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文檔簡(jiǎn)介

17--18世紀(jì):Pascal、Fermat、Huygens、Bernoulli、DeMoivre、Simpon、Buffon;19世紀(jì):Laplace、Gauss、Poisson、Chebyshev、Markov;20世紀(jì):Kolmogorov、Khintchine;概率論R.A.Fisher、K.Pearson、W.S.Gosset(Student)、J.Neyman、E.S.Pearson(K.Pearson的兒子)、A.Wald、H.Cramer、許寶騄等等。數(shù)理統(tǒng)計(jì)Ch1隨機(jī)事件與概率

確定性現(xiàn)象:在一定條件下必然發(fā)生。隨機(jī)現(xiàn)象:在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性,在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。

隨機(jī)試驗(yàn)E1:擲一枚硬幣,觀察正面(H)、反面(T)出現(xiàn)的情況;E2:拋一顆骰子,考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);E3:測(cè)試出廠日光燈的質(zhì)量,觀察記錄結(jié)果;綜上隨機(jī)試驗(yàn)有以下特點(diǎn):1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;2.試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果;3.一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn),記為E。

樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能試驗(yàn)結(jié)果組成的集合稱為樣本空間,記為

。樣本點(diǎn):組成樣本空間的元素,即隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能結(jié)果,記為

。樣本點(diǎn)又叫基本事件,所以={}。E1:擲一枚硬幣,觀察正面(H)、反面(T)出現(xiàn)的情況;E2:拋一顆骰子,考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);E3:測(cè)試出廠日光燈的質(zhì)量,觀察記錄結(jié)果;E4:記錄南京市每天的最高溫度和最低溫度;E5:早上7:30在校食堂某攤位前排隊(duì)買早點(diǎn)的人數(shù)。Notes:樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的。

隨機(jī)事件試驗(yàn)E的樣本空間

的子集稱為E的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件,記為A、B等。即試驗(yàn)E的部分試驗(yàn)結(jié)果組成的集合為隨機(jī)事件。在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱這一事件發(fā)生?;臼录河梢粋€(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的單點(diǎn)集。必然事件:在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的事件。比如樣本空間。Notes:樣本空間為必然事件,必然事件不一定為樣本空間。不可能事件:在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件。比如空集。Notes:空集為不可能事件,不可能事件不一定為空集。例

一袋里有四個(gè)球,它們分別標(biāo)號(hào)為1、2、3和4。現(xiàn)從袋中任取一球后,不放回袋中,再?gòu)拇腥稳∫磺?,記錄兩次取球的結(jié)果。若改為一次從袋中任取兩個(gè)球呢?若取出一個(gè)球后再放回去呢?若改為從袋中不放回地一個(gè)接一個(gè)地取球,直到取出1號(hào)球?yàn)橹?,記錄所取的球的?hào)碼。

事件之間的關(guān)系

1.包含關(guān)系A(chǔ)

B“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”

A=B

A

B且B

A2.和事件A

B“A與B至少一個(gè)發(fā)生”

3.積事件A

B=AB“A與B同時(shí)發(fā)生”

4.差事件A-B“A發(fā)生但B不發(fā)生”

5.互不相容或互斥A

B=

A、B互不相容或互斥Notes:基本事件是兩兩互不相容的事件6.對(duì)立事件或逆事件A

B=

且A

B=

A與B互為逆事件或?qū)α⑹录?/p>

事件與集合對(duì)應(yīng)關(guān)系類比概率論集合論樣本空間={}事件子集事件A發(fā)生A事件A不發(fā)生A事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A

B

概率論集合論事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生A

B事件A與B同時(shí)發(fā)生A

B(或AB)事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生A-B事件A與B互不相容AB=

事件的運(yùn)算1、交換律:A

B=B

A,AB=BA2、結(jié)合律:(A

B)

C=A(B

C),(AB)C=A(BC)3、分配律:(A

B)C=(AC)(BC),(AB)

C=(AC)(B

C)4、對(duì)偶(DeMorgan)律:可推廣例

設(shè)A、B、C表示三個(gè)事件,試將下列事件用A、B、C表示出來(lái)(1)A出現(xiàn),B、C不出現(xiàn);(2)三個(gè)事件中至少一個(gè)事件出現(xiàn);(3)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);(4)不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);(5)A、B、C中恰有兩個(gè)出現(xiàn)。

