高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省永州市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，.故選：C2.已知，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)（a，），則.因?yàn)椋?即，整理得，所以，解得，所以.故選：C3.設(shè)均為單位向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.4.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，所以.故選：D.5.已知等比數(shù)列是其前項(xiàng)和，，則（）A. B.8 C.7 D.14【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，即，所以，所?故選：C.6.通遼是“最美中國文化旅游城市”，境內(nèi)旅游資源豐富，自然景觀優(yōu)美，其中的大青溝，孝莊園文化旅游區(qū)，珠日河草原旅游區(qū)，庫倫三大寺，孟家段國家濕地公園，銀沙灣，可汗山都是風(fēng)景宜人的旅游勝地，某班4個(gè)同學(xué)分別從7處風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則不同的選擇方案是（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】由題意每位同學(xué)都有7種選擇，則4名同學(xué)共有種選擇方案.故選：D.7.我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為“芻童”.如圖，在芻童中，，平面與平面之間的距離為3，則此“芻童”的體積為（）A.36 B.46 C.56 D.66【答案】C【解析】由，，，，且，則交于同一點(diǎn)，該“芻童”為四棱臺(tái)，矩形的面積為,矩形的面積為,且上下底面的高為3，所以四棱臺(tái)的體積.故選：C.8.若，分別是雙曲線：的右支和圓：上的動(dòng)點(diǎn)，且是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，雙曲線：則，，，設(shè)左焦點(diǎn)為，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、在線段與雙曲線右支、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小繁給出的遠(yuǎn)項(xiàng)中，有多項(xiàng)待合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.不存在常數(shù)項(xiàng) B.二項(xiàng)式系數(shù)和為1C.第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為128【答案】AC【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，對(duì)A，由，得(舍去)，所以展開式不存在常數(shù)項(xiàng)，故A正確；對(duì)B，二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，展開式共有項(xiàng)，所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確；對(duì)D，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線對(duì)稱中心 D.有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】，故A正確；令，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極小值，在取得極大值，即，，只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確D錯(cuò)誤；，所以關(guān)于對(duì)稱，故C正確。故選：ABC11.如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（）A.三棱錐的體積為 B.線段的長為C.點(diǎn)的軌跡長為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間的距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對(duì)于B，如圖①所示，設(shè)中心為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖②所示，由知，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成，其長度為圓周長的一半故C正確；對(duì)于D，，為在方向上的投影，由圖①可知，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，此時(shí)取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為_____________.【答案】【解析】函數(shù)中，，方程的根為，由函數(shù)是奇函數(shù)，得，解得，此時(shí)的定義域?yàn)?，，即函?shù)為奇函數(shù)，所以的值為.故答案為：13.鎮(zhèn)江西津渡的云臺(tái)閣，是一座宋元風(fēng)格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標(biāo)建筑之一.如圖，在云臺(tái)閣旁水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則云臺(tái)閣的高度為________米.【答案】【解析】設(shè)在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因?yàn)?所以，即，.故答案為：14.設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為__.若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為___.【答案】；6【解析】設(shè)以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)設(shè)為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理得，即有，∴.設(shè)內(nèi)切圓與x軸相切于M，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則，則,解之得又由內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為2，得，故.故答案為：，6四?解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的面積．解：（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，又，所以，又因?yàn)?，由正弦定理可得，則，所以為銳角，又，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，，且，因?yàn)?，所以，所以，，所以?6.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)榈酌娴酌妫?因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所?又，且平面，所以平面.又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以.設(shè)平面的法向量為，則，則取，得.設(shè)平面的法向量為，則，則取，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：臍橙數(shù)量/盒購物群數(shù)量/個(gè)12183218（1）求實(shí)數(shù)的值.并用組中值（每組的中點(diǎn)值）估計(jì)這100個(gè)購物群銷售臍橙總量的平均數(shù)；（2）假設(shè)所有購物群銷售臍橙的數(shù)量，其中為（1）中的平均數(shù)，.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個(gè)，銷售的臍橙在（單位：盒）內(nèi)的群為“級(jí)群”，銷售數(shù)量小于256盒的購物群為“級(jí)群”，銷售數(shù)量不小于616盒的購物群為“特級(jí)群”，該臍橙基地對(duì)每個(gè)“特級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)600元，每個(gè)“級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)100，對(duì)“級(jí)群”不獎(jiǎng)勵(lì)，則該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備多少獎(jiǎng)金？（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若，則，，.解：（1）由題意得，，解得.則這100個(gè)購物群銷售臍橙總量的平均數(shù)為.（2）由題意，則，故，故“級(jí)群”約有個(gè)；，故“特級(jí)群”約有個(gè)；則依題意，需要資金為元，即該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備95700元.18.已知橢圓及直線．