易知，則，所以，綜上，，故C正確；對于D，在與中，，所以，則，即，同理，當直線的斜率不存在時，，；所以，即；當直線的斜率存在時，，，所以，則；綜上，，故D正確.故選：ACD．11.已知的面積為，若，則（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】對由二倍角公式先可推知A選項正確，方法一分情況比較和的大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎上，利用和差化積公式，回避討論過程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個選項.【詳解】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項正確；由誘導公式，，展開可得，即，下證.方法一：分類討論若，則可知等式成立；若，即，由誘導公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導出，則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：邊角轉(zhuǎn)化時，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負會有兩個鈍角，不成立），于是，結(jié)合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進）由，結(jié)合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，則，可同方法一種討論的角度，推出，方法四：和差化積（方法一改進）續(xù)法三：，可知同時為或者異號，即，展開可得，，即，結(jié)合和差化積，，由上述分析，，則，則，則，即，于是，可知.由，由，則，即，則，同理，由上述推導，，則，不妨設，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項正確由兩角和的正切公式可得，，設，則，由，則，則，于是，B選項正確，由勾股定理可知，，D選項錯誤.故選：ABC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.若直線是曲線的切線，則_________.【答案】【解析】【分析】法一：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算求得切點，進而代入曲線方程即可得解；法二：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算得到關(guān)于切點與的方程組，解之即可得解.【詳解】法一：對于，其導數(shù)為，因為直線是曲線切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點坐標為，因為切點在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對于，其導數(shù)為，假設與的切點為，則，解得.故答案為：.13.若一個等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為_________.【答案】【解析】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前項和的定義，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項和性質(zhì)得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設的公比為，當時，，即，則，顯然不成立，舍去；當時，則，兩式相除得，即，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：.法二：設該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設的公比為，所以，，所以，則，所以，所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.法三：設該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設的公比為，因為，又，所以，所以，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.14.一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標號，若每次取一顆，有放回地取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X，則數(shù)學期望_________.【答案】##【解析】【分析】法一：根據(jù)題意得到的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得的分布列，從而求得；法二，根據(jù)題意假設隨機變量，利用對立事件與獨立事件的概率公式求得，進而利用數(shù)學期望的性質(zhì)求得.【詳解】法一：依題意，的可能取值為1、2、3，總的選取可能數(shù)為，其中：三次抽取同一球，選擇球的編號有5種方式，故，：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次），選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式，其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件的可能情況有種，故，：三種不同球被取出，由排列數(shù)可知事件的可能情有況種，故，所以.故答案為：.法二：依題意，假設隨機變量，其中：其中，則，由于球的對稱性，易知所有相等，則由期望的線性性質(zhì)，得，由題意可知，球在單次抽取中未被取出的概率為，由于抽取獨立，三次均未取出球的概率為，因此球至少被取出一次的概率為：，故，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計患該疾病20180200未患該疾病78020800合計8002001000（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計值；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附，0.0050.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）（2）有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)獨立性檢驗的基本思想,求出,然后與小概率值對應的臨界值比較,即可判斷.【小問1詳解】根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的人中有人患病，所以的估計值為；【小問2詳解】零假設為：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，根據(jù)小概率值獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過.16.設數(shù)列滿足，（1）證明：為等差數(shù)列；（2）設，求．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給條件化簡，即可證明結(jié)論；（2）先求出的通項公式，代入函數(shù)并求導，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項和得出導函數(shù)表達式，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意證明如下，，在數(shù)列中，，，∴，即，∴是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由題意及（1）得，，在數(shù)列中，首項為3，公差為1，∴，即，在中，，∴，當且時，∴，∴∴.17.如圖所示的四棱錐中，平面，．（1）證明：平面平面；（2），，，，在同一個球面上，設該球面的球心為．（i）證明：在平面上；（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）通過證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標系并表達出各點的坐標，假設在同一球面上，在平面中，得出點坐標，進而得出點在空間中的坐標，計算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長，過點作的平行線，交的延長線為，連接，，利用勾股定理求出的長，進而得出的長，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【小問1詳解】由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標系如下圖所示，∴，若，，，在同一個球面上，則，在平面中，∴，∴線段中點坐標，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當時，，解得：，∴在立體幾何中，，∵解得：，∴點在平面上.法二：∵，，，在同一個球面上，∴球心到四個點的距離相等在中，到三角形三點距離相等的點是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識得，，，，∴，∴點是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點即為點，，，所在球的球心，此時點在線段上，平面，∴點在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過點作的平行線，交的延長線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.18.設橢圓的離心率為，下頂點為A，右頂點為B，．（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足．（i）設