第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年山東省臨沂市、棗莊市、聊城市、菏澤市、濟寧市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖，數(shù)軸上表示?2的點是(

)A.M B.N C.P D.Q2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B.

C. D.3.我國“深藍2號”大型智能深海養(yǎng)殖網(wǎng)箱的主體是一個正六棱柱，其示意圖的主視圖是(

)

A. B.

C. D.4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風(fēng)景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據(jù)統(tǒng)計，山東省2024年全年接待游客超9億人次.數(shù)據(jù)“9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.9×107 B.0.9×108 C.5.已知a≠0，則下列運算正確的是(

)A.?2a+3a=5a B.(?2a3)2=4a6.某班學(xué)生到山東省博物館參加研學(xué)活動.博物館為同學(xué)們準備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品，每位同學(xué)可從中隨機抽取一個作為紀念品.若抽到每一款的可能性相等，則甲、乙兩位同學(xué)同時抽到“亞醜鉞”的概率是(

)A.19 B.16 C.137.明代數(shù)學(xué)家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個頭6只手的哪吒若干，有1個頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個頭，108只手.問哪吒、夜叉各有多少？設(shè)哪吒有x個，夜叉有y個，則根據(jù)條件所列方程組為(

)A.x+3y=368x+6y=108 B.x+3y=366x+8y=108

C.3x+y=368x+6y=1088.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征.如圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成.已知內(nèi)切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是(

)A.π B.2π C.3π D.4π9.如圖，在平面直角坐標系中，A，C兩點在坐標軸上，四邊形OABC是面積為4的正方形.若函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點B，則滿足y≥2的x的取值范圍為(

)A.0<x≤2

B.x≥2

C.0<x≤4

D.x≥410.在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長速度y(厘米/天)和光照強度x(勒克斯)之間存在一定關(guān)系.在低光照強度范圍(200≤x<1000)內(nèi)，y與x近似成一次函數(shù)關(guān)系；在中高光照強度范圍(x≥1000)內(nèi)，y與x近似成二次函數(shù)關(guān)系.其部分圖象如圖所示.根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是(

)A.當x≥1000時，y隨x的增大而減小 B.當x=2000時，y有最大值

C.當y≥0.6時，x≥1000 D.當y=0.4時，x=600二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.寫出使分式12x?3有意義的x的一個值______．12.在平面直角坐標系中，將點P(3,4)向下平移2個單位長度，得到的對應(yīng)點P′的坐標是______．13.若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x?m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是______．14.取直線y=?x上一點A(x1,y1)，①過點A1作x軸的垂線，交y=1x于點A(x2,y2)；②過點A2作15.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.點P為邊AC上異于A的一點，以PA，PB為鄰邊作?PAOB，則線段PQ的最小值是______．三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

(1)計算：|?13|×9+π0；17.(本小題8分)

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，如圖1．

(1)求∠ADC的度數(shù)；

(2)已知AB=3，分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點E，交AD的延長線于點F.如圖2，求DF的長．

18.(本小題8分)

山東省在能源綠色低碳轉(zhuǎn)型過程中，探索出一條“以儲調(diào)綠”的能源轉(zhuǎn)型路徑.某地結(jié)合實際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發(fā)電實現(xiàn)低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉(zhuǎn)型．

已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時水位高度每小時上升6米．

(1)請寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度y(米)與注水時間x(小時)之間的關(guān)系式；

(2)已知蓄水池的底面積為0.4萬平方米，每立方米的水可供發(fā)電0.3千瓦時，求注水多長時間可供發(fā)電4.2萬千瓦時？19.(本小題10分)

在2025年全國科技活動周期間，某?？萍夹〗M對甲、乙兩個水產(chǎn)養(yǎng)殖基地水體的pH值進行了檢測，并對一天(24小時)內(nèi)每小時的pH值進行了整理、描述及分析．

【收集數(shù)據(jù)】

甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)：

7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．

乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)：

7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．

【整理數(shù)據(jù)】7.00≤x<7.307.30≤x<7.607.60≤x<7.907.90≤x<8.208.20≤x≤8.50甲25773乙429a2【描述數(shù)據(jù)】

【分析數(shù)據(jù)】平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲7.79b7.810.10乙7.787.77c0.13根據(jù)以上信息解決下列問題：

(1)補全頻數(shù)分布直方圖；

(2)填空：b=______，c=______；

(3)請判斷甲、乙哪個基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說明理由；

(4)已知兩基地對水體pH值的日變化量(pH值最大值與最小值的差)要求為0.5～1，分別判斷并說明該日兩基地的pH值是否符合要求．20.(本小題10分)

如圖，在△OAB中，點A在⊙O上，邊OB交⊙O于點C，AD⊥OB于點D.AC是∠BAD的平分線．

(1)求證：AB為⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為2，∠AOB=45°，求CB的長．21.(本小題9分)

【問題情境】

2025年5月29日“天問二號”成功發(fā)射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章.某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用3D打印完成，如圖1．

【問題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設(shè)計一個可以得到l的長度的方案，以檢測該部件中l(wèi)的長度是否符合要求．

【方案設(shè)計】

興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法．

測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱(圓柱)．

操作步驟：如圖3，將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合.示意圖如圖4，⊙O分別與AC，AD相切于點B，D.用游標卡尺測量出CC′的長度y．

【問題解決】

已知∠CAD=∠C′A′D′=60°，l的長度要求是1.9cm～2.1cm．

(1)求∠BAO的度數(shù)；

(2)已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現(xiàn)測得y=7.52cm.根據(jù)以上信息，通過計算說明該部件l的長度是否符合要求.(參考數(shù)據(jù)：3≈1.73)

