高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省威海市2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.又，所以.故選：D.2.已知數(shù)據(jù)87，89，90，90，91，92，93，94，則（）A.極差為6 B.中位數(shù)為90C.第70%分位數(shù)為92 D.平均數(shù)為90.25【答案】C【解析】由題意可知：數(shù)據(jù)的極差為：，故A錯誤；數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：，故B錯誤；因為，故數(shù)據(jù)的第70%分位數(shù)為第6個數(shù)，故C正確；因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故D錯誤.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】上單調(diào)遞減，則；單調(diào)遞增，所以；又單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，.所以原式.故選：D.5.現(xiàn)有甲，乙兩支籃球隊進行比賽，甲隊每場獲勝的概率為，且各場比賽互不影響．若比賽采用“三局兩勝”制，則甲隊獲得勝利的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若比賽兩場甲獲勝，則概率為；若比賽三場甲獲勝，則概率為；甲獲得冠軍的概率.故選：A.6.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每過濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的2%以下，則至少需要過濾（）A.4次 B.5次 C.6次 D.7次【答案】C【解析】每過濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，設(shè)要使水中雜質(zhì)減少到原來的2%以下至少需要過濾次，則.又，所以.故選：C.7.設(shè)，，q：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則成立是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為：，.所以成立的充分必要條件是：或，解得.又成立的充分必要條件為：a2-5a+6>0a≤5所以成立是成立的必要不充分條件.故選：B.8.定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，因為函數(shù)，分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以.所以，由（當且僅當時取“”）.所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.口袋中裝有編號為①，②，③的3個紅球和編號為①，②，③，④，⑤的5個黑球，小球除顏色、編號外形狀大小完全相同．現(xiàn)從中取出1個小球，記事件A為“取出的小球的編號為③”，事件B為“取出的小球是黑球”，則（）A.A與B互斥 B.C.A與B獨立 D.【答案】BD【解析】對于A，當取到的小球為黑球，且編號為③，事件和事件同時發(fā)生，所以，故與不互斥，故A錯誤；對于B，表示、同時發(fā)生的概率，即取到的小球為黑球且編號為③，所以，故B正確；對于C，表示取出的小球的編號為③的概率，則，表示取出的小球是黑球的概率，則，因為，所以事件A與B不獨立，故C錯誤；對于D，表示取到的小球標號為③或黑球，所以，故D正確.故選：BD．10.已知，，，則（）A.的最大值為0 B.的最小值為4C.的最小值為9 D.的最大值為【答案】ABD【解析】因為，，，所以由基本不等式得，當且僅當時取等，下面，我們開始分析各個選項，對于A，由對數(shù)的運算性質(zhì)得，則的最大值為0，故A正確，對于B，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時，則的最小值為4，故B正確，對于C，因為，所以，則，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時解得，得到，則的最小值不為9，故C錯誤，對于D，我們對進行平方，得到，由重要不等式得，當且僅當時取等，此時解得，則，故，得到，而，，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)且，則（）A.在上單調(diào)遞增函數(shù)B.的值域為C.當時，的圖象關(guān)于直線對稱D.關(guān)于的方程有實數(shù)根【答案】BCD【解析】對于A，當時，當時，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得單調(diào)遞減，則在上不可能是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯誤，對于B，對于，我們對的范圍分類討論，當時，當時，則，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得單調(diào)遞減，故，設(shè)，則，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得單調(diào)遞減，故，則的值域為，同理可得，當時，的值域為，綜上，的值域為，故B正確，對于C，當時，當時，則，設(shè)在上，則，得到，即，化簡得，此時點在上，而和關(guān)于對稱，則的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確，對于D，因為的值域為，所以的值域也是，則和一定有交點，即關(guān)于的方程有實數(shù)根，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學校體育部有5名學生干部，其中高一2名，高二3名．從這5名學生中隨機選2名組織校體育活動，則這2名學生來自不同年級的概率為______．【答案】【解析】2名高一學生干部記為：a，b；3名高二學生干部記為：，，，則樣本空間，共含有10個樣本點，設(shè)事件表示“這2名學生來自不同年級”，則包含，即，所以這2名學生來自不同年級的概率為.13.已知，且，則__________．【答案】【解析】因為，所以，令，則，化簡得，即，解得或(舍去)，故，解得，符合題意.14.已知為上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】由為奇函數(shù)，得，當時，，故，故當時，，所以；又當時，的開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以或，解得或，故不等式的解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由或，所以；當時，由，所以.所以.（2）由，所以.若，則方程無解，所以；若，則；若，則.綜上可得：.16.已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)為，．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）對于，令，則可化為，若，則，即，解得，得到，解得，則的取值范圍為.（2）（i）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程有兩個不相等的正實數(shù)根，得到與有兩個不相同的橫坐標大于的交點，由二次函數(shù)性質(zhì)得上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，最小值為，故.（ii）因為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，所以有兩個不相等的正實數(shù)根，而我們把方程的兩個根設(shè)為，，則設(shè)的兩個根為，由韋達定理得，即，結(jié)合，得到，即，解得，原命題得證.17.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，函數(shù)．（1）判斷在上的單調(diào)性并證明；（2）設(shè)函數(shù)，．若，，求的取值范圍．解：（1）由，所以或，由冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以.故.所以.函數(shù)在上單調(diào)遞增，下面用單調(diào)性定義證明：設(shè)，則.因為，所以，，，所以，所以，即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，.對，.當即時，在上單調(diào)遞增，所以，由.當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.由，無解.當即時，在上單調(diào)遞減，所以，由，這與矛盾，無解.綜上可知：.故的取值范圍是：.18.研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種病毒的感染者與未感染者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到感染者和未感染者該指標的頻率分布直方圖如下：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將感染者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未感染者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）求頻率分布直方圖中的值及未感染者該指標的中位數(shù)；（2）當漏診率時，求臨界值和誤診率；（3）設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在上的最小值．解：（1）在感染者該指標的頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，所以，解得，在未感染者該指標的頻率分布直方圖中，前兩個小矩形的面積之和為，前三個小矩形的面積之和為，所以未感染者該指標的中位數(shù)在第三組，且為.（2）依題可知，第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得，．（3）當時，；當時，，故，所以在區(qū)間的最小值為．19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)．（i）證明：有兩個零點，，并求；（ii）若關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，求的取值范圍．解：（1）由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得的定義域為，因為，所以，則，令，即可化為，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）（i）因為，所以，則令，由對勾函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則，由零點存在性定理得存在作為零點，而，則，由零點存在性定理得存在作為零點，故一定存在兩個零點，，得到，而，得到，故，結(jié)合，得到，而，則，結(jié)合，故和都在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即，解得.（ii）若，則，由已知得，故，則使即可，而，由基本不等式得，當且僅當時取等，此時，則而，故在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，得到，即，由題意得，我們開始