小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥頭，蝶形，相像，共邊）

目標(biāo)：嫻熟駕馭五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相像（含金字塔模型和沙漏模

型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型），駕馭五大面積模型的各種變形

學(xué)問點(diǎn)撥

—等積模型

①1底9高的兩個(gè)三角形面積相等；AA:

②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；/\Y

兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；/「\

如右圖S|：S2=，：〃abcD

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖"q=Smg；

反之，假如=則可知直線A3平行于CO.

④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特刻的平行四

邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，

面積比等于它們的高之比.

二、鳥頭定理

兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.

如圖在中，.￡分別是4a4。上的點(diǎn)如圖（1）（或。在區(qū)A的延長線上，E在AC

上），

則：s△仙E=（A"xAC）:（ADxAE）

圖⑴圖⑵

三、蝶形定理

隨意四邊形中的比例關(guān)系（“蝶形定理”）：

①5：Sz=S4@或者S|XS3=S2XS4②A。：。C=（5+S2）：（S4+S3）

蝶形定理為我們供應(yīng)了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一

個(gè)途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面

積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得

BC

b

到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系.

梯形中比例關(guān)系（“梯形蝶形定理”）:

22

（2）S）:53:S2:S4=a:b:ab:ah;

③S的對應(yīng)份數(shù)為（〃+〃）2.

四、相像模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

①--=--=---=---；

ABACBCAG

Z

②^^ADES&ABC=A廣：AG~.

所謂的相像三角形，就是形態(tài)相同，大小不同的三角形（只要其形態(tài)不變更，不論

大小怎樣變更它們都相像），與相像三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)與定理如下：

⑴相像三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相像比；

⑵相像三角形的面積比等于它們相像比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半.

相像三角形模型，給我們供應(yīng)了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具.

在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的狀況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相像三角形.

五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型）

在三角形4?。中，4）,BE,B相交于同一點(diǎn)0,則

S“BO:SMC。=BD:DC.

上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)?/p>

430和AACO的形態(tài)很象燕子的尾巴，所以這個(gè)定理被稱為燕

尾定理.該定理在很多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特

別性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的

三角形面積對應(yīng)底邊之間供應(yīng)相互聯(lián)系的途徑.

典型例題

【例1】如圖，正方形力曾的邊長為6,AE=1.5,CF=2,長方形必O/的面積

為

【解析】連接％DF,則長方形七%77的面積是三角形顏面積的二倍.

三角形/戶的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積,

S&DEF=6x6—1.5x6+2-2x6+2-4.5x4+2=16.5,所以長方形EFGHffi

積為33.

【鞏固】如圖所示，正方形A4CD的邊長為8厘米，長方形砧G/7的長4G為10厘米,

則長方形的寬為幾厘米？

【解析】本題主要是讓學(xué)生會運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長方形和

正方形可以看作特別的平行四邊形）.三角形面積等于與它等底等高的平行

四邊形面積的一半.

證明：連接AG.（我們通過"BG把這兩個(gè)長方形和正方形聯(lián)系在一起）.

???在正方形A88中，5。欷；=948X43邊上的高，

???S^BG=h八g）（三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一

半）

同理，S&A8G=—SEFGB?

，正方形與長方形EFG8面積相等.長方形的寬=8x8+10=6.4（厘

米）.

【例2】長方形ABC。的面積為36加，E、F、G為各邊中點(diǎn)，”為AD邊上隨意

一點(diǎn)，問陰影部分面積是多少？

人HD

B

\_

M)HG=2SADWC，而

==

^ABCDS.MHB+S&CHB+^t\CHD36

即S由]B+S.HF+Sg//G=BM/也+S&CHB,^AC//D)=萬X36=18;

而S.[B+S澗"：+S&)HG=S陰影+S謝F

S謝F=4xBExBF=」x（」xAB）x（-xBC）=1x36=4.5.

22228

所以陰影部分的面積是：^=18-5^=18-4.5=13.5

解法二：特別點(diǎn)法.找”的特別點(diǎn)，把〃點(diǎn)與。點(diǎn)重合,

這樣陰影部分的面積就是AD所的面積，依據(jù)鳥頭定理，則有:

S陰影=SA8CD_%即—SMEF-SACF/J=36-JxJx36_Jx：x：x36_：xJx36=13.5.