【結(jié)果反思】

(3)本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉(zhuǎn)化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫出一個；如果不能，說明理由．22.(本小題11分)

已知二次函數(shù)y=x(x?a)+(x?a)(x?b)+x(x?b)，其中a，b為兩個不相等的實數(shù)．

(1)當a=0、b=3時，求此函數(shù)圖象的對稱軸；

(2)當b=2a時，若該函數(shù)在0≤x≤1時，y隨x的增大而減小；在3≤x≤4時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；

(3)若點A(a,y1)，B(a+b2,y2)，C(b,23.(本小題11分)

【圖形感知】

如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4．

(1)求CD的長；

【探究發(fā)現(xiàn)】

老師指導(dǎo)同學(xué)們對圖1所示的紙片進行了折疊探究．

在線段CD上取一點E，連接BE.將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形A′BED′，其中A′，D′分別是A，D的對應(yīng)點．

(2)其中甲、乙兩位同學(xué)的折疊情況如下：

①甲：點D′恰好落在邊BC上，延長A′D′交CD于點F，如圖2.判斷四邊形DBA′F的形狀，并說明理由；

②乙：點A′恰好落在邊BC上，如圖3.求DE的長；

(3)如圖4，連接DD′交BE于點P，連接CP.當點E在線段CD上運動時，線段CP是否存在最小值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由．

參考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.A

7.D

8.D

9.A

10.B

11.2(答案不唯一)

12.(3,2)

13.m>?4

14.(1,?1)

15.4.8

16.(1)原式=13×3+1

=1+1

=2；

(2)原式=(x+1)(x?1)(1x+1+x+1x+1)

=(x+1)(x?1)?x+2x+1

=(x?1)(x+2)

17.(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，

∴∠BAC=60°，

∵∠BAC的平分線AD交BC于點D，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∴∠ADC=180°?30°?30°=120°；

(2)由(1)知：∠ACD=∠CAD=30°，

∴AD=CD，∠ADB=60°，

∴∠CDF=60°，

如圖2，連接CF，

由作圖過程可知：MN是CD的垂直平分線，

∴FC=FD，

∴△CDF是等邊三角形，

∴FC=FD=CD=AD，

∵AB=3，∠BAD=30°，

∴AD=ABcos30°=18.(1)y=6x+5，

∴蓄水池的水位高度y(米)與注水時間x(小時)之間的關(guān)系式為y=6x+5．

(2)根據(jù)題意，得0.4(6x+5)×0.3=4.2，

解得x=5．

答：注水5小時可供發(fā)電4.2萬千瓦時．19.(1)由題意得：a=24?4?2?9?2=7，

補全頻數(shù)分布直方圖如下：

(2)在甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)中7.67出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)b=7.67；

把乙甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是7.77，7.81，故中位數(shù)c=7.77+7.812=7.79，

故答案為：7.67，7.79；

(3)甲基地水體的pH值更穩(wěn)定，理由：

因為甲基地水體的pH值的方差比乙基地水體的pH值的方差小，所以甲基地水體的pH值更穩(wěn)定；

(4)甲基地水體的pH值的極差為：8.26?7.27=0.99<1，乙基地水體的pH值的極差為：8.21?7.11=1.1>1，

所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的20.(1)證明：∵AD⊥OB于點D，

∴∠ADB=90°，

∵AC是∠BAD的平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC，∠OCA=∠B+∠BAC，

∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC，

∴∠OAD=∠B，

∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，

∵OA是⊙O的半徑，且AB⊥OA，

∴AB為⊙O的切線．

(2)解：∵∠OAB=90°，∠AOB=45°，

∴∠B=∠AOB=45°，

∴AB=OA，

∵⊙O的半徑為2，

∴AB=OA=OC=2，

∴OB=AB2+OA2=21.(1)∵⊙O分別與AC，AD相切于點B，D，

∴AB=AD，∠OAB=∠OAD=12∠CAD=30°；

(2)∵鋼柱的底面圓半徑為1cm，

∴BC=OB=1，

∵∠OAB=30°，∠OBA=90°，

∴AB=OBtan30°=3，

∴AC=BC+AB=1+3，

同理A′C′=1+322.(1)當a=0，b=3時，二次函數(shù)y=x(x?a)+(x?a)(x?b)+x(x?b)可化為：y=x(x?0)+(x?0)(x?3)+x(x?3)=3x2?6x，

∴此函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=?b2a=??62×3=1；

(2)當b=2a時，二次函數(shù)y=x(x?a)+(x?a)(x?b)+x(x?b)可化為：y=x(x?a)+(x?a)(x?2a)+x(x?2a)=3x2?6ax+2a2，

∴拋物線對稱軸為直線x=?b2a=??6a2×3=a，

∵3>0，

∴拋物線開口方向向上，

∵在0≤x≤1時，y隨x的增大而減小，

∴a≥1，

∵在3≤x≤4時，y隨x的增大而增大，

∴a≤3，

∴1≤a≤3；

(3)若點A(a,y1)，B(a+b2,y2)，C(b,y3)均在該函數(shù)的圖象上，

∴y=a(a?a)+(a?a)(a?b)+a(a?b)=a2?ab，

y=x(x?a)+(x?a)(x?b)+x(x?b)=3x2?2(a+b)x+ab，

∴y23.(1)∵∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，

∴AD//BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴△ADB∽△DBC，

∴ADBD=ABCD，

∵∠BAD=90°，AD=2，AB=4，

∴BD=22+42=25，

∴225=4CD，

∴CD=45；

(2)①四邊形DBA′F是矩形，理由如下，

由折疊的性質(zhì)得∠A=∠A′=90°，∠ABD=∠A′BD′，

∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，

∴∠A′BD=∠A′BD′+∠DBC=90°，

∴四邊形DBA′F