PAGEPAGE1第五講橢圓雙曲線拋物線的標準方程【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下橢圓（一）標準方程（1）焦點在x軸上的橢圓的標準方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0），焦點為F1（－c,0），F(xiàn)2（c,0）.（2）焦點在y軸上的橢圓的標準方程是eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a＞b＞0），焦點為F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c）.（二）．求橢圓的方程有兩種方法:（1）定義法.依據(jù)橢圓的定義，確定a2,b2的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：第一步：做推斷.依據(jù)條件推斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能（這時須要分類探討）.其次步：設(shè)方程.依據(jù)上述推斷設(shè)方程為或.第三步：找關(guān)系.依據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組（留意橢圓中固有的等式關(guān)系）.第四步：得橢圓方程.解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.【留意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，可進行分類探討或把橢圓的方程設(shè)為.二．雙曲線（一）標準方程（1）中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）；（2）中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）．（二）.待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型類型一與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ（λ≠0）類型二若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ（λ≠0）類型三與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1（－b2<k<a2）類型四過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設(shè)為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1（mn>0）或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1（mn<0）類型五與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1（b2<λ<a2）三．拋物線1.求拋物線的標準方程的方法（1）定義法依據(jù)拋物線的定義，確定p的值（系數(shù)p是指焦點到準線的距離），再結(jié)合焦點位置，求出拋物線方程．標準方程有四種形式，要留意選擇．（2）待定系數(shù)法①依據(jù)拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標準方程，然后依據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標準方程．②當(dāng)焦點位置不確定時，有兩種方法解決：法一分狀況探討，留意要對四種形式的標準方程進行探討，對于焦點在x軸上的拋物線，為避開開口方向不確定可分為y2＝2px（p>0）和y2＝－2px（p>0）兩種狀況求解法二設(shè)成y2＝mx（m≠0），若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個．同理，焦點在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my（m≠0）．假如不確定焦點所在的坐標軸，應(yīng)考慮上述兩種狀況設(shè)方程求標準方程，總結(jié)一句話，先定型再定量?！拘逕捥茁贰俊拘逕捥茁贰繛榫馁x《今日詩》，努力請從今日始考向一橢圓的標準方程【例1】求滿意下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點分別為，，且經(jīng)過點；（2）經(jīng)過點，；（3）長軸長與短軸長的和為18，焦距為6；（4）經(jīng)過點，且離心率；（5）經(jīng)過點，且與橢圓有相同的焦點；（6）經(jīng)過點，且與橢圓有相同的離心率．【答案】見解析【解析】（1）因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標準方程為解法一：由橢圓的定義知，所以又，所以，所以所求橢圓的標準方程為解法二：因為所求橢圓過點，所以又，聯(lián)立解得，，所以所求橢圓的標準方程為（2）解法一：若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標準方程為由已知條件得，解得，所以所求橢圓的標準方程為若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標準方程為由已知條件得，解得，由于，與沖突，故舍去綜上，所求橢圓的標準方程為解法二：設(shè)橢圓的一般方程為將點，代入一般方程，得，解得，所以所求橢圓的標準方程為（3）設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c由題意可知，結(jié)合可解得a＝5，b＝4，c＝3因為不確定焦點在哪個坐標軸上，所以所求橢圓的標準方程為或當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為由題意，得，因為，所以，從而所以所求橢圓的標準方程為當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為由題意，得，因為，解得，從而所以所求橢圓的標準方程為綜上，所以所求橢圓的標準方程為或解法一：求出焦點坐標，則可轉(zhuǎn)化為（1）的形式，此處不再贅述解法二：設(shè)所求橢圓的方程為，將點M的坐標代入可得，解得舍去）．故所求橢圓的標準方程為解法一求出離心率，由a，b，c之間的關(guān)系及方程過點N，列方程組即可求解，此處不再贅述解法二設(shè)所求橢圓的方程為或，將點N的坐標代入可得或，即，，故所求橢圓的標準方程為或，即或【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】若橢圓的焦點位置不確定，須要分焦點在x軸上和在y軸上兩種狀況探討，也可設(shè)橢圓的方程為，從而避開探討在橢圓的簡潔幾何性質(zhì)的應(yīng)用中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此僅依據(jù)這些條件確定的橢圓方程可能有兩個。與橢圓有相同焦點的橢圓方程可設(shè)為且與橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為，焦點在x軸上或，焦點在y軸上【舉一反三】1．與橢圓具有相同的離心率且過點（2，-3）的橢圓的標準方程是____________.【答案】【解析】易知橢圓的離心率．當(dāng)所求橢圓的焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓的方程為，把點（2，-）代入方程，得．又，解得，所以所求橢圓的方程為．當(dāng)所求橢圓的焦點在y軸上時，同理可設(shè)橢圓的方程為，把點代入方程，得．