乙乙乙乙乙乙乙

【鞏固】在邊長為6厘米的正方形A8CD內(nèi)任取一點(diǎn)P,將正方形的一組對邊二等

分，另一組對邊三等分，分別與P點(diǎn)連接，求陰影部分面積.

【解析】（法1）特別點(diǎn)法.由于尸是正方形內(nèi)部隨意一點(diǎn)，可采納特別點(diǎn)法，假設(shè)

P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形

的面積分別占正方形面積的;和所以陰影部分的面積為62乂（；+》=15平

方厘米.

（法2）連接以、PC.

由于AMD與AP8C的面積之和等于正方形相CD面積的一半，所以上、下兩

個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的,，同理可知左、右兩個(gè)

4

陰影三角形的面積之和等于正方形48CQ面積的L所以陰影部分的面積為

6

62乂（_1+1）-15平方厘米.

46

【例3】如圖所示，長方形A8CD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,A8=8,>40=15,

四邊形ER7O的面積為.

【解析】利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形4。石、DOG和四邊形EFG?的面積

之和，以與三角形AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形加8的面積.

由于長方形AI3CD的面積為15x8=120，所以三角形500的面積為120x1=30,

4

所以三角形AQE和“心的面積之和為120x3-70=20;

4

又三角形AOE、DOG和四邊形ER笫的面積之和為120x口」）=30,所以四

（24；

邊形以'GO的而積為30-20=10.

另解：從整體上來看，四邊形EFGO的面積=三角形"C面積+三角形所。面

積-白色部分的面積，而三角形AFC面積+三角形鰭/）面積為長方形面積的

一半，即60,白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即

120-70=50,所以四邊形的面積為60-50=10.

【鞏固】如圖，長方形ABC7）的面積是36,石是AD的三等分點(diǎn)，AE=2ED,則陰影

部分的面積為_.

【解析】如圖，連接OE.

依據(jù)蝶形定理，ON:ND=S,8E:SKDE=1：SQE=1：1,所以gSO；

0M:MA==5^MiDE-^ABAE=1：4,所以S^OEM=TSAOEA.

又^AOED=7X7$矩形ABC。=3'S^OEA=2SAOEO=6,所以陰影部分面積為:

J■

c1/1cr

3x—F6X—=2.7.

25

【例4】已知ABC為等邊三角形，面積為400,D、E、尸分別為三邊的中點(diǎn)，B

知甲、乙、丙面積和為143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形〃灰?）

【解析】因?yàn)椤?、E、尸分別為三邊的中點(diǎn)，所以DE、DF、石尸是三角形MC的中

位線，也就與對應(yīng)的邊平行，依據(jù)面積比例模型，三角形/WN和三角形AA/C

的面積都等于三角形ABC的一半，即為200.

依據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有44BC-S丙=SMBN+S.MC-S.MN,

即400-S?=200+200-S,濃，所以5丙=SAMHN.

=

又S陰影+^MDF$甲+S乙+SAMHN，所以

=

S陰影S甲+S乙+S丙一SMDF-143——x400=43.

【例5】如圖，已知CQ=5,DE=7,EF=15,FG=6,線段A3將圖形分成兩部分,

左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,則三角形4X；的面積

是.

【解析】連接AF,BD.

依據(jù)題意可知，CF=5+7+15=27;7X7=7+15+6=28;

所以，S.EF=S&CBF，SgEC=7S&CBF，=云*^M￡)G?^iSAED=^，

2115712

+

于是：而,^A4DG+云SRCBF=65;—^AAiX；WjS'CBF~38；

可得SM"=40.故三角形4X7的面積是40.

【例6】如圖在人鉆。中，DE分別是A3,AC上的點(diǎn)，且AZ):A8=2:5,AE:AC=4:7,

S“OE=16平方厘米，求A4BC的面積.

【解析】連接8石，5A4DE:SA4BE=/1D:/\B=2:5=(2X4):(5X4),

S△八小Sfc=AE:AC=4:7=(4x5):(7x5)，所以5八〃把：5八詆=(2x4):(7x5)，設(shè)

51小=8份，則52既=35份，S“DE=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35

份就是70平方厘米，人鉆。的面積是70平方厘米.由此我們得到一個(gè)重要

的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩

夾邊的乘積之比.

