構造輔助圓解題類型1

定點定長構造輔助圓模型解讀：如圖，若OA＝OB＝OC＝OD，則點A，B，C，D在以點O為圓心，OA（或OB，OC，OD）為半徑的圓上（本質是依據(jù)圓的定義，圓是平面內所有到定點的距離等于定長的點的集合）.典例1如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD.若∠CAD＝76°，則∠CBD的度數(shù)為

38°

?.

典例1圖38°典例2圖

典例3圖

類型2

利用四點構造輔助圓模型解讀：1.如圖①②，Rt△ABC和Rt△ABD有公共斜邊，則A，B，C，D四點共圓，即有公共斜邊的兩個直角三角形，無論直角頂點在斜邊的同側還是異側，都可得到四點共圓.

2.如圖③，AB為△ABC和△ABD的公共邊，點C，D在AB的同側，且∠C＝∠D，則A，B，C，D四點共圓.

3.如圖④，在四邊形ABCD中，若滿足其中一組對角之和等于180°，如∠ABC＋∠ADC＝180°，則A，B，C，D四點共圓，其圓心O為任意一組鄰邊的垂直平分線的交點.典例4如圖，△ABC和△ABD均為直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，連接CD.若∠CAB＝35°，則∠CDB的度數(shù)為（

A

）典例4圖A.35°B.40°C.45°D.50°A

典例5圖

典例6如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝6，P為AB上一動點，PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，連接DE，求DE長的最小值.

典例6圖答案

典例7如圖，∠ABC＝∠EAD＝90°，D是線段AB上的動點且AC⊥ED于點G，AB＝AE＝4，則BG長的最小值為（

C

）典例7圖A.2B.2－1C.2－2D.C

典例8圖

典例9如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形內部的一個動點，且AE⊥BE，求線段CE長的最小值.

典例9圖答案強化練習1.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在邊BC上，沿AE將正方形進行折疊，使點B落在正方形ABCD內部的點P處，則CP長的最小值是（

C

）A.2B.2－C.2－2D.2＋2第1題C1234567891011122.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，D是邊BC上一動點，連接AD，在AD上取一點E，使∠DAC＝∠DCE，連接BE，則BE長的最小值為（

C

）A.2－3B.C.－2D.第2題C123456789101112

A.B.2C.D.第3題B1234567891011124.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，使點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（

B

）A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不對第4題B1234567891011125.（2023·亳州譙城一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是矩形ABCD內的一點，連接PA，PC，PD.若PA⊥PD，則PC長的最小值為（

C

）A.2－4B.2－3C.2D.4第5題C1234567891011126.（2023·合肥瑤海一模）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以AC為邊作等腰直角三角形ACD，連接BD，則BD長的最大值是（

D

）A.－B.＋C.2D.＋第6題D1234567891011127.如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是正方形內部一點，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，P是邊AB上的一個動點，連接PD，PE，則PD＋PE的最小值為（

D

）A.8B.4C.8－4D.4－4第7題D1234567891011128.如圖，O為線段BC的中點，點A，C，D到點O的距離相等.若∠ABC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是

130°

?.第8題130°123456789101112

第9題

12345678910111210.（2023·合肥模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形內部的一個動點，且滿足∠BCP＝∠PDC.第10題（1）

線段BP的長的最小值是

2

?.（2）

當BP的長取最小值時，設DP的延長線交線段BC于點E，則CE的長為

3

?.2312345678910111211.如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內部的一個動點，連接PA，PB，PC，且滿足∠PAB＝∠PBC.第11題（1）

∠APB＝

90°

?.

90°

12345678910111212.如圖，四邊形ABCD為矩形，BE平分∠ABC，交AD于點F，∠AEC＝90°，連接AC，DE.（1）

求∠ACE的度數(shù).解：（1）

∵

四邊形ABCD為矩形，∴

∠ABC＝90°.又∵

∠AEC＝90°，∴

∠ABC＋∠AEC＝180°.∴

A，B，C，E四點共圓.∵

∠ABC＝90°，BE平分∠ABC，

∴

∠ABE＝45°.∴

∠ACE＝∠ABE＝45°第12題123456789101112（2）

求證：BE⊥ED.解：（2）

連接BD.∵

四邊形ABC