概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)Probability&Statistics主講：吳道明概率論是生活真正的引路人，如果沒有對(duì)概率的某種估計(jì)，我們就寸步難行，無所作為。

英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯

一、引言

1.確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

特點(diǎn)

在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的。隨機(jī)現(xiàn)象——即在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行觀測或試驗(yàn)，它的結(jié)果未必是相同的。

有一類現(xiàn)象，在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而試驗(yàn)或觀察前，不能預(yù)知確切的結(jié)果。隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)

：

雖然在個(gè)別試驗(yàn)中，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過長期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，這類現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性——這種在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正是研究隨機(jī)現(xiàn)象的這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支概率論的起源

賭博概率論的發(fā)展分析，測度，概率的公理化體系數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性質(zhì)的數(shù)據(jù)，以對(duì)所觀測的問題作出推斷和預(yù)測概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用和滲透

下面我們就來開始這門課程的學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1.1樣本空間與統(tǒng)計(jì)規(guī)律一、隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或試驗(yàn)，統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn)，用E表示

第一章隨機(jī)事件與概率特點(diǎn):（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）

試驗(yàn)的全部可能結(jié)果不止一個(gè)，并且在試驗(yàn)之前能夠明確知道所有的可能結(jié)果；

（3）

每次試驗(yàn)必發(fā)生全部可能結(jié)果中的一個(gè)且僅發(fā)生一個(gè)。但在進(jìn)行某次試驗(yàn)前，不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。

E1：擲一枚硬幣，觀察正面（H）、反面（T）出現(xiàn)的情況；E2：拋一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E3：測試出廠日光燈的質(zhì)量，觀察記錄結(jié)果；E4：記錄南京市每天的最高溫度和最低溫度；E5：早上7：30在校食堂某攤位前排隊(duì)買早點(diǎn)的人數(shù)。Notes：樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的。E6:觀察航天器的發(fā)射成功與否;E7:

調(diào)查一分種內(nèi)某路口通過的汽車數(shù);§1.2

樣本空間與隨機(jī)事件

一、樣本空間

隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合，稱為E的樣本空間，用Ω表示，記為

注意ω的完備性，互斥性特點(diǎn)

.

Ω樣本點(diǎn)eΩ={

|

為E的可能結(jié)果}樣本空間的元素ω，也稱為樣本點(diǎn)e.二、隨機(jī)事件定義

隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間的某些子集稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件，它常用大寫字母A，B，C表示.任意隨機(jī)事件都是樣本空間的某一個(gè)子集.在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的含義是，當(dāng)且僅當(dāng)A中一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生（或出現(xiàn)）。事件A發(fā)生也稱為事件A出現(xiàn)

事件的發(fā)生將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記做

A:“兩次出現(xiàn)的面不同”

或

A={兩次出現(xiàn)的面不同}

用樣本空間的子集可表達(dá)為A={(H,T),(T,H)}特殊的事件：必件然事Ω：在每次試驗(yàn)中必出現(xiàn)Ω中一個(gè)樣本點(diǎn)，即在每次試驗(yàn)中Ω必發(fā)生，因此稱Ω為必然事件;

不件可事能

：在每次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的樣本點(diǎn)都不在中，即在每次試驗(yàn)中

都不發(fā)生，因此稱

為不可能事件。Notes：空集為不可能事件，不可能事件不一定為空集。例1

一袋里有四個(gè)球，它們分別標(biāo)號(hào)為1、2、3和4?，F(xiàn)從袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球，記錄兩次取球的結(jié)果。若改為一次從袋中任取兩個(gè)球呢？若取出一個(gè)球后再放回去呢？

若改為從袋中不放回地一個(gè)接一個(gè)地取球，直到取出1號(hào)球?yàn)橹?，記錄所取的球的?hào)碼。(目的不同)例2.一個(gè)電視臺(tái)要招聘播音員,現(xiàn)有符合條件的三位女士和兩位男士前來應(yīng)聘。（1）寫出招聘男女播音員各一名的樣本點(diǎn)和樣本空間；（2）寫出招聘兩名播音員的樣本空間和事件A=“招聘到兩名女士”基本事件——由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件