【鞏固】如圖，三角形A5C中，/W是A。的5倍，AC是AE的3倍，假如三角形

的面積等于1,則三角形ABC的面積是多少？

【解析】連接

:EC=3AE

?,S,ABC=ABE

XVAB=5AD

=

??^,ADESABE+5=SAHC+15,??SABC=155,4圮=15.

【鞏固】如圖，三角形仍。被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,

AE=6,乙部分面積是甲部分面積的幾倍？

【解析】連接

,**BE=3,AE=6

S.ADD

/.AB=3BE,=35.DIM：

又?:BD=DC=4,

ABC=2SABD',,SABC=6SBDE'S乙=5S甲.

【例7】如圖在AABC中，。在胡的延長線上，石在4C上，且AB:/V)=5:2,

AE:EC=3:2,S*ADE=12平方厘米，求AABC的面積.

【解析】連接跖，5A4D￡:SAAB￡=^Z):AB=2:5=(2X3):(5X3)

SA/Wt.:S△枷.=A￡:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5],

所以5人小5少(.=(3'2):際(3+2)]=6:25，設(shè)/雌=6份，貝Us△詼=25份，

5展灰=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC的

面積是50平方厘米.由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角

形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)隹)兩夾邊的乘積之比

【例8】如圖，平行四邊形ABC。，BE=AB9CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD9平行

四邊形ABCD的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比.

【解析】連接AC、加.依據(jù)共角定理

???在△ABC和饃莊中，ZAfiC與互補(bǔ)，

?S/SBCABBC1X11

S—BEBEBF1x33

又S△八BC=1，所以SfBE~3,

問理可得S^CtCF-8?S△麗=15,5仆四~8?

=+

所以^EFGHS△，回+^^CFG+S&DHG+^^BEF=8+8+15+3+2=36

所以mg=2=_L.

See3618

【例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少?

co

【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運(yùn)用公式干脆求面

積

,能們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實(shí)施變換：

把三角形繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使長為13的兩條邊重合，此時(shí)三角形

04?將旋轉(zhuǎn)到三角形X。的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一

個(gè)邊長為12的正方形，且這個(gè)正方形的面積就是原來四邊形的面積.

因此，原來四邊形的面積為12x12=144,（也可以用勾股定理）

【例10］如圖所示，AABC中，ZABC=90°,A8=3,BC=5,以AC為一邊向AA3C外

作正方形ACDE,中心為O,求△Q6C的面積.

【解析】如圖，將AO/W沿著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，到達(dá)△如〃的位置.

由于ZABC=90。，ZAOC=90°,所以N6Z48+NOC8=180°.AOCF=Z.OAB,

所以NOC〃+NOC4=180°,則4、C、尸三點(diǎn)在一條直線上.

由于08=0/，N8O9=ZAOC=90°,所以是等腰直角三角形，且斜邊防

為5+3=8,所以它的面積為8葭,=16.

4

依據(jù)面積比例模型，AOBC的面積為16x2=10.

8

【例11］如圖，以正方形的邊/W為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形AM,ZAEB=90°,

AC、BD交于O.已知AE、8E的長分別為女m、5cm,求三角形O8E的面

積.

cBB

【解析】如圖，連接力￡，以4點(diǎn)為中心，將A4QE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到的位置.

而ZAE8也是90。，所以四邊形

4BE是直角梯形，且從'二AE=3,

所以梯形4BE的面積為：

(3+5)x3xg=12(cm2).

22222

又因?yàn)锳AB石是直角三角形，依據(jù)勾股定理，AB=AE+BE=3+5=349所

以SML；A82=17(cm2).

則SAME=S^BD-(SMBE+S&\DE)=S^BD-S.BE=17-12=5(cm"),

所以SAOBE=25獨(dú)由=2.5(cm，).

【例12】如下圖，六邊形48CZ)石產(chǎn)中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有4?平行于

ED,4b平行于CD,BC平行于EF,對角線垂直于HD,已知FD=24厘

米，W)=I8厘米，請問六邊形ABC￡＞斯的面積是多少平方厘米？

【解析】如圖，我們將ABCD平移使得CD與"'重合，將ADEV平移使得中與/W重合,

這樣M、M都重合到圖中的八G了.這樣就組成了一個(gè)長方形B67),它

的面積與原六邊形的面積相等，明顯長方形4G。的面積為24x18=432平方

厘米，所以六邊形ABC。環(huán)的面積為432平方厘米.

