1/5《向量基本定理及坐標(biāo)表示》知識(shí)導(dǎo)學(xué)一、要點(diǎn)解讀1.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使．解讀：（1）平面向量的基本定理說(shuō)明了只要選定一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么這個(gè)平面內(nèi)的任何向量都可以用這兩個(gè)向量表示出來(lái).這兩個(gè)不共線(xiàn)的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，、叫做基向量，平面的基底不是唯一的，關(guān)鍵是兩個(gè)基向量不能共線(xiàn).如果一個(gè)基底的兩個(gè)基向量互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底.特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的兩個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，這個(gè)基底叫做單位正交基底，這就為向量的坐標(biāo)表示提供了理論依據(jù).（2）由定理可知平面內(nèi)的任一向量在給出的基底、的條件下都可以進(jìn)行分解，基底給定時(shí)，分解的形式是惟一的，即、是被、唯一確定的一對(duì)實(shí)數(shù).如圖1-1，、是平面向量的一個(gè)基底，是這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量，怎樣確定、的值，使呢？為了確定、的值，我們?cè)O(shè)向量、、的起點(diǎn)都是O，終點(diǎn)分別是A、B、C．然后分別過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)CD∥OB交直線(xiàn)OA于點(diǎn)D，直線(xiàn)CE∥OA交直線(xiàn)OB于點(diǎn)E，則線(xiàn)段OD、OA的比值就是，線(xiàn)段OE、OB的比值就是.2.向量的坐標(biāo)表示的定義分別選取與軸、軸方向相同的單位向量，作為基底，對(duì)于任一向量，，（），實(shí)數(shù)對(duì)叫向量的坐標(biāo)，記作．其中叫向量在軸上的坐標(biāo)，叫向量在軸上的坐標(biāo). 解讀：在這個(gè)定義下，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)；向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線(xiàn)段的起始點(diǎn)的具體位置沒(méi)有關(guān)系，只與其相對(duì)位置有關(guān).從原點(diǎn)引出的向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo).向量的坐標(biāo)是終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)可能不同.兩個(gè)向量不論它們的起始點(diǎn)坐標(biāo)是否相同，只要這兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同，那么它們就是相等向量.兩個(gè)向量如果是相等的，那么它們的坐標(biāo)也應(yīng)該是相同的.從原點(diǎn)引出的向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo).3.用坐標(biāo)表示向量的運(yùn)算與相關(guān)定理若=(x1,y2)、=(x2,y2)，則（1）＋=(x1＋x2,y1＋y2)，－=(x1－x2,y1－y2)，＝（x1,y2）；（2）∥x1y2-x2y1=0.解讀：向量平行的坐標(biāo)表示，也可以與解析幾何中兩條直線(xiàn)平行，斜率相等結(jié)合起來(lái)理解記憶.平面向量用坐標(biāo)表示以后，平面向量的運(yùn)算就可以脫離圖形而獨(dú)立進(jìn)行，從而建立起數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這樣很多的幾何問(wèn)題的證明，就可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)量的運(yùn)算來(lái)完成了.二、解題指導(dǎo)1.證明三點(diǎn)共線(xiàn)例1如圖，在中，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，M是DE的中點(diǎn)，N為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求證：C、M、N三點(diǎn)共線(xiàn).分析：選擇不共線(xiàn)的兩個(gè)向量作為基底，利用平面向量的基本定理，將向量、都用基地表示出來(lái).證明：設(shè)，取向量、作為平面的一個(gè)基底.N為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴，又D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，即C、M、N三點(diǎn)共線(xiàn).點(diǎn)評(píng)：用向量法解平面幾何問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是將平面幾何問(wèn)題的代數(shù)化處理，在解題中應(yīng)注意進(jìn)行向量語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的互譯.證明三點(diǎn)共線(xiàn)就是證明這三點(diǎn)構(gòu)成的向量平行，判斷兩個(gè)向量是否平行，最行之有效的方法就是將這兩個(gè)向量用同一個(gè)基底表示出來(lái)，然后看其中一個(gè)向量是不是另一個(gè)向量的倍數(shù).2.坐標(biāo)與待定系數(shù)法的靈活運(yùn)用利用平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示，構(gòu)造關(guān)于基底的系數(shù)的實(shí)數(shù)方程組，即利用“，得到關(guān)于x、y的實(shí)系數(shù)方程組”，從而避免向量問(wèn)題通過(guò)繁雜的作圖而進(jìn)行的計(jì)算.例2已知＝（1，－1），＝（－1，3），＝（3，5），試用向量、表示．分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可．解：設(shè)＝x＋y（x、y∈R），則x＋y＝x（1，－1）＋y（－1，3）＝（x－y，－x＋3y），又＝（3，5），∴（x－y，－x＋3y）＝（3，5）∴x－y＝3且－x＋3y＝5解之得x＝7且y＝4.點(diǎn)評(píng)：在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中經(jīng)常要用到待定系數(shù)法與方程組的思想，確定有關(guān)的值．例3設(shè)O在△ABC的內(nèi)部且滿(mǎn)足，則△ABC的面積與△AOC的面積之比為（）A.2B.C.3D.分析：建立直角坐標(biāo)系，將向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，0），B（a，b），C（c，0），O（x，y），則＝（－x，－y），＝（a－x，b－y），＝（c－x，－y）.因?yàn)椋矗ǎ瓁，－y）＋2（a－x，b－y）＋3（c－x，－y）＝（0，0），（2a＋3c－6x，2b－6y）＝（0，0）.所以，b＝3y.所以從而＝＝＝3.所以選擇C.點(diǎn)評(píng)：如何利用已知條件是解題的關(guān)鍵，通過(guò)坐標(biāo)將轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，使得求解過(guò)程輕松、自然.4.運(yùn)用構(gòu)造思想構(gòu)造某一個(gè)向量在同一基底下的兩種不同的表達(dá)形式，即用“若為基底，＝＋＝，則”來(lái)求解.利4利用向量證明三角形的三條中線(xiàn)共點(diǎn).分析：設(shè)△ABC的中線(xiàn)AD、BE交于點(diǎn)，中線(xiàn)AD、CF交于點(diǎn)，選擇△ABC中不共線(xiàn)的兩個(gè)向量、作為平面的一組基底，利用平面向量的基本定理證明、重合.證明：設(shè)E、F、D分別是△ABC的三邊AC、AB、BC的中點(diǎn)，，.則，＝－＋，＝－＋，設(shè)AD與BE交于點(diǎn)，并設(shè)，，則，，又因?yàn)椋?所以解得，即。再設(shè)AD與CF交于點(diǎn)，同理可得，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用平面向量基本定理來(lái)證明平幾問(wèn)題，一般先選取一組基底，再充分運(yùn)用向量的幾何或坐標(biāo)運(yùn)算及向量的有關(guān)定理及推論，把