三、事件的關(guān)系與運(yùn)算1、、事件的關(guān)系與運(yùn)算

（1）若A

B，則稱事件B包含事件A，事件A包含于事件B，指的是事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生（2）若A

B，B

A，即A=B，則稱事件A與事件B相等。（3）事件A

B稱為事件A與事件B的并（或和）事件。——當(dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件A

B發(fā)生?！癆、B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)”，“A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件A

B發(fā)生”是等價(jià)的。類似地，稱為n個(gè)事件A1,…,An的和事件。稱為可列個(gè)事件A1,…,An,…的和事件。（4）事件A

B稱為事件A與事件B的交（或積）事件，也記作AB?！?dāng)且僅當(dāng)A、B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生?！笆录嗀和B同時(shí)發(fā)生”，“A發(fā)生且B發(fā)生”，

“A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價(jià)的。類似地，稱為n個(gè)事件A1,…,An的積事件。稱為可列個(gè)事件A1,…,An,…的積事件。（5）事件A

B稱為事件A與事件B的差事件?！?dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生時(shí)，事件A

B發(fā)生。（6）若A

B=，稱為事件A與事件B互不相容，或互斥。類似地，若n個(gè)事件A1,…,An中兩兩互斥，則稱這n個(gè)事件是互不相容的。若事件A1,…,An,…中任意兩個(gè)事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個(gè)事件是互不相容的。（7）若A

B=Ω,

A

B=，稱事件A與事件B為對(duì)立事件?！诿看卧囼?yàn)中，事件A、B中必有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生。（8）事件稱為事件A的補(bǔ)事件?！?dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。

事件與集合對(duì)應(yīng)關(guān)系類比概率論集合論樣本空間＝{}事件子集事件A發(fā)生

A事件A不發(fā)生

A事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A

B

概率論集合論事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生A

B事件A與B同時(shí)發(fā)生A

B(或AB)事件A發(fā)生而B不發(fā)生A－B事件A與B互不相容AB＝

二、

事件的運(yùn)算性質(zhì)1、交換律：A

B＝B

A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A

B)

C＝A(B

C)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，

(AB)

C＝(A

B)(B

C)4.德.摩根律:推廣

對(duì)于一個(gè)具體事件，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示；反之，對(duì)于用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的事件，要清楚其具體含義是什么.

是A的對(duì)立事件，

={兩件產(chǎn)品不都是合格品}也可敘述為：={兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)是不合格品}A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，

例3：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記問：={兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)是不合格品}它又可寫為兩個(gè)互斥事件之和={兩件產(chǎn)品中恰有一個(gè)是不合格品}{兩件產(chǎn)品中都是不合格品}3、“互斥”=“互不相容”與“對(duì)立”=“互逆”

的區(qū)別與關(guān)系A(chǔ)、B互斥AB=φA、B對(duì)立AB=φ且A∪B=Ω故對(duì)立可推出互斥但反之不成立例4：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，

若記

Bi={取出的第

i

件是合格品}，i=1,2={兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)是不合格品}

A=B1B2

問如何用Bi表示A和？（1）A發(fā)生,B與C不發(fā)生設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件.或（2）A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生或（3）A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生A∪B∪C（4）A、B、C都發(fā)生或ABC恰有1個(gè)發(fā)生恰有2個(gè)發(fā)生∪ABC3個(gè)都發(fā)生（5）A、B、C中至少有兩個(gè)發(fā)生

AB∪BC∪AC

或（6）A、B、C都不發(fā)生∪ABC恰有2個(gè)發(fā)生3個(gè)都發(fā)生或（7）.A、B、C中不多于一個(gè)發(fā)生恰有2個(gè)不發(fā)生3個(gè)都不發(fā)生或至少有2個(gè)不發(fā)生（8）A、B、C

中不多于兩個(gè)發(fā)生或或至少有1個(gè)不發(fā)生注意4、常用關(guān)系補(bǔ)充（1）A－B=A－AB=(A∪B)－B=（2）A∪B=A∪=B∪（3）A=AB∪基本計(jì)數(shù)原理1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，從n個(gè)不同元素取k個(gè)（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法從n個(gè)不同元素取k個(gè)（不允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：或組合：