【例13］如圖，三角形MC的面積是【，石是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在8c上，且皮):DC=1:2,

AD與BE交于點(diǎn)F.則四邊形。莊C的面積等于.

4A

S△八杯"BD=1SAW_A￡_?

【解析】方法一：連接CF,依據(jù)燕尾定理,

S&ACFDC2SMBFEC

設(shè)S,F=1份，則S△叼=2份，S〃"=3份,S&AEF=S&EFC=3份,

如圖所標(biāo)

9

所以SMEF五,dABC~五

方法二：連接小，由題目條件可得到又謝=;%.=]_

3

s=；S“=：x；S△板=；,所以尊=沁=；,

2233FES/1

u1o111111

SADEF=^XSADEB=TXZX^eABEC=ZXZX-X^eA^C=TT，

乙乙JLJ乙JL乙

而S“DE=|xlxSA4flC=l所以則四邊形DFEC的面積等于，

【鞏固】如圖，長方形A8CZ）的面積是2平方厘米，EC=2DE,尸是。G的中點(diǎn).陰

影部分的面積是多少平方厘米

【解析】設(shè)S4M=1份，則依據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示S陰影亮S/亮平

方厘米.

【例14】四邊形ABCD的對角線AC與相交于點(diǎn)。（如圖所示）.假如三角形/WD的面

積等于三角形5c力的面積的！，且AO=2,DO=3,則CO的長度是。0的長

3

度的倍.

【解析】在本題中，四邊形A5CD為隨意四邊形，對于這種"不良四邊形”，無外乎

兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通

過畫協(xié)助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條件S.,:Sg)=l：3,這

可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法.又視察題目中給出的已

知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到其次種解法，但是其次

種解法須要一個(gè)中介來改造這個(gè)“不良四邊形”，于是可以作A"垂直加于

H,CG垂直8。于G,面積比轉(zhuǎn)化為高之比.再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同,

則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果.請老師留意比較兩種解法，使學(xué)生

體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從而主觀上情愿駕馭并運(yùn)用蝶形定理解決問題.

解法一：VAO:OC=5A4fiD:5ABDC=l:3,AOC=2x3=6,AOC:OD=6:3=2:1.

解法二：作4/于“，CG_L8O于G.

,*,S^ABD=二SMCD，AH=-CG，:?SK)D~~Z^MX)C?

333

A0=-C0,/.OC=2x3=6,?\OC:OD=6:3=2:\.

3

【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已

知，

求：⑴三角形8GC的面積；⑵AG:GC=?

C

【解析】⑴依據(jù)蝶形定理，SfiGCx1=2x3,則5碗=6；

⑵依據(jù)蝶形定理，AG:GC=(l+2):(3+6)=l:3.

【例15】如圖，平行四邊形40)的對角線交于0點(diǎn)，ACEF>4OEF、△O/、AJ30E

的面積依次是2、4、4和6.求：⑴求△口?產(chǎn)的面積；⑵求△GCE的面積.

AD

O

F

G

BEC

【解析】⑴依據(jù)題意可知，△BCD的面積為2+4+4+6=16,則MCO和AS9的面積

都是16+2=8,所以△(%;尸的面積為8-4=4;

(2)由于△5CO的面積為8,△以花的面積為6,所以△OC￡的面積為8-6=2,

依據(jù)蝶形定理，EG.FG=SACOE:S&COF=2A=\-.2所以

S&GCE;S4G=EG:FG=1:2,

112

則S&GCE=—S^CEF=-x2=-.

1+JJJ

【例16】如圖，長方形A58中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DAG的面積為2

平方厘米，求長方形ABC。的面積.

【解析】連接AE,FE.

因?yàn)锽E:EC=2:3,DF:FC=\:2所以

S一。1_±e

〉￡?所一X§X5川長方形"a一記J長方形A8CD.

I

W為SAED=—S長方形A8cp，AG：GA=g=5:1,所以S.AGD=5S.GD「=10平方厘

10

米，所以S"Q=12平方厘米.因?yàn)殚L方形A8S，所以長方形八比7)

o

的面積是72平方厘米.

【例17】如圖，正方形A8CQ面積為3平方厘米，M是4)邊上的中點(diǎn).求圖中陰影

部分的面積.

