第第頁浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)z=1+i1?i（i是虛數(shù)單位，A．1 B．±1 C．2 D．±2．已知向量a=k?1,1,b=A．3 B．?1 C．3或?1 D．?3±3．已知α,β表示兩個不同的平面，a,b,c表示三條不同的直線，（）A．若b//a,a?α，則b//αB．若a?α,b?α,c⊥a,c⊥b，則c⊥αC．若a?α,b?α,a//β,b//β，則α//βD．若a⊥α,a//b,b?β，則α⊥β4．已知a>0,b∈R，則“a>b”是“aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．在△ABC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c．若b=2,A=45°,C=75°，則a=（）A．63 B．263 C．36．為了得到函數(shù)fx=sinA．向左平移π2個單位長度 B．向右平移πC．向左平移π4個單位長度 D．向右平移π7．在某種藥物實驗中，規(guī)定100ml血液中藥物含量低于20mg為“藥物失效”．現(xiàn)測得實驗動物血液中藥物含量為0.8mg/mlA．4 B．5 C．6 D．78．已知sinθ,cosθ是方程xA．4 B．3 C．2 D．1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知a>b，則（）A．0.1a>0.1C．a(chǎn)4+b10．如圖的“弦圖”由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形．設(shè)直角三角形的兩個銳角分別為α,β(α<β)，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，則（）A．每一個直角三角形的面積為1 B．sinC．cosα=2cosβ11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ以坐標(biāo)原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點Pa,b,OPA．x=π2是函數(shù)B．函數(shù)y=fθf?θC．fD．若a=2b，則1+f三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合A=1,2,B=?a,a2+313．已知x+lny=1，則ex14．一個呈直三棱柱的密閉容器，底面是邊長為63的正三角形，高為6，有一個半徑為1的小球在這個容器內(nèi)可以向各個方向自由滾動，則小球能接觸到的容器內(nèi)壁的最大面積為四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．設(shè)函數(shù)fx（1）判斷函數(shù)fx在區(qū)間?1,1（2）若x∈12,316．如圖，點P,Q分別是矩形ABCD的邊DC,BC上的點，AB=2,AD=3（1）若DP=λDC,（2）若P是DC的中點，M1,M2,???,17．已知實數(shù)a<0，設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x+a（1）求實數(shù)a，并寫出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若x0為函數(shù)f(x)的一個零點，求cos18．在三棱錐A?BCD中，AB=9，其余各棱的長均為6，點E在棱AC上，AE=2EC，過點E的平面與直線CD垂直，且與BC,CD分別交于點F,G．（1）求線段FG的長度；（2）求二面角A?CD?B的余弦值；（3）求點C到平面DEF的距離．19．已知函數(shù)f(x),g(x),h(x)的定義域均為R．定義：①若存在n個互不相同的實數(shù)x1,x2,?,xn，使得f(g(xi))=h(f(xi))(i=1,2,3,???,n)，則稱g(x)與h(x)關(guān)于f(x)“n（1）判斷函數(shù)g(x)=x+1與h(x)=x?1是否關(guān)于f(x)=x2“（2）設(shè)f(x)=a(x2+2)(a≠0),g(x)=x2+bx?1，若存在函數(shù)h(x)，使得g(x)與（3）設(shè)g(x)=k|x2?2x|,h(x)=x2+1,x>00,x=0x2