又，解得，所以所求橢圓的方程為．因此橢圓的標準方程是.2．已知橢圓的中心在原點，長軸在軸上，一焦點與短軸兩端點的連線相互垂直，焦點與長軸上較近頂點的距離為，則此橢圓的方程是___________.【答案】【解析】由題意中心在原點，長軸在x軸上，一焦點與短軸兩端點連線相互垂直，焦點與長軸上較近頂點的距離為，得所以橢圓方程為。2．已知為橢的兩個焦點,過點F2作橢圓的弦AB,若的周長為16,橢圓的離心率，則橢圓的方程為?！窘馕觥坑蓹E圓的定義得，，又橢圓的離心率，即，，橢圓的方程為．考向二雙曲線的標準方程【例2】求滿意下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點分別為，，且經(jīng)過點；（2），且經(jīng)過點；（3）經(jīng)過點，；（4）焦點在x軸上，虛軸長為8，且離心率；（5）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點；（6）經(jīng)過點，且與雙曲線有共同的漸近線．【答案】見解析【解析】（1）由題易知焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的方程則，所以所求雙曲線的標準方程為當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為(b＞0)又雙曲線經(jīng)過點，所以，則，不符合題意當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為(b＞0)又雙曲線經(jīng)過點，所以，解得所以所求雙曲線的標準方程為（4）由題意可設(shè)雙曲線的方程為．由2b=8，可得所以所求雙曲線的標準方程為解法一：橢圓方程可化為，焦點坐標為，故可設(shè)雙曲線的方程為其漸近線方程為，則，解得所以所求雙曲線的標準方程為解法二：由題意可知另一條漸近線方程為故可設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線與橢圓共焦點所以，所以所求雙曲線的標準方程為（6）由題意可設(shè)所求雙曲線方程為，將點的坐標代入，得，所以所求雙曲線的標準方程為【舉一反三】1．已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點，且它們的離心率之和為，則雙曲線C的方程是_______【答案】【解析】因為雙曲線C與橢圓有共同的焦點，所以c=4，且焦點在y軸上；設(shè)雙曲線的方程為，又離心率之和為，所以，解得，所以，因此雙曲線C的方程是.2．已知雙曲線的一條漸近線為2x+y=0，一個焦點為(，則雙曲線的方程為______．【答案】【解析】由題意得：則雙曲線的方程為：．3．已知雙曲線與橢圓有公共焦點且離心率為，則其標準方程為_____.【答案】雙曲線與橢圓有公共焦點，可得c＝5，雙曲線的離心率為，可得a＝3，則b＝4，則該雙曲線方程為：．考向三拋物線的標準方程【例3】求滿意下列條件的拋物線的標準方程：（1）經(jīng)過點，且以坐標軸為對稱軸；（2）焦點為直線與坐標軸的交點；（3）頂點在坐標原點，準線方程為．【答案】見解析【解析】（1）因為點在第三象限，所以可設(shè)拋物線的標準方程為或若點在上，則，解得若點在上，則，解得故所求拋物線的標準方程為或直線2x-3y-6=0與x軸的交點坐標（3,0），與y軸的交點坐標為（0，-2）當(dāng)焦點坐標為（3,0）時，當(dāng)焦點坐標為（0，-2）時，拋物線的標準方程為y2=12x或x2=-8y因為準線方程為，所以可設(shè)拋物線的標準方程為，且，故所求拋物線的標準方程為【套路總結(jié)】先定型再定量求拋物線的標準方程時，“定位”是關(guān)鍵，一般結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式【套路總結(jié)】先定型再定量求拋物線的標準方程時，“定位”是關(guān)鍵，一般結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式已知拋物線上一點的坐標，一般有兩種標準方程若已知拋物線的焦點坐標或準線方程，則可設(shè)出拋物線的標準方程，求出p的值即可1．求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)過點M(－6，6);(2)焦點F在直線l：3x－2y－6＝0上．【答案】（1）y2＝－6x或x2＝6y（2）y2＝8x或x2＝－12y.【解析】(1)∵點M(－6，6)在其次象限，∴過M的拋物線開口向左或開口向上．若拋物線開口向左，焦點在x軸上，設(shè)其方程為y2＝－2px(p>0)，將點M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴拋物線的方程為y2＝－6x.若拋物線開口向上，焦點在y軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)，將點M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴拋物線的方程為x2＝6y.綜上所述，拋物線的標準方程為y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直線l與x軸的交點為(2，0)，∴拋物線的焦點是F(2，0)，∴eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，∴拋物線的標準方程是y2＝8x.②∵直線l與y軸的交點為(0，－3)，即拋物線的焦點是F(0，－3)，∴eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，∴拋物線的標準方程是x2＝－12y.綜上所述，所求拋物線的標準方程是y2＝8x或x2＝－12y.2．已知拋物線y2=2px(p>0）的焦點為F，其準線與雙曲線相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p=_______________.【答案】2【解析】如圖，可得A代入雙曲線可得，解得p＝2，已知拋物線y=ax2(a>0)的準線為l,若l與圓C(x-3)2+y2=1相交所得弦長為，則a=___．【答案】【解析】拋物線y＝ax2（a＞0）的準線l：y，∴圓心（3，0）到其距離為.【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為________．【答案】eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1【解析】設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由e＝eq\f(\r(2),2)，知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝12.已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A(3，0)，并且以坐標軸為對稱軸，則橢圓的標準方程為________．【答案】eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1【解析】法一若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.若焦點在y軸上，設(shè)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上所述，橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.法二設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，則由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3×2\r(n)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3×2\r(m)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝81.))∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.3．若方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,m＋1)＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是。【答案】(－1，＋∞)【解析】依題意，應(yīng)有m＋1>0，即m>－1.若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為_____________．【答案】【解析】由題可得或，解得或5．若方程表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是_____．【答案】【解析】依據(jù)橢圓的標準方程的形式，可知方程表示橢圓的條件是：所以實數(shù)m的取值范圍是6．在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，射線AF2交橢圓于B若△AF1B的面積為，內(nèi)角A為，則橢圓的焦距為______．【答案】10【解析】由題意可得△AF1F2為等邊三角形，即有可得橢圓方程為，設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程可得，解得即有△AF1B的面積為即有橢圓的焦距為10．7.若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】(-2,2)【解析】由題意可得故答案為：(-2,2)．8．已知橢圓C：的右焦點為F(2,0)，F(xiàn)關(guān)于直線的對稱點Q在橢圓C上，則b=______．【答案】2【解析】設(shè)F關(guān)于的對稱點坐標為Q(x,y)則：將Q代入橢圓方程，可求得：b=2已知離心率為的橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若，且△PF1F2的面積為4，則橢圓的方程為_____．【答案】【解析】由橢圓（a＞b＞0）離心率為，可得：由且△PF1F2的面積為4，設(shè)，所以橢圓的方程為：。10．已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點,則橢圓C的標準方程為_____________.【答案】【解析】∵橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2＝4y的焦點．由題意，設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），則有解得a=，b＝c＝1，∴橢圓C的方程：．11．橢圓上隨意一點到其中一個焦點的距離恒大于1，則t的取值范圍為________【答案】【解析】當(dāng)t>4時，橢圓表示焦點在y軸上的橢圓，則由題意可得，解得；當(dāng)0<t<4時，橢圓表示焦點在x軸上的橢圓，則，由題意可得，解得3<t<4；綜上可知，實數(shù)t的取值范圍是。12．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線的右焦點F(2,0)到其漸近線的距離為1，則該雙曲線的標準方程是______．【答案】【解析】設(shè)右焦點為F(2,0)，一條漸近線為bx-ay=0，依據(jù)點到直線的距離公式所以雙曲線的方程為.13．若焦點在x軸的雙曲線經(jīng)過點(6,)，且其漸近線方程為，則此雙曲線的標準方程___．【答案】【解析】∵雙曲線經(jīng)過點，且其漸近線方程為y＝±x，∴設(shè)雙曲線方程為把點代入，得λ＝1．∴此雙曲線的標準方程為：．14．已知雙曲線右頂點坐標為(2,0)，一條漸近線方程為2x-y=0，則此雙曲線的標準方程為__________．【答案】【解析】依據(jù)雙曲線的頂點坐標可得a=2,漸近線方程2x=y故依據(jù)故方程為：。在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C與雙曲線有公共的漸近線，且經(jīng)過點P(﹣2，)，則雙曲線C的焦距為________________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，設(shè)雙曲線C的方程為，將(﹣2，)代入得則雙曲線C的焦距為.16．雙曲線：的離心率為2，其漸近線與圓相切，則該雙曲線的方程為__________．【答案】【解析】由題意知，，即，則，由圓的方程可知，其圓心坐標為，半徑，不妨取雙曲線漸近線，則，即，所以，則，故所求雙曲線的方程為.17.求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)橢圓過點(3,0)，離心率e＝eq\f(\r(6),3)；(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線相互垂直，且焦距為8；(3)求經(jīng)過點M(1,2)，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同離心率的橢圓的標準方程.(4)經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))；(5)c＝eq\r(6)，經(jīng)過點(－5，2)，焦點在x軸上．【答案】見解析【解析】(1)若焦點在x軸上，則a＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\r(6)，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.若焦點在y軸上，則b＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(9,a2))＝eq\f(\r(6),3)，解得a2＝27.∴橢圓的方程為eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求橢圓的方程為eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.(3)法一：由題意知e2＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,2b2)＋eq\f(x2,b2)＝1.將點M(1,2)代入橢圓方程得eq\f(1,2b2)＋eq\f(4,b2)＝1或eq\f(4,2b2)＋eq\f(1,b2)＝1解得b2＝eq\f(9,2)或b2＝3.故所求橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1.法二：設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝k2(k2>0)，將點M的坐標代入可得eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝k1或eq\f(4,12)＋eq\f(1,6)＝k2，解得k1＝eq\f(3,4)，k2＝eq\f(1,2)，故eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝eq\f(3,4)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝eq\f(1,2)，即所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1.(4)法一：若焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由于點Peq\b\lc\(\rc\