【解析】因?yàn)镸是4。邊上的中點(diǎn)，所以AM:3c=1:2,依據(jù)梯形蝶形定理可以知道

S?G：S△詼：S?G'8CG=12：(1X2):(1X2):22=1:2:2:4,設(shè)=1份,則

S

/^MCD=1+2=3份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，

S陰影=2+2=4份,所以S陰影:S正方形=1：3,所以S陰影=1平方厘米.

【鞏固】在下圖的正方形人&7）中，石是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn),三角

形應(yīng)F的面積為1平方厘米，則正方形ABC。面積是平方厘米.

［解析】連接DE，依據(jù)題意可知的:AD=1:2,依據(jù)蝶形定理得S梯形=（1+2>=9（平

方厘米），S梃e=3（平方厘米），則「皿二12（平方厘米）.

【例18】已知A8C。是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形O/比的面積為6平方厘

米.則陰影部分的面積是平方厘米.

【解析】連接AC.

由于是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以C￡:AO=2:3,

22

依據(jù)梯形蝶形定理，5CO￡:5^.:5/x；F:5\OD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所

以Loe=6（平方厘米），sAOD=9（平方厘米）,又S.A.=S.A8=6+9=15（平

方厘米），陰影部分面積為6+15=21（平方厘米）.

【鞏固】右圖中A88是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單

位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.

ADAD

【分析】連接AE.由于AD與8c是平行的，所以也是梯形，則SMX：口=S&QAE?

依據(jù)蝶形定理,S^OCDxS&QAE=SR0c七xS^OAD=4x9=36,故SAOCD=36,

所以SAOS=61平方厘米）.

【鞏固】右圖中A5C￡＞是梯形，從印力是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單

位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.

【解析】連接AE.由于AD與8C是平行的，所以AEC￡＞也是梯形，則="加?

依據(jù)蝶形定理,SA0coxSAOAE=S^OCEX&QAO=2X8=16,故S，QCJ=16,

所以加皿=4（平方厘米）.

另解：在平行四邊形配。中，%吹=?的=gx06+8）=12（平方厘米），

所以S“°E=S&m-SM。。=12-8=4（平方厘米），

依據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為8x2+4=4（平方厘米）.

【例19］如圖，長方形A8C。被。石、/加分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、

5、8平方厘米，則余下的四邊形。出c的面積為平方厘米.

【解析】連接￡＞￡1、CF.四邊形EDC尸為梯形，所以乂的=5的,又依據(jù)蝶形定理,

S皿D'SAFOC='S“3,所以葭8.SbFOC~S必F.S&COD=2x8=16,所以幾3二八平

方厘米），S即=4+8=12（平方厘米）.則長方形A8CD的面積為12x2=24平方

厘米，四邊形。陽。的面積為24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例20］如圖，A48C是等腰直角三角形，力EFG是正方形，線段他與C。相交于K

點(diǎn).已知正方形力EAG的面積48,AK:KB=1:3,則的面積是多少？

【解析】由于OEFG是正方形，所以Z1A與8C平行，則四邊形4）3。是梯形.在梯形

〃兄C中，和AACK的面積是相等的.而AK:KB=1:3,所以MCK的面

積是A/WC面積的」-△,則次的面現(xiàn)也是AA8C面積的L

1+344

由于是等腰直角三角形，假如過A作BC的垂線，M為垂足，則M是BC

的中點(diǎn)，而且=可見A4BA/和AACM的面積都等于正方形D￡FG面積

的一半，所以A4BC的面積與正方形OEEG的面積相等，為48.

則及?/）K的面積為48X'=12.

4

【例21】下圖中，四邊形A8CD都是邊長為1的正方形，E、F、G、”分別是他，

BC,CD,DA的中點(diǎn)，假如左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之

比是最簡分?jǐn)?shù)里，貝！J,（〃?+〃）的值等于

n

【解析】左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不便利干脆求面積，視察發(fā)

覺兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積,

再求陰影部分的面積.

如下圖所示，在左圖中連接反;.設(shè)4G與小的交點(diǎn)為例.

左圖中為長方形，可知A4MD的面積為長方形/1￡G￡＞面積的1,所以三

4

角形AM力的面積為=L又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相等的,

248

所以左圖中陰影部分的面積為J、4=L

82

如上圖所示，在右圖中連接AC、EF.設(shè)AT、EC的交點(diǎn)為N.