（1）若直線與橢圓沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍；（2）為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線距離的最大值為，求直線的方程．解：（1）聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與橢圓沒有公共點(diǎn)，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.（2）由題意，點(diǎn)到直線距離的最大值，等價(jià)于與直線平行且與橢圓相切的直線與直線間的距離，由（1）中，，解得或，此時(shí)直線或直線與橢圓相切，當(dāng)與之間的距離為時(shí)，可得，解得或（舍去）；當(dāng)與之間的距離為時(shí)，可得，解得或（舍去），綜上可得，所求直線的方程為或.19.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，即，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，也為單調(diào)遞增函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，又，且，所以在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)；所以，由可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，湖南省永州市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，.故選：C2.已知，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)（a，），則.因?yàn)?，所?即，整理得，所以，解得，所以.故選：C3.設(shè)均為單位向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.4.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，所以.故選：D.5.已知等比數(shù)列是其前項(xiàng)和，，則（）A. B.8 C.7 D.14【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，即，所以，所?故選：C.6.通遼是“最美中國文化旅游城市”，境內(nèi)旅游資源豐富，自然景觀優(yōu)美，其中的大青溝，孝莊園文化旅游區(qū)，珠日河草原旅游區(qū)，庫倫三大寺，孟家段國家濕地公園，銀沙灣，可汗山都是風(fēng)景宜人的旅游勝地，某班4個(gè)同學(xué)分別從7處風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則不同的選擇方案是（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】由題意每位同學(xué)都有7種選擇，則4名同學(xué)共有種選擇方案.故選：D.7.我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為“芻童”.如圖，在芻童中，，平面與平面之間的距離為3，則此“芻童”的體積為（）A.36 B.46 C.56 D.66【答案】C【解析】由，，，，且，則交于同一點(diǎn)，該“芻童”為四棱臺(tái)，矩形的面積為,矩形的面積為,且上下底面的高為3，所以四棱臺(tái)的體積.故選：C.8.若，分別是雙曲線：的右支和圓：上的動(dòng)點(diǎn)，且是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，雙曲線：則，，，設(shè)左焦點(diǎn)為，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、在線段與雙曲線右支、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小繁給出的遠(yuǎn)項(xiàng)中，有多項(xiàng)待合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.不存在常數(shù)項(xiàng) B.二項(xiàng)式系數(shù)和為1C.第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為128【答案】AC【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，對(duì)A，由，得(舍去)，所以展開式不存在常數(shù)項(xiàng)，故A正確；對(duì)B，二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，展開式共有項(xiàng)，所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確；對(duì)D，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線對(duì)稱中心 D.有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】，故A正確；令，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極小值，在取得極大值，即，，只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確D錯(cuò)誤；，所以關(guān)于對(duì)稱，故C正確。故選：ABC11.如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（）A.三棱錐的體積為 B.線段的長為C.點(diǎn)的軌跡長為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間的距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對(duì)于B，如圖①所示，設(shè)中心為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖②所示，由知，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成，其長度為圓周長的一半故C正確；對(duì)于D，，為在方向上的投影，由圖①可知，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，此時(shí)取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為_____________.【答案】【解析】函數(shù)中，，方程的根為，由函數(shù)是奇函數(shù)，得，解得，此時(shí)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)，所以的值為.故答案為：13.鎮(zhèn)江西津渡的云臺(tái)閣，是一座宋元風(fēng)格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成為鎮(zhèn)江市的地標(biāo)建筑之一.如圖，在云臺(tái)閣旁水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則云臺(tái)閣的高度為________米.【答案】【解析】設(shè)在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因?yàn)?所以，即，.故答案為：14.設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為__.若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為___.【答案】；6【解析】設(shè)以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)設(shè)為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理得，即有，∴.設(shè)內(nèi)切圓與x軸相切于M，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則，則,解之得又由內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為2，得，故.故答案為：，6四?解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的面積．解：（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，又，所以，又因?yàn)?，由正弦定理可得，則，所以為銳角，又，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，，且，因?yàn)?，所以，所以，，所以?6.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)榈酌娴酌?，所?因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所?又，且平面，所以平面.又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以.設(shè)平面的法向量為，則，則取，得.設(shè)平面的法向量為，則，則取，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：臍橙數(shù)量/盒購物群數(shù)量/個(gè)12183218（1）求實(shí)數(shù)的值.并用組中值（每組的中點(diǎn)值）估計(jì)這100個(gè)購物群銷售臍橙總量的平均數(shù)；（2）假設(shè)所有購物群銷售臍橙的數(shù)量，其中為（1）中的平均