第第頁浙江省寧波市余姚市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z=a2?4+A．2 B．2或-2 C．-2 D．-42．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b2+c2A．30° B．45° C．3．已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）A．24 B．64 C．224．已知平面向量a，b滿足(3a?2b)⊥(A．92 B．152 C．7 5．下列命題正確的是（）①平行于同一條直線的兩條直線平行；②平行于同一條直線的兩個平面平行；③平行于同一個平面的兩條直線平行；④平行于同一個平面的兩個平面平行A．①② B．③④ C．①④ D．②③6．某圖書館統(tǒng)計了某個月前8天紙質(zhì)圖書的借閱情況，整理數(shù)據(jù)得到如下折線圖．根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．這8天里，每天圖書借出數(shù)的極差大于50B．這8天里，每天圖書借出數(shù)的平均數(shù)大于105C．這8天里，每天圖書借出數(shù)的中位數(shù)大于101D．前4天圖書借出數(shù)的方差小于后4天圖書借出數(shù)的方差7．在正四棱錐S?ABCD中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為6的等腰三角形，則正四棱錐S?ABCD的外接球的體積為（）A．27π2 B．9π C．98．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，A．1312 B．2116 C．3二、多選題9．甲乙兩臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床的正品率是0.8，乙機床的正品率為0.9，分別從它們制造的產(chǎn)品中任意抽取一件，則（）A．兩件都是次品的概率為0.02B．事件“至多有一件正品”與事件“至少有一件正品”是互斥事件C．恰有一件正品的概率為0.26D．事件“兩件都是次品”與事件“至少有一件正品”是對立事件10．已知復(fù)數(shù)z滿足(2+A．|B．z滿足方程zC．zD．zz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限11．在△ABCA．若a2+cB．若A>B，則sinC．若b=3，D．若sin2A=sin2B12．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1DA．異面直線AM與B1B．直線BC與平面α可能垂直C．AB與平面α所成角的正弦值的范圍為[D．若M∈α且CM=MC1，則平面三、填空題13．已知向量a=(3，?1)，b=(14．在△ABC中，AB=25，AC=5，∠BAC=90°，則△ABC繞15．如圖所示，摩天輪的直徑為110m，最高點距離地面的高度為120m，摩天輪按逆時針方向作勻速轉(zhuǎn)動，且每30min轉(zhuǎn)一圈．若游客甲在最低點坐上摩天輪座艙，則在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度為16．△ABC中，AB=1，AC=4，∠A=60°，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)分別為線段AB，AC上的動點，EF交AD于點G.若△AEF面積為△ABC面積的一半，則四、解答題17．為了紀念2017年在德國波恩舉行的聯(lián)合國氣候大會，某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎問答比賽》活動．某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是34，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是112，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率．18．如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=4（1）若點P是線段BC上靠近B的三等分點，試用向量AB，AC表示向量AP；（2）求AP?19．如圖①，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，BB1，的中點．（1）求證：平面EFG⊥平面BB1D1D；（2）將該正方體截去八個與四面體B-EFG相同的四面體得到一個多面體(如圖②)，若該多面體的體積是160320．某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計，按照[50，60)，[60，70)，[70（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，（2）估計本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)；（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[9021．如圖，在平面四邊形ABCD中，AC=4，BC⊥CD．（1）若AB=2，BC=3，CD=15（2）若∠B=2π3，∠D=22．已知一圓形紙片的圓心為O，直徑AB=2，圓周上有C、D兩點.如圖，OC⊥AB，∠AOD=π6，點P是BD上的動點.沿AB將紙片折為直二面角，并連結(jié)PO，PD，PC，（1）當AB//平面PCD時，求PD（2）當三棱錐P?COD的體積最大時，求二面角O?PD?C的余弦值.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】復(fù)數(shù)z=a2-4+(a-2)i為純虛數(shù)，則

a2-4=0a-2≠0，解得a=-2.

故選：C.

2．【答案】A【解析】【解答】解：∵b2+c2-a2=bc，

∴由余弦定理可得cosA=12，

∴A=60°.

又∵sin2A+sin2B=sin2C，

∴由正弦定理可得：a2+b2=c2.

∴cosC=0，∴C=90°，∴B=30°.