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z=1+i1?i=故答案為：A.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算求得z=i2．【答案】C【解析】【解答】解：向量a=k?1,1,b=k+3,k，若a//b，則故答案為：C.【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列式求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、若b//a,a?α，則b//α或b?α，故A錯誤；B、若a?α,b?α,c⊥a,c⊥b，當(dāng)b//a時，不能推出c⊥α，故B錯誤；C、若若a?α,b?α,a//β,b//β，當(dāng)b//a時，則不能推出α//β，故C錯誤；D、若a⊥α,a//b，則b⊥α，因為b?β，由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故D正確.故答案為：D.【分析】舉出反例即可判斷ABC；根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)和判定即可判斷D.4．【答案】B【解析】【解答】解：當(dāng)a=3,b=?3時，滿足a>b，但a=若a>b，當(dāng)b≥0時，必有a>b成立；當(dāng)b<0時，必有則“a>b”是“a>故答案為：B.【分析】利用不等式的性質(zhì)、舉反例，結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：在△ABC中，A=45°,C=75°，則B=180°-45°-75°=60由正弦定理asinA=故答案為：B.【分析】利用三角形內(nèi)角和結(jié)合正弦定理求a的值即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：函數(shù)fx可將y=cos2x的圖象向右平移π4故答案為：D.【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移變換求解判斷即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：物實驗中，100ml血液中藥物含量為20mg的濃度為設(shè)至少經(jīng)過t個小時才會“藥物失效”，

由題意可得：0.81?0.2t<0.2則t>?2ln2ln4故答案為：D.【分析】由題意得列不等式，兩邊取對數(shù)求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可得：sinθ+sin2θ?2cos2θ?2①+②得：1?2sinα?(sin即2?4sin2α=1?2sin2故答案為：C.【分析】由題意把兩根代入方程得兩個式子，結(jié)合韋達定理聯(lián)立兩個式子化簡變形即可.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、函數(shù)y=0.1x在R上單調(diào)遞減，因為a>b，所以B、函數(shù)y=10x在R上單調(diào)遞增，因為a>b，所以C、a4因為a>b，且函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增，所以a3>b則a?ba3?D、函數(shù)y=ln因為t=x2+1+x為增函數(shù)，且x2+1+x>0恒成立，

所以y=?故答案為：BD.【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷ABD；利用作差法即可判斷C.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由題意可知：小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，則每個直角三角形的面積為14B、設(shè)直角三角形的邊長分別為a,b（其中b>a），由12ab=1，可得則b?a=(b?a)聯(lián)立方程組，解得a=1,b=2，又因為sinα=15C、由cosα=25D、cosα?β故答案為：ACD.【分析】由題意可得：小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5即可判斷A；設(shè)直角三角形的邊長分別為a,b，求得a=1,b=2，結(jié)合三角的定義和三角恒等變換的公式即可判斷CD.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】A、解：由題意可得：cosθ=am則fθfπ2=2sinB、fθ則y=cos2θ為周期為C、fθ令t=sin則fθ當(dāng)t=2時，取到最大值為2+2，即D、因為a=2b，則cosθ=2則1+f=1+2故答案為：BCD.【分析】根據(jù)題意分別求出cosθ=am，sinθ=bm，則fθ=212．【答案】?1【解析】【解答】解：集合A=1,2,B=?a,a2+3，若當(dāng)a2+3=4時，解得a=1或當(dāng)a=1時，B=?1,4，則A∪B=當(dāng)a=?1時，B=1,4，則A∪B=1,2,4，符合題意，所以當(dāng)?a=4時，解得a=?4，此時B=4,19，不滿足A∪B=綜上a=?1，即實數(shù)a的值為?1.故答案為：?1.【分析】分類討論求解參數(shù)即可.13．【答案】2【解析】【解答】解：易知y>0，由x+lny=1，可得ln(ex則ex+y≥2e故當(dāng)x=12,y=e時，故答案為：2e【分析】利用對數(shù)運算結(jié)合基本不等式求最小值即可.14．【答案】72【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意可知：小球在這個容器內(nèi)向各個方向自由滾動時，小球能接觸到的容器內(nèi)壁分為兩部分，即上下底面部分與側(cè)面部分，上、下底面均為正三角形，其邊長為：63其面積為：2×3側(cè)面部分是底邊長為43，高為4的矩形，其面積為：3×4則小球能接觸到的容器內(nèi)壁的最大面積為：243故答案為：723【分析】由題意得，小球能接觸到的容器內(nèi)壁分為兩部分，即上下底面部分與側(cè)面部分，上下底面部分是正三角形，其邊長為：63?2×1tan3015．【答案】（1）函數(shù)f(x)在?1,1上單調(diào)遞增；證明：任取x1,x則fx1因為?1≤x1<所以fx1?f則函數(shù)f(x)在?1,1上單調(diào)遞增；（2）解：函數(shù)fx=xx2故g(x)=x由（1）的證明過程知，函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：函數(shù)fx2在即當(dāng)x∈12,3時，函數(shù)g(x)在1且g(x)g1顯然2517>50故函數(shù)g(x)的值域為：5041【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）由題意可得：函數(shù)g(x)=x4+2x2+1x（1）函數(shù)f(x)在?1,1上單調(diào)遞增；證明：任取x1,x則f=x因為?1≤x所以x1所以fx1?f所以函數(shù)f(x)在?1,1上單調(diào)遞增；（2）解：因為fx=xx2所以g(x)=x由（1）的證明過程知，函數(shù)f(x)在[1,+∞所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)fx2在0,1上單調(diào)遞增，在所以當(dāng)x∈12,3時，函數(shù)g(x)在1所以g(x)又g1顯然2517>50所以函數(shù)g(x)的值域為：5016．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，AP=AD⊥AB，即AD?則AP?（2）解：取AB的中點E，連接PE，如圖所示：

