高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2025屆高三下學期教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由或，所以，所以，故選：B.2.已知向量，，，則（）A.2 B.0 C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，因為，所以，故C正確.故選：C3.若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比等于（）A.或 B.或 C. D.【答案】C【解析】，，所以，故選：C.4.已知數(shù)據(jù)，，…，的方差，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，（）.即.所以.故選：D5.已知，為任意正數(shù)，若恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為對任意的正數(shù)，恒成立，所以，又，所以，所以.故選：A6.定義“真指數(shù)”（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于A，取，左邊，即左邊等于；右邊，故A錯誤；對于B，取，左邊，即左邊等于；右邊等于，故B錯誤；對于C，由于恒成立，所以在恒成立，所以自然指數(shù)函數(shù)滿足，當且僅當即時取等號，故C正確；對于D，取，左邊，即左邊等于；右邊等于，故D錯誤.故選：C7.設(shè)函數(shù)奇函數(shù).若函數(shù)，，則（）A.27 B.28 C.29 D.30【答案】B【解析】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：B8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將平方得，結(jié)合可得，即，即，即，故CD錯誤又，故A對，B錯；故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因為，所以，，故選項A正確；，而，與相等，故選項B正確；，故選項C正確；，，所以，故選項D錯誤.故選：ABC10.設(shè)函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.為的極小值點【答案】BD【解析】的定義域為，故為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤，由于，且，故當時，，此時，當時，，此時，當時，，因此，B正確，對于C,，當時，，此時，因此在單調(diào)遞減，故C錯誤，對于D，，當時，，故，當時，，此時，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，為的極小值點，D正確，故選：BD11.設(shè)曲線，直線與曲線的交點的可能個數(shù)的集合記為，則（）A. B.C D.若，則且【答案】ACD【解析】當有且漸近線為，當有，如下圖示，曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關(guān)于y軸對稱，根據(jù)對稱性，只需討論的情況，討論如下：當，時，直線與曲線無交點；時，直線與曲線有1個交點；時，直線與曲線有2個交點；當，時，如下圖直線，隨變化過程，由圖知，直線與橢圓部分相切為界，即有1個交點；此時不變，，直線與曲線有2個交點，，直線與曲線無交點，所以直線與曲線的交點個數(shù)有三種可能；時，，如下圖直線與曲線有2個交點；當，如下圖，分別以直線與曲線雙曲線、橢圓部分相切為界，直線在雙曲線部分相切線上方時，直線與曲線恒有1個交點，直線與雙曲線部分相切時，直線與曲線恒有2個交點，直線在橢圓相切線下方時，直線與曲線無交點，直線與橢圓部分相切時，直線與曲線有1個交點，直線在兩條相切線之間時，直線與曲線有3個交點，綜上，，A對；對于直線恒過點，隨的變化與曲線位置，如下圖示，時直線與曲線恒有2個交點；時直線與曲線恒有1個交點；所以與曲線的交點可能有兩種可能，即，B錯；對于，以直線與橢圓部分相切、直線與雙曲線漸近線平行界，聯(lián)立，則且，若，可得，如下圖示，當時，直線與曲線有2個交點；當或時，直線與曲線有1個交點；當時，直線與曲線無交點；所以與曲線的交點可能有兩種可能，即，C對；結(jié)合A分析，時存在直線與曲線有3個交點，而其它情況不存在，此時，假設(shè)，顯然直線與曲線有且僅有1個交點，不符合，所以，結(jié)合對稱性，直線與曲線有3個交點，必有且，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線方程是____________.【答案】【解析】由題設(shè)，則切線斜率，又，得，所以曲線在點處的切線方程是，所以切線方程為.故答案為：13.已知是單位圓，正三角形的頂點，在上，則的最大值為___________.【答案】2【解析】等邊三角形的頂點，在圓上，如圖所示；根據(jù)圓與等邊三角形的對稱性知，當取最大值時，過的中點M，設(shè),則，,所以，，設(shè)，則，令，即，移項平方后化簡可得或（舍），所以當時，，是增函數(shù)；當時，，是減函數(shù)，當時，，所以的最大值為2.故答案為：2.14.甲、乙、丙三人分別從2個不同的數(shù)中隨機選擇若干個數(shù)（可以不選），分別構(gòu)成集合，，，記中元素的個數(shù)為，則的概率為___________.