可知EF〃AC且AC=2￡F.則三角形8斤的面積為三角形ABC面積的L所

4

以三角形BE尸的面積為屋上2.=_1,梯形AEFC的面積為

248o88

在梯形AEFC中，由于叮:AC=1:2,依據(jù)梯形蝶形定理，其四部分的面積比

為：/：1X2:1X2:22=1:2:2:4,所以三角形EFN的面積為，---!----=—,則

81+2+2+424

四邊形8硒r的面積為=L而右圖中四個(gè)空白四邊形的面積是相等的,

8246

所以右圖中陰影部分的面積為J，X4=L

63

則左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為,J=3:2,即巴=3,

23n2

則"?+〃=3+2=5.

【例22］如圖，AABC中，DE,FG,相互平行，AD-DF-FB,

貝（JS^ADE：S四邊形OEG/：S四邊形FGCB=?

【解析】設(shè)5=1份，依據(jù)面積比等于相像比的平方,

所以S.ADE:SAAFG='A尸2=1：4，S&ADE：='人^?=1：9,

因此S“FG=4份，％枷=9份，

S四邊形FGC8

進(jìn)而有S四邊形DEGF=3份,。國邊形FGC8=5份，所以S△枷商邊形DEGF"=1:3:5

【鞏固】如圖，DE平行BC,且AD=2,AB=5,AE=4,求AC的長.

A

D.E

【解析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=Z)E:8C=2:5,所以AC=4+2x5=10

【鞏固】如圖，AABC中，DE,FG,MN,PQ,8c相互

平行，人

AD=DF=FM=MP=PB,貝!Jn/\.

S^ADE：S四邊形D及;F:S四邊形FGNM:S四邊形，以⑥尸?S四邊形2奴方=尸/\?

-?MA----------------

22

【解析】設(shè)S”DE=1份，S^ADE:S^FG=AD:AF=\:49因此V______________\

S”Q=4份，進(jìn)而有氧邊形小.=3份，同理有/____

B

S四邊形FGNM=5份，5四邊形MNQ/,=/份，S四邊形尸℃8=9份.

所以有

S4ADE,S四邊形廣?S四邊形向GNA7,S四邊形MNQP-S四邊形?！婊?1?3：5：7.9

【例23］如圖，已知正方形A5CD的邊長為4,"是8C邊的中點(diǎn)，E是DC邊上的點(diǎn)，

且。E:石C=l:3,AF與鴕相交于點(diǎn)G,求以.

【解析】方法一：連接他，延長4”,DC兩條線交于點(diǎn)M,構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以

有=8尸:FC=1:1,因此CM=4,依據(jù)題意有CE=3,再依據(jù)另一個(gè)沙

4432

漏有G4:GE=A5:￡M=4:7,所以=了不$△便=jjX（4x4+2）=五.

方法二：連接AE,EF,分別求S^"=4X232=4,

S△的=4x4-4x1+2-3x2+2-4=7,依據(jù)蝶形定理

4432

S4ABF：S4AEF=BG..GE=4:7,所以Sa8G二干S△八跖二JJX（4X4+2）=H.

【例24］如圖所示，已知平行四邊形4?C￡＞的面積是1,E、“是A"、4。的中點(diǎn),

BF交EC于M,求ABMG的面積.

【解析】解法一:由題意可得，E、尸是"、AD的中點(diǎn)，得EF3BD,而

FD:BC=FH:HC=1:2,

E8:CD=5G:GD=1:2所以C"：b=GH:所=2:3,

并得G、H是BD的三等分點(diǎn),所以8G二G”,所以

BG:EF=BM:MF=2:3,所以8M=|/好，S^FDARCD；

=xx=

乂因?yàn)?G=；BO,所以S.MG=-x-xS^FD7777X?

解法二:延長CE交ZM于/,如右圖，

可得，A1:BC=AE:EB=1:1,從而可以確定M的點(diǎn)的位置，

0I

BM:MF=BC:1F=2:3,BM=-BF,BG=-B。（鳥頭定理），

53

-r市c21c211cI

□1得SwG=—X-X—ABCD=而

【例25】如圖，"CD為正方形，AM=NB=DE=FC=lcm且MN=2cm,請問四邊形

PQR5的面積為多少？

【解析】（法1）由A8//CZ）,有絲=上，所以0C=2PM,又避=竺，所以

MNDCQCEC

MQ=QC=-MC,^VXPQ=-MC--MC=-MC,^^SSPQR,

22366

所以SS/3=」X1X(1+1+2)=?(cm2).