由M1,M2,???,M可得PM則|PA【解析】【分析】（1）利用向量的線性運算及數(shù)量積運算計算即可；（2）取AB的中點E，利用中點向量公式求和即可.（1）在矩形ABCD中，AP=AD⊥AB，即AD?所以AP?（2）取AB的中點E，連接PE，由M1,MPE=AD=3得PM所以|PA17．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)=cos2x+asin2x?a2，

由f(則函數(shù)f(x)=1+cos令?π2+2k則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[?π（2）解：由（1）知：sin(2x0則cos2【解析】【分析】（1）代入求出a值，再利用二倍角的余弦公式、輔助角公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)減區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)零點的意義，結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.（1）函數(shù)f(x)=cos2x+asin2x?a2，由f(f(x)=1+cos由?π2+2k所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[?π（2）由（1）知，sin(2x0所以cos218．【答案】（1）解：由題意，直線CD⊥平面EFG，因為EG,FG?平面EFG，所以CD⊥EG,CD⊥FG，由AE=2EC，得EC=2，△ACD為正三角形，得∠ECG=60°，則又因為△BCD為正三角形，所以∠DCB=60°，則（2）解：取CD的中點M，連接AM,BM，如圖所示：則AM⊥CD,BM⊥CD，即∠AMB是二面角A?CD?B的平面角，顯然AM=BM=33由余弦定理得cos∠AMB=則二面角A?CD?B的余弦值?1（3）解：由（2）知，CD⊥平面AMB，而CD?平面BCD，則平面AMB⊥平面BCD，在平面AMB內(nèi)過點A作AH⊥BM于H，又平面AMB∩平面BCD=BM，于是AH⊥平面BCD，AH=AMsin則點E到平面BCD距離d=1由（1）知△CDF的面積S△CDF=1DE=DG2則EF//AB，EF=13AB=3，在△DEFsin∠DEF=1?(34設(shè)點C到平面DEF的距離為h，由VC?DEF=V因此h=S故點C到平面DEF的距離為6309【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合正三角形、直角三角形求解即可；（2）取CD的中點M，確定二面角A?CD?B的平面角，再利用余弦定理求解即可；（3）利用等體積法求出點C到平面DEF的距離.（1）依題意，直線CD⊥平面EFG，而EG,FG?平面EFG，則CD⊥EG,CD⊥FG，由AE=2EC，得EC=2，由△ACD為正三角形，得∠ECG=60°，則又△BCD為正三角形，即∠DCB=60°，因此（2）取CD的中點M，連接AM,BM，則有AM⊥CD,BM⊥CD，因此∠AMB是二面角A?CD?B的平面角，顯然AM=BM=33由余弦定理得cos∠AMB=所以二面角A?CD?B的余弦值?1（3）由（2）知，CD⊥平面AMB，而CD?平面BCD，則平面AMB⊥平面BCD，在平面AMB內(nèi)過點A作AH⊥BM于H，又平面AMB∩平面BCD=BM，于是AH⊥平面BCD，AH=AMsin則點E到平面BCD距離d=1由（1）知△CDF的面積S△CDF=1DE=DG2則EF//AB，EF=13AB=3，在△DEFsin∠DEF=1?(34設(shè)點C到平面DEF的距離為h，由VC?DEF=V因此h=S所以點C到平面DEF的距離為630919．【答案】（1）解：函數(shù)g(x)與h(x)關(guān)于f(x)“1維交換”，