從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素，不管其順序并組成一組，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，其組合總數(shù)記為：有性質(zhì)：Notes：排列與組合的區(qū)別：前者與次序有關(guān)；后者與次序無關(guān)?！?.3頻率與概率從同一型號(hào)同一批次的反坦克彈中任抽一發(fā)反坦克彈射擊目標(biāo)，觀測命中情況。設(shè)A代表“命中”這一事件，求P(A)?一、事件的頻率

在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生頻數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻率

頻率的穩(wěn)定性擲一枚均勻硬幣，記錄前400次試驗(yàn)中頻率P*的波動(dòng)情況。下圖：正面出現(xiàn)頻率的趨勢（橫軸為對(duì)數(shù)尺度）

擲硬幣試驗(yàn)

在重復(fù)試驗(yàn)中，事件A的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率的擺動(dòng)幅度越來越小，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性.

頻率穩(wěn)定性定義事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).頻率的性質(zhì)(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：(3)有限可加性：

fn(A)≥0；

fn(

)＝1；即fn(A)＝nA/n.

歷史上曾有人做過試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者n

nH

fn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)定值。

這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計(jì)方法求概率的數(shù)值開拓了道路.出時(shí)，人們常取實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)事件的頻率作為概率的估計(jì)值，這種確定概率的方法稱為頻率方法.在實(shí)際中，當(dāng)概率不易求

在大量重復(fù)一隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些事件發(fā)生的次數(shù)多一些，有些事件發(fā)生的次數(shù)少一些。也就是說，有些事件發(fā)生的可能性大一些，有些事件發(fā)生的可能性小一些二、概率將表征隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)稱為事件的概率

如何度量事件發(fā)生的可能性呢？記為P(A)

事件發(fā)生的可能性最大是百分之百，此時(shí)概率為1.0≤P(A)≤1

事件發(fā)生的可能性最小是零，此時(shí)概率為0.定義若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：（3）可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(i

j),i,j＝1,2,…,有P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A發(fā)生的概率。對(duì)任一事件A，有P(A)≥0；P(

)＝1；概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2有限可加性:

若A1，A2，…，An互不相容，則性質(zhì)4若A

B,則有

P(B－A)=P(B)－P(A)

P(A)

P(B)特別地，對(duì)任何事件A，都有P(A)

1;注意任意兩個(gè)事件的差的概率怎么求？Ａ

性質(zhì)3對(duì)事件A，有

又因再由性質(zhì)3便得性質(zhì)5對(duì)任何兩個(gè)事件A,B，都有對(duì)任何n個(gè)事件A1，A2，…，An,都有例如：三個(gè)事件和的概率為

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)

§1.4古典概型假定隨機(jī)試驗(yàn)E有有限個(gè)可能的結(jié)果

假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)比另一結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大或小，我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會(huì).23479108615

例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.古典概型若隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E滿足：

①樣本空間Ω

只含有有限個(gè)元素

Ω={ω1,…,ωn}

②試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的.則稱E為古典概型試驗(yàn)，簡稱古典概型。

設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間Ω含有n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn)，定義

P(A)=k/n

事件概率的計(jì)算公式排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.古典概率的基本性質(zhì)

設(shè)E是古典概型，其樣本空間為

A，A1，A2，…，An是E中事件,則有

①0≤P（A）≤1②P（Ω）=1，P（

）=0③若A1，A2，…，An是互不相容的事件，則有推論

例

6

一口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只，取球方式采用不放回抽樣，求:(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)兩球顏色相同的概率;(3)至少一只白球的概率;(有放回如何?)例

7

將n只球隨機(jī)地放到N（N

n）個(gè)盒子中去，試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率。(指定n個(gè)盒子如何?)例8(生日問題)求n個(gè)人中至少有兩個(gè)人同生日的概率。例9

盒中有a只白球，b只黑球，把球隨機(jī)地一只只摸出來（不放回），求第k次摸到白球的概率。（1

k

a+b）n20304050607080pn0.4110.7060.8910.9700.9940.9990.9999

例10有若干同學(xué)參加秋游活動(dòng)，已知其中沒有人同生日，某老師判斷至少有50人參加了這次活動(dòng)，他判斷正確嗎？例11（傳統(tǒng)型彩票）傳統(tǒng)型“10選6+