3．【答案】B【解析】【解答】因為三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個邊長為2正三角形，

所以直觀圖的面積是12×2×2×sin60°=3，

由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系為S直觀圖S原圖=244．【答案】C【解析】【解答】根據(jù)題意，3a→-2b→·5a→+b→=0，即15a2-7a·b-2b2=0，

又a·b=17，且a5．【答案】C【解析】【解答】①由平行公理可得，平行于同一條直線的兩條直線平行，故①正確；

②平行于同一條直線的兩個平面平行或相交，故②錯誤；

③平行于同一個平面的兩條直線有三種位置關(guān)系，即平行、相交或異面，故③錯誤；

④由平面與平面平行的判定可得，平行于同一個平面的兩個平面平行，故④正確.

∴正確的命題是①④.

故選：C.

【分析】由平行公理判斷①；由平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系判斷②；由平行于同一平面的兩直線的位置關(guān)系判斷③；由面面平行的判定判斷④.6．【答案】C【解析】【解答】A、每天圖書借出數(shù)的極差為130一80=50，A錯誤；

B、每天圖書借出數(shù)的平均數(shù)86+108+80+130+103+97+101+1218=4134<105，B錯誤；

C、由數(shù)據(jù)從小到大排序為80，86，97，101，103，108，121，130，則中位數(shù)為101+1032=102>101，C正確；

D、前4天平均數(shù)86+108+80+1304=101，則方差為之14i=14(7．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，底面中心為E，連接SE，BO，BE，

因為在正四棱錐S-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為6的等腰三角形，

所以BE=2，SE=SB2-BE2=2，

在Rt△ABC中，R2=0E2+BE2，即R2=(2-R)2+(2)2，

解得R=8．【答案】B【解析】【解答】由于AB⊥BC，AD⊥CD，

如圖，以D為坐標原點，以DA，DC為x，y軸建立直角坐標系，連接，由于AB=AD=1，則△ADC?△ABC，

而∠BAD=120°，故∠CAD=∠CAB=60°，則∠BAx=60°，

則D(0，0)，A(1，0)，B(32，32)，C(0，3)，

設(shè)E(0，y)，0≤y≤3，則EA→=(1，-y)，EB→=32，32-y，

故c

當y=349．【答案】A,C,D【解析】【解答】對于A，若取出的兩件都是次品，其概率為：P=(1-0.8)×(1-0.9)=0.2×0.1=0.02，故A正確；

對于B，事件"至多有一件正品"包含有兩件次品、一件正品和一件次品，"至少有一件正品"包含有兩件正品、一件正品和一件次品，所以兩個事件不是互斥事件，故B錯誤；

對于C，恰有一件正品，其概率為：P=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+1=0.26，故C正確；

對于D，"至少有一件正品"包含有兩件正品、一件正品和一件次品，所以事件"兩件都是次品"與事件"至少有一件正品"是對立事件，故D正確.

故選：ACD.

【分析】本題考查互斥時間與相互獨立事件的運用，由互斥事件的定義：事件A和B的交集為空，A與B就是互斥事件；對立事件的定義：若A交B為不可能事件，A并B為必然事件，那么稱A事件與事件B互為對立事件，可判斷B項、D項，再運用概率的加法公式及相互獨立事件的概率公式計算可判斷A項、C項.10．【答案】A,B【解析】【解答】因為(2+i)z=1+3i，

所以z=1+3i2+i=1+3i2-i2+i2-i=2-i+6i-3i24-i2=5+5i5=1+i，

對于A項，∣z∣=12+1211．【答案】B,C【解析】【解答】對于A項，因為a2+c2-b2＞0，所以cosB=a2+c2-b22ac>0，

所以B為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故A錯誤；

對于B項，因為A>B?a>b，所以由正弦定理可知，sinA>sinB，故B正確；

對于C項，如圖所示，

因為asinB<b<a，所以此三角形有2解，故C正確；

對于D項，因為sin2A=sin2B，0<A<π，0<B<π，所以2A=2B或2A+2B=π，12．【答案】A,D【解析】【解答】選項A：在平面BCC1B1內(nèi)作BM⊥CB1，交CC1于點M