【答案】【解析】設(shè)兩個不同數(shù)為，一個元素被某人選中的概率為且相互獨立，所以一個元素被甲乙丙三人都選中的概率為，由中元素的個數(shù)，表示至少一個元素被三人選中，而兩個元素均未被三人選中的概率為，所以的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：新能源汽車款新能源汽車款總計男性5010女性251540總計25100（1）求；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關(guān)聯(lián)？（3）假設(shè)用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立.若從購買者中隨機抽取3人，設(shè)被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為，求的數(shù)學期望.附：，.0.100.050.0100.00527063.8416.6357.879解：（1）由題意得，.（2）零假設(shè)為：選購新能源汽車的款式與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，可以認為選購車的款式與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；（3）隨機抽取1人購買B款車的概率為，的可能取值有，由題意得，由二項分布的期望公式得.16.已知函數(shù)（）.（1）若，求的極小值；（2）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當時，設(shè)的極大值為，求證：.解：（1）由題意知.若，則，所以.令，得.當時，當時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值等于.（2）因為，所以，由，即，解得或，所以在和單調(diào)遞增，由，即，解得，所以在單調(diào)遞減，故的單調(diào)增區(qū)間為和.（3）當時，由（2）知，的極大值等于；當時，，單調(diào)遞增，無極大值；當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以的極大值等于，令，所以，在上在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故，綜上所述，.17.在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動點.（1）設(shè)，（?。┳C明：平面；（ⅱ）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.解：（1）（?。┰谥?，，，所以.因為，，所以，所以.又因為，平面，，所以平面.（ⅱ）.（2）如圖，建立以為原點的空間直角坐標系，設(shè)二面角的平面角為，則，，，.所以.平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則.設(shè)，設(shè)，所以，（當且僅當，即時取等號），即.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知拋物線的焦點到準線的距離為2，點，過的直線交于，兩點，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點，.（1）求的方程；（2）記，的縱坐標分別為，，當時，求直線的斜率；（3）設(shè)為軸上一點，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點的坐標.解：（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯(lián)立消去，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設(shè)，因為.因為，.所以，當時，為定值.所以.19.設(shè)，，…，是1，2，…，（且）的一個排列.數(shù)列滿足為，，（）的中位數(shù)，規(guī)定，.將中的所有取值構(gòu)成的集合記為.（1）當時，求和；（2）求中所有元素之和的最大值；（3）求中元素個數(shù)的最小值.解：（1）當時，1，2，3無論按何種順序排列，中位數(shù)只能是2，故.當時，在1，2，3，4中任取3個數(shù)：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，中位數(shù)只能為2或3，所以.（2）顯然，不存在使得或，故中所有元素的和，且當時，有.此時成立.（3）注意到對于任意，，記中元素個數(shù)的最小值為，由（1）可知，，.考慮的情形：對于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作為中位數(shù)；不妨，考慮三元素組，，，至少產(chǎn)生2個不同的中位數(shù).①若此時中位數(shù)為，，不妨，則，.所以三元組將產(chǎn)生新的中位數(shù)，所以；②若此時的中位數(shù)為，，則，，.若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù)；若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù).所以.③同理可知，若此時中位數(shù)為，；，也有；所以，，.下面證明：.比較下面兩個數(shù)列：（ⅰ），，…，，，.（ⅱ），，…，，，，，，.其中，，…，和，，…，具有相同大小順序.因此，這兩個數(shù)列的前個三元數(shù)組所對應的中