顯然f(g(x))=(x+1)2,h(f(x))=x2?1，令f(g(x))=h(f(x))，即(x+1)2=x2?1，解得x=?1，

則f(g(x))=h(f(x))有唯一解x=?1（2）解：對任意x∈R，恒有f(g(x))=h(f(x))成立，

即對任意x∈R，存在函數(shù)h(x)，a[(x2+bx?1)2+2]=h(a(x2+2))，

顯然等式左邊是關(guān)于x的4次多項式，設(shè)h(x)=px2+qx+r，

于是ax4+2abx3+a(b2?2)x2（3）解：令F(x)=f(g(x))?h(f(x))=g(x)?h(x)，依題意，函數(shù)F(x)在R上有3個零點，顯然g(0)=h(0)=0，即x=0是函數(shù)F(x)的零點，

當(dāng)k≤0時，若x>0，則g(x)≤0,h(x)>1，F(xiàn)(x)<0，即函數(shù)F(x)在x>0時無零點，

若x<0，則F(x)=k(x2?2x)?x2+1=(k?1)x2?2kx+1在(?∞,0)上單調(diào)遞增，

F(?1)=3k<0,F(0)=1>0，函數(shù)F(x)在x<0時只有1個零點，不符合題意，

因此k>0，①當(dāng)x>2時，F(xiàn)(x)=k(x2?2x)?x2?1=(k?1)x2?2kx?1，

顯然函數(shù)y=(k?1)x2?2kx?1的圖象恒過點(0,?1),(2,?5)，

則當(dāng)k>1時，函數(shù)y=(k?1)x2?2kx?1的圖象開口向上，F(xiàn)(x)在x>2時僅只一個零點，

當(dāng)0<k≤1時，(k?1)x2?2kx?1<0，F(xiàn)(x)在x>2時沒有零點，

②當(dāng)0<x≤2時，F(xiàn)(x)=k(?x2+2x)?x2?1=(?k?1)x2+2kx?1，

顯然函數(shù)y=(?k?1)x2+2kx?1的圖象恒過點(0,?1),(2,?5)，

Δ=4(k2?k?1)，當(dāng)k=1+52，即Δ=0時，F(xiàn)(x)在0<x≤2時僅只一個零點，

當(dāng)k>1+52，即Δ>0時，F(xiàn)(x)在0<x≤2時有2個零點，【解析】【分析】（1）由“n維交換”的定義，列出方程求解即可；（2）由g(x)與h(x)關(guān)于f(x)“任意交換”的定義，列出關(guān)系等式，由等式的特征設(shè)出h(x)，借助恒恒等式求解即可；（3）根據(jù)給定條件可得F(x)=f(g(x))?h(f(x))=g(x)?h(x)，再按k≤0,k>0討論分段函數(shù)零點即可.（1）函數(shù)g(x)與h(x)關(guān)于f(x)“1維交換”，理由如下：顯然f(g(x))=(x