排列與組合加法原理:設(shè)完成一件事情有n種方法(只要選擇其中一種方法即可完成這件事),若第一類方法有m1種,第二類方法有m2種,

,第n類方法有mn種,則完成這件事情共有:N=m1+m2+

+mn乘法原理:設(shè)完成一件事情有n個(gè)步驟(僅當(dāng)n個(gè)步驟都完成,才能完成這件事),若第一步有m1種,第二步有m2種,

,第n步有mn種,則完成這件事情共有:Notes:加法原理與乘法原理的區(qū)別:前者完成一步即完成一件事;后者須n步均完成才完成一件事。N=m1

m2

mn排列:從n個(gè)不同元素中任取m(m

n)個(gè)按照一定的順序排成一列,稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。從n個(gè)不同元素取出m個(gè)元素的所有排列種數(shù),記為:從n個(gè)不同元素中全部取出的排列稱為全排列,其排列的種數(shù),記為:允許重復(fù)的排列:從n個(gè)不同元素中有放回地取m個(gè)按照一定的順序排成一列,其排列的種數(shù)為:不全相異元素的排列:若n個(gè)元素中,有m類(1<m

n)本質(zhì)不同的元素,而每類元素中分別有k1,k2,…,km個(gè)元素(k1+k2+…+km=n,1<ki<n,i=1,2,…,m),則n個(gè)元素全部取出的排列稱為不全相異元素的一個(gè)全排列。其排列的種數(shù)為:組合:從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素,不管其順序并組成一組,稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,其組合總數(shù)記為:有性質(zhì):Notes:排列與組合的區(qū)別:前者與次序有關(guān);后者與次序無(wú)關(guān)。

頻率與概率定義事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次,則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率,記為fn(A).頻率的性質(zhì)(1)非負(fù)性:(2)規(guī)范性:(3)有限可加性:

fn(A)≥0;

fn(

)=1;即fn(A)=nA/n.歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí),出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者n

nH

fn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005實(shí)踐證明:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí),fn(A)逐漸趨向一個(gè)定值。定義若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A,均賦予一實(shí)數(shù)P(A),集合函數(shù)P(A)滿足條件:(1)非負(fù)性:(2)規(guī)范性:(3)可列可加性:設(shè)A1,A2,…,是一列兩兩互不相容的事件,即AiAj=,(i

j),i,j=1,2,…,有P(A1

A2

)=P(A1)+P(A2)+….則稱P(A)為事件A發(fā)生的概率。對(duì)任一事件A,有P(A)≥0;P(

)=1;概率的性質(zhì)(1)

P(

)=0;設(shè)A1,A2,…An

,是n個(gè)兩兩互不相容的事件,即AiAj=

,(i

j),i,j=1,2,…,n,則有(2)有限可加性:P(A1

A2

An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);(3)單調(diào)不減性:若事件B

A,則P(B)≥P(A),且P(B-A)=P(B)-P(A);(4)互補(bǔ)性:(5)加法公式:對(duì)任意兩事件A、B,有P(A

B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式可推廣到任意n個(gè)事件A1,A2,…,An的情形;(6)可分性:對(duì)任意兩事件A、B,有一般的,有如下定義定義

事件組B1,B2,…,Bn

(n可為

),稱為樣本空間的一個(gè)劃分(或完備事件組),若滿足:

古典概型(等可能概率)特征:10樣本空間的元素只有有限個(gè);20試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同;有限性:滿足上述兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為等可能概型(或古典概型)。等可能性:樣本空間={1,2,…,n};P(i)=1/n,(i=1,2,…,n).設(shè)事件A中包含k個(gè)樣本點(diǎn)(基本事件)P(A)=例一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球,從袋中取球兩次,每次隨機(jī)地取一只,取球方式采用不放回抽樣,求取到的兩只球都是白球的概率?例將n只球隨機(jī)地放到N(N

n)個(gè)盒子中去,試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率。例在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?例盒中有a只黑球,b只白球,把球隨機(jī)地一只只摸出來(lái)(不放回),求第k次摸到黑球的概率。(1

k

a+b)

幾何概型特征1.基本事件數(shù)無(wú)限:={},充滿區(qū)域

;2.等可能性:隨機(jī)點(diǎn)落在某區(qū)域G的概率與區(qū)域G的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)成正比,而與其位置及形狀無(wú)關(guān)。以AG表示“在區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)落在區(qū)域G中”這一事件,則例兩艘輪船都要??客粋€(gè)泊位,它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)。設(shè)兩船停靠泊位的時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí),求一艘船??坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率。例(蒲豐(Buffon)投針問(wèn)題)1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下列著名問(wèn)題:平面上畫(huà)著一些平行線,它們之間的距離都等于d,向此平面上任投一長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L<d)的針,試求此針與任一平行線相交的概率。

概率的公理化結(jié)構(gòu)公理1事件域公理樣本空間的所有子集所組成的集合

若滿足以下三個(gè)條件:

(F.1)

;

(F.2)若A

,則=

-A

(F.3)若有一列Ai

,i=1,2,…,則可列和

則稱其為上的域(或

代數(shù)),也稱其為上的事件域。二元體(,

)稱為可測(cè)空間。

由公理1可推得如下性質(zhì):(1)