63

(法2)如圖，連結(jié)AE,則S*sE=gx4x4=8(cn?),

嘴嚕，所以墨隼22]62

=2，SMlfR=-SMBl:=-xS=—(cm).

JJJ

而SM1HQ=S\ANS=-x3x4x-=3(CIB?)，因?yàn)?絲

所以叫好則5"…渭（2陰影部分面積等于

【例26】如右圖，三角形A3C中，BD:DC=4:9,CE:E4=4:3,求A尸:尸8.

（解析】依據(jù)燕尾定理得Sg°B：S—OC=5D:CD=4:9=l2:27

S^AOB:0c=AE:CE=3:4=12:16

（都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以工研名皿=27:16=AP/B

【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把“州的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比

例解題中屢見不鮮，假如能駕馭它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題

四兩撥千斤的巨大力氣！

【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=3:4,AE:CE=5:6,求A尸:盛

[解析】依據(jù)燕尾定理得S*:S/'AX=BD:CD=3:4=15:20

S^AOB:S^B(K.=AE:CE=5:6=\5:\S

(都有AAOb的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù))

所以△吸=2°:18=10:9=A尸："6

【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=2:3,E4:CE=5:4,求人尸:尸8.

A

oE

［解析】依據(jù)燕尾定理得S?°B:S4AOC=瓦）:C￡>=2:3=10:15

S△八08:S^BOC~AE:CE=5:4=10:8

（都有"08的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以S△八"：S△砂=15:8=AE稗

【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把“03的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比

例解題中屢見不鮮，假如能駕馭它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題

四兩撥千斤的巨大力氣！

【例27】如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:29且三角形ABC的面

積是1,則三角形版的面積為,三角形AGE的面積為

三角形G”/的面積為.

【分析】連接A”、

由于CE:AE=3:2,所以4E=-5AC,ivxnr.5.-ViIM.=-5;

依據(jù)燕尾定理，.屆=d^>=2:3,SSBCC:S^BC=CE:EA=3:21所以

S&ACG:AflCG=4：6：9,則SMCG=—，SABCG=—；

貝！Js..=-=—?x-=-；

GE50c51995

同樣分析可得則EG:EH=SMCC：SMCH=4：9,

EG:EB=SMC(.IS^CB=4A9，所以EG:GH:HB=4:5:10，同樣分析可得

AG:G7:7D=10:5:4,

所以S_55_5乂2_1s_50_51_1

JVTtASW￡--5,WE--x---,SAGHf--S^--x---,

【鞏固】如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BDDC=CE:AE=3:2,且三角形G”/的

面積是1,求三角形/WC的面積.

AA

EE

【解析】連接％,5^8-6份

依據(jù)燕尾定理，SAAGe:SA/ifie=AF:FB=3:2=6:4

SIBG:S、AGC=BD:DC=3:2=9:6

得Sm=4（份），S—=9（份），則S△曲小9（份），因此學(xué)”=[

'△ABC?」

同理連接〃、CH得建—6,j二9所以-J9666=L

^19S△枷19S5c1919

三角形G/〃的面積是1,所以三角形小。的面積是19

【鞏固】如圖,M8C中磯>=2MCE=2EB,AF=2FC,則AA4C的面積是陰影三角

形面積的倍.

【分析】如圖，連接A/.

依據(jù)燕尾定理，S,Ma：SMa=8O:AO=2:l,S:UiCIiSMftl=CFAF=1:2,

1

所以S3cl?SAB。'S型m=1：2：4,則，S湫尸?,；,《,

同理可知AACG和A鉆，的面積也都等于AA8C面積的2,所以陰影三角形的

7

面積等于面積的1->=；,所以MAC的面積是陰影三角形面積的7

倍.

DC_EAFB親ZXG”/的面積的估

【鞏固】如圖在△ABC中,而=百=詬=2‘小△A8C的面積則但

AA

EE

BDBD

【解析】連接BG、設(shè)5小以-1份，依據(jù)燕尾定理

S△八GC:S&HGC=AF:=2:1,S&ABG;S&A8=BD\DC=2:1,得S△八GC=2（份），

S△皿=4（份），則S△統(tǒng)=7（份），因此2同理連接力八。/得

S△人配7

S