高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1新疆維吾爾自治區(qū)喀什地區(qū)2025屆普通高考5月適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，?故選：C.2.復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，所以.故選：A3.已知圓和圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，因動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則，，則，故動(dòng)圓圓心的軌跡是以為兩焦點(diǎn)的雙曲線的左支.又因，解得，故其軌跡方程為.故選：D.4.某學(xué)校組隊(duì)參加辯論賽，在1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】1名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，在男生入選的條件下，男生擔(dān)任一辯的概率是.故選：A.5.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】若，則，即又，.故選：D.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由.由.由.所以.故選：B7.已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面，且，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，點(diǎn)與重合，正三棱柱外接球也為三棱錐的外接球，令球心為，半徑為，記和外接圓的圓心分別為和，其半徑為，由正弦定理得：，而為的中點(diǎn)，則，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：A8.已知函數(shù)，若有4個(gè)互不相同的根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則方程可轉(zhuǎn)化為.對(duì)進(jìn)行因式分解可得，則，.所以或.

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且.

當(dāng)時(shí)，，對(duì)其求導(dǎo)，.令，即，解得（）.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，也是最小值，.

對(duì)于：當(dāng)時(shí)，，即，，解得，有個(gè)根.

因?yàn)橛袀€(gè)互不相同的根，已經(jīng)有個(gè)根，所以需要有個(gè)不同的根.結(jié)合的圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有個(gè)不同的交點(diǎn)，即有個(gè)不同的根.

的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于函數(shù)和，下列說法中正確的是（）A.與有相同的零點(diǎn)B.與有相同的最小值C.函數(shù)的圖象與的圖象有相同的對(duì)稱軸D.的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BD【解析】對(duì)于A，令中，可得，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正余弦函數(shù)的值域可得兩函數(shù)具有相同的最小值為，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，即，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的圖象向左平移個(gè)單位得到，故D正確；故選：BD10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與的右支交于、兩點(diǎn)，則（）A.直線與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)B.雙曲線的離心率為C.當(dāng)時(shí)，的面積為D.當(dāng)直線的斜率為，過線段的中點(diǎn)和原點(diǎn)的直線的斜率為時(shí)，【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，聯(lián)立可得，所以，直線與恰有只有一個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于雙曲線，則，，，所以，雙曲線的離心率為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，由余弦定理可得，可得，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為，則，，則，由題意可得，所以，，則，D錯(cuò).故選：BC.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增C.曲線是中心對(duì)稱圖形D.若，且的最小值是0【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由函數(shù)解析式可得，解得，因此函數(shù)的定義域?yàn)椋@然A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，令，，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，易知滿足，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，可得C正確；對(duì)于D，時(shí)，，其中，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故，即，所以的最小值為，即D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．有2個(gè)空的，第一個(gè)空做對(duì)得2分，第二個(gè)空做對(duì)得3分.12.等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和等于______．【答案】5【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，因此，所以的前4項(xiàng)和等于5.故答案為：513.中，為邊的中點(diǎn)，為中線上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則的最小值為________.【答案】【解析】如下圖所示：因?yàn)椋瑸檫叺闹悬c(diǎn)，所以，又三點(diǎn)共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因此的最小值為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若，則不等式的解集為_______；若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_____．【答案】①；②.【解析】第一空：若，則，當(dāng)時(shí)，由解得，則；當(dāng)時(shí)，由，解得，則；綜上可得不等式的解集為；第二空：恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于和的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)時(shí)，顯然無解；解得（舍去），也無解，不合題意；當(dāng)時(shí)，顯然無解；的判別式，設(shè)的兩根為，則，顯然兩根一正一負(fù)，即有1個(gè)實(shí)根，不合題意；當(dāng)時(shí)，令的對(duì)稱軸為，則在單減，則，則無解；，顯然時(shí)不成立，則，令，則，顯然在上單減，在單增，則，又，，則時(shí)，有2個(gè)根，即恰有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上：.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求邊上的高.解：（1）由正弦定理，得，又，所以，所以，整理，得，即，又，所以，所以，故.（2）由的面積為，得，所以.由余弦定理，得，所以，設(shè)邊上的高，由，解得.16.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.17.如圖，直三棱柱中，分別為棱，上的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接，設(shè)，連接.四邊形為平行四邊形，.為的中點(diǎn)，即.又平面平面，平面.（2）解：，而，當(dāng)時(shí)，取最大值2，即當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大.又三棱柱為直三棱柱，.當(dāng)時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則.設(shè)平面法向量為，則，令，則.又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.18.同學(xué)們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎?其規(guī)則是：每局25分，達(dá)到24分時(shí)，比賽雙方必須相差2分，才能分出勝負(fù)；每場(chǎng)比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）；比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3∶0或3∶1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以3∶2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.甲、乙兩隊(duì)近期將要進(jìn)行比賽，為預(yù)測(cè)它們的積分情況，收集了兩隊(duì)以往6局比賽成績(jī)：123456甲252127272325乙182525252517假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲，乙每局的比賽相互獨(dú)立.（1）估計(jì)甲隊(duì)每局獲勝的概率；（2）如果甲、乙兩隊(duì)比賽1場(chǎng)，求甲隊(duì)的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果甲、乙兩隊(duì)約定比賽2場(chǎng)，請(qǐng)比較兩隊(duì)積分相等的概率與的大小解：（1）由表可知：6場(chǎng)比賽甲贏了4場(chǎng)，則甲每局獲勝的頻率為，用頻率估計(jì)概率，所以甲隊(duì)每局獲勝的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，可得：，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望．（3）記“甲、乙比賽兩場(chǎng)后，兩隊(duì)積分相等”為事件，設(shè)第場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)積分分別為，，則，，2，因兩隊(duì)積分相等，所以，即，則，而，，，所以，因?yàn)?，所以兩?duì)積分相等的概率小于19.已知橢圓的離心率為，左右兩頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作斜率為的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）