;(2)若A、B

,則A

B

,A-B

,AB

;(3)若有一列Ai

,i=1,2,…,則

公理2概率公理

設(shè)(,

)為可測(cè)空間,在事件域

上定義一個(gè)實(shí)值函數(shù)P(A),A

,滿足:(1)非負(fù)性:P(A)0,對(duì)任意A

;(2)規(guī)范性:P(

)=1;(3)可列可加性:若有一列Ai

,i=1,2,…,AiAj=,i

j使得

則稱P(A)為域

上的概率測(cè)度,簡(jiǎn)稱“概率”。

滿足公理1和公理2的三元體(,

,P)稱為概率空間。

條件概率定義設(shè)A、B是

中的兩個(gè)事件,且P(B)>0,稱引例某班有100人,其中男生60人,女生40人,考試及格95人,其中男生58人,女生37人。記A:任取一人考試及格;B:任取一人為男生求:(1)任取一人考試及格的概率;(2)任取一男生考試及格的概率。為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。Notes:20

條件概率P(A|B)也是概率。它也具有概率所具有的一切性質(zhì)。比如:i)0

P(A|B)1;ii)

P(

|B)=1;

iii)設(shè)A1,A2,…,是一列兩兩互不相容的事件,則10

條件概率的計(jì)算除了按上式計(jì)算之外,也可在縮減的樣本空間B里直接計(jì)算。還有:P(A1

A2

|B)=P(A1

|B)+P(A2

|B)-P(A1A2

|B)等等例口袋中裝有(2n–1)只白球,2n個(gè)黑球。一次取出n個(gè)球,發(fā)現(xiàn)都是同一顏色的球,求它們都是黑球的概率?

乘法公式事件A、B的概率乘法公式

上式還可推廣到三個(gè)事件的情形:P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)一般的,有下列公式:P(A1A2…An)=P(An|A1…An-1)...P(A2|A1)P(A1)例對(duì)產(chǎn)品作抽樣檢驗(yàn)時(shí),每100件為一批,逐批進(jìn)行。對(duì)每批檢驗(yàn)時(shí)。從中任取1件作檢查,如果是次品,就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格;如果是合格品,則再檢查一件,檢驗(yàn)過(guò)的產(chǎn)品不放回。如此連續(xù)檢查5件,如果檢查5件產(chǎn)品都是合格品,則認(rèn)為這批產(chǎn)品合格而被接受。假定一批產(chǎn)品中有5%是次品,求一批產(chǎn)品被接受的概率?

全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式定理設(shè)B1,…,Bn是

的一個(gè)劃分,且P(Bi)>0,(i=1,…,n),則對(duì)任何事件A,有全概率公式例某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下數(shù)據(jù):元件制造廠次品率提供晶體管的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的,且無(wú)區(qū)別的標(biāo)記,在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管,求它是次品的概率。例三人中只有一人射中飛機(jī)的概率是0.36,三人中恰有兩人射中飛機(jī)的概率是0.41,三人全都射中飛機(jī)的概率是0.14。又設(shè)無(wú)人射中,飛機(jī)不會(huì)墜毀,只有一人射中飛機(jī)墜毀的概率為0.2,兩人射中飛機(jī)墜毀的概率為0.6,三人射中飛機(jī)一定墜毀。求三人同時(shí)向飛機(jī)射擊一次飛機(jī)墜毀的概率。定理設(shè)B1,…,Bn是

的一個(gè)劃分,且P(Bi)>0,(i=1,…,n),則對(duì)任何事件A,有貝葉斯公式或逆概率公式例已知男人中有50%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人,恰好是色盲患者,問(wèn)此人是男性的概率是多少?例在無(wú)線電通訊中,由于隨機(jī)因素的影響,當(dāng)發(fā)出短號(hào)“

”時(shí),收到“

”、“不清”和長(zhǎng)號(hào)“-”的概率分別是0.7、0.2和0.1,當(dāng)發(fā)出長(zhǎng)號(hào)“-”時(shí),收到“-”、“不清”和“

”“的概率分別是0.9、0.1和0。若在整個(gè)發(fā)報(bào)過(guò)程中信號(hào)“

”及“-”出現(xiàn)的概率分別是0.6和0.4,當(dāng)收到信號(hào)“不清”時(shí),試推測(cè)原發(fā)信號(hào)。

事件的獨(dú)立性定義設(shè)A、B是兩事件,若

P(A)=P(A|B)則稱事件A與B相互獨(dú)立。上式等價(jià)于:P(AB)=P(A)P(B)定理以下命題等價(jià):兩個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性定義若三個(gè)事件A、B、C滿足:(1)P(AB)=P(A)P(B),

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C若在此基礎(chǔ)上還滿足:(2)P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立;相互獨(dú)立。P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立一般地,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如果對(duì)任意k(1

k

n),任意的1

i1

i2…

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