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，

因為AB⊥平面BCC1B1，B1C?C平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，

又BM?平面ABM，AB?平面ABM，BM∩AB=B，所以B1C⊥平面ABM

又AM?平面ABM，所以B1C⊥AM，故A正確；

選項B：AM，BC不可能平行，故BC與α不可能垂直，故B錯誤；

選項C：

如圖：

連接AC，AC1，等同于AB與AM所成角θ的余弦值的范圍，

在直角三角形ABM中，cosθ=cos∠MAB=ABAM=1AM∈66，22，

當點M由C點向C1移動時，AM逐漸增大，

在直角三角形ABC中，AC=AB2+BC2=12+12=2，

在直角三角形ACC1中，AC1=AC2+CC12=22+22=6，

所以2≤AM≤6，則cosθ∈66，22，故C錯誤；

選項D：

如圖：

由題意知MO為CC1的中點，連接BM，DM，AM，MB1，MD1，D1B1，

在直角三角形BCM中，BM=BC2+CM2=12+12=2，

同理B1M=2，由題意知BB1=2，所以BM2+B13．【答案】20【解析】【解答】向量a→=3，-1，b→=2，k且a→與b→共線，得3k+2=0，k=-23，14．【答案】6【解析】【解答】如圖所示，

在△ABC中，AB=25，AC=5，∠BAC=90°，

則△ABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，

其中若母線長為AB=25，AC=5，

又BC=(25)2+52=5，OC=AC2BC15．【答案】37.5【解析】【解答】因為摩天輪的直徑為110m，最高點距離地面的高度為120m，

所以A+k=120-A+k=10，解得A=55，k=65，

因為每30min轉(zhuǎn)一圈，所以T=2πω=30，ω=π15，

當t=0時，h=10.所以sinφ=-1，所以可取φ=-π2，

所以h=55sinπ1516．【答案】2【解析】【解答】設(shè)AG→=λAD→AE→=mAB→AF→=nAC→，由向量共線的充要條件設(shè)AG→=xAE→+yAF→x+y=1，

則AG→=xAE→+yAF→=λAD→=λ17．【答案】（1）解：記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則P(A)=3即[1?P(A所以P(B)所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率為38和2（2）解：有0個家庭回答正確的概率P0有1個家庭回答正確的概率P1所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率P=1?P【解析】【分析】本題考查相互獨立事件的概率公式的運用，

(1)記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，結(jié)合題意根據(jù)獨立事件概率的公式即可得出乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率為38和23；

(2)可以使用間接法求解，除去0個家庭和1個家庭回答正確的概率，剩下的概率就是不少于2個家庭回答正確這道題的概率，根據(jù)獨立事件概率的求法分別求出有0個、1個家庭回答正確的概率分別為P0=518．【答案】（1）解：因為AP=（2）解：取BC中點D，則AB+AC=2∴又因為AB=AC=3，BC=4，所以AD=3所以∴【解析】【分析】本題考查平面向量的運算，

（1）由于點P是線段BC上靠近B的三等分點，所以BP→=13BC→，再根據(jù)向量的加減法和數(shù)乘運算即可表示；19．【答案】（1）證明：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，B連接AC，如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，即EF//又因BB1∩BD=B，BD?平面BB又EF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面B（2）解：設(shè)正方體的棱長為a，由（1）知，四面體B?EFG的體積為13因此所得多面體的體積為a3?8?a所以該正方體的棱長為4．【解析】【分析】本題主要考查空間立體幾何的相關(guān)知識，考查學(xué)生的空間想象能力以及對知識的綜合運用，

（1）若想證明兩個平面垂直，要先證明空間中直線和平面垂直，先證明EF⊥平面BB1D1D，因為EF?平面EFG，因此可以證明兩平面垂直；

（2）根據(jù)球內(nèi)接多面體知識點，以及多面體體積求解，首先根據(jù)題①20．【答案】（1）解：由題意可知，樣本容量n=80y=2（2）解：設(shè)本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)為m，平均分為x，則[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040=0.5，解得m=71，x=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）解：由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同學(xué)的分數(shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率p=1?10【解析】【分析】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率與頻數(shù)的關(guān)系及古典概型的計算公式等有關(guān)知識的綜合運用，

（1）根據(jù)得分在[50，60)，[90，100]的頻數(shù)分別為8和2，再結(jié)合頻率分布直方圖即可求出x、y的值；21．【答案】（1）解：在△ABC中，co