高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.2．選擇題使用鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效.3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，，則（）A.0 B.5 C.10 D.15【答案】A【解析】，又，，成等差數(shù)列，，.故選：A2.已知函數(shù)，則（）A.1 B.－1 C.－2 D.0【答案】B【解析】由導(dǎo)數(shù)定義可知，由得，所以.故選：B．3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則（）A.24 B.－24 C. D.4【答案】C【解析】由于是等比數(shù)列，故，因此，故選：C4.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A.，則 B.，則C.，則 D.，則【答案】B【解析】因?yàn)椋蔄正確；因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔆正確；因?yàn)椋蔇正確.故選：B5.可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【解析】由圖象可知，在上，在上，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以在，，上不單調(diào)，故A，B，D錯(cuò)誤，在上單調(diào)遞增，故C正確.故選：C．6.兩個(gè)等差數(shù)列和，其前項(xiàng)和分別為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，故選：C．7.已知函數(shù)在處取得極小值，則的值為（）A.－1或－3 B.－1 C.或1 D.－3【答案】B【解析】由，又函數(shù)在處取得極小值，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，則或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，故符合；當(dāng)時(shí)，，令，則或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，故不符合，.故選：B8.數(shù)列滿足：，若，，則（）A.1 B.－1 C.5 D.－5【答案】D【解析】由題意可得，用代替可得：，兩式相加，得，，是以6為周期的數(shù)列，，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由的圖象知，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢.對(duì)于A，函數(shù)在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢，在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，故A不可能；對(duì)于B，函數(shù)在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢，故B可能；對(duì)于C，函數(shù)在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，故C不可能；對(duì)于D，函數(shù)在區(qū)間上增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢，故D不可能.故選：ACD．10.在2015年蘇州世乒賽期間，某景點(diǎn)用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球．記第堆最底層（第一層）的乒乓球數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】觀察圖形，，，，，故A正確；又，，，，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，也滿足，，故C正確；，，故D正確，故選：ACD．11.數(shù)列通項(xiàng)公式的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或其有限子集）的特殊函數(shù)解析式，數(shù)列的圖象是函數(shù)上的離散點(diǎn)．已知，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.圖象可以由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到B.，使得C.當(dāng)時(shí)，取得最小值D.數(shù)列的最大項(xiàng)的值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，故可以看作是由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位而得，故A正確；作出圖象如圖1，則數(shù)列的圖象為雙曲線上的一系列點(diǎn)，標(biāo)記如圖2，對(duì)于B，觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，數(shù)列也單調(diào)遞減，但，所以當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，從第3項(xiàng)起為負(fù)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列也單調(diào)遞減，但，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，雖然取最小值－1，但是，當(dāng)或時(shí)，，且當(dāng)或時(shí)，取最小值3，此時(shí)取到最大值，綜上，所以數(shù)列的最大項(xiàng)的值為，故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)____．【答案】【解析】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即切線方程為.故答案為：.13.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____．【答案】【解析】．可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值．作出函數(shù)的圖象如圖，令，則方程，化成，即，解得或，顯然有1個(gè)實(shí)數(shù)解，應(yīng)該有2個(gè)實(shí)數(shù)解，，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.14.角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．若取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需要經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”），已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），①若，則使得至少需要_____步“雹程”，②若，則所有可能取值的和為_(kāi)____．【答案】11；190【解析】①：當(dāng)時(shí)，根據(jù)上述運(yùn)算法得出：，此時(shí)共3步，結(jié)合題干可知后續(xù)還需要8步，故當(dāng)時(shí)，使得需要11步“雹程”；②：若，用倒推法羅列有：則，，則或.①當(dāng)時(shí)，，：i），；ii），；②當(dāng)時(shí)，，或：i），或；ii），或；，所有可能的取值集合為，所有可能取值的和為：；故答案為：11；190．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則，令，解得或，和把函數(shù)定義域劃分成三個(gè)區(qū)間，在各區(qū)間上的正負(fù)及的單調(diào)性如表：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有極小值也是最小值，并且最小值為，在區(qū)間上恒成立，，故的取值范圍為．16.已知在數(shù)列中，首項(xiàng)，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（3）令，記的前項(xiàng)和為，求．解：（1），，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即；（2）由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；（3），，①，②，①－②可得，即，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，棱，且底面，點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)，且，證明：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小．解：（1）在四棱錐中，，底面，，，由底面是正方形，得，以為原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為得，，而平面，平面；（2）由（1）知，，由，得，又，則，且，，平面，平面；（3）由（1）知，，且，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，，，而，則，，即，，則平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，，平面與平面的夾角為．18.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)滿足．（1）求曲線的方程；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求弦的長(zhǎng)度；（ii）當(dāng)時(shí)，用含的表達(dá)式表示三角形的面積，并求的最大值．解：（1）表示點(diǎn)到兩點(diǎn)，距離和等于4，大于，兩點(diǎn)間的距離，由橢圓的定義可知，曲線是以，為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，即，，所以，所以曲線的方程為；（2）（i）當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得或，不妨令，，則，（ii）聯(lián)立，整理可得，所以，即，設(shè)，，則，，所以，原點(diǎn)到的距離，所以三角形面積，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值．19.設(shè)函數(shù)．（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）證明：對(duì)任意，恒成立；（3）令，若的