/河北省唐山市2023?2024學年高二下冊期末聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．以下數(shù)據(jù)為某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的10人的成績：（單位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．這10人成績的第百分位數(shù)是85，則（

）A．65 B．70 C．75 D．802．集合，則（

）A． B． C． D．3．如圖，中，為邊的中點，為的中點，則（

）

A． B．C． D．4．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．已知等差數(shù)列，前項和為，則（

）A．20 B．25 C．30 D．356．在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．7．已知圓的弦的中點為，點為圓上的動點，則的最大值為（

）A．2 B． C．8 D．8．已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線過點，則（

）A．拋物線的標準方程可能為B．拋物線的標準方程可能為C．過點A與拋物線只有一個公共點的直線有一條D．過點A與拋物線只有一個公共點的直線有兩條10．已知是虛數(shù)單位，若，則（

）A．復數(shù)的虛部為B．復數(shù)對應的點在第二象限C．D．復數(shù)是關(guān)于的方程的一個根11．已知點是正方體表面上的一個動點，則以下說法正確的是（

）A．當在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．若點在底面上運動，則使直線與平面所成的角為的點的軌跡為橢圓D．若是的中點，點在底面上運動時，不存在點滿足平面三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)在點處的切線的斜率為1，則.13．楷書也叫正楷，真書，正書，是從隸書演變而來的一種漢字字體，其書寫特點是筆畫嚴整規(guī)范，線條平直自然，結(jié)構(gòu)勻稱方正，運筆流暢有度，《辭海》解釋楷書“形體方正，筆畫平直，可作楷?！保拭瑫?楷書中筆畫“豎”的寫法主要有垂露豎?懸針豎和短豎三種.小君同學在練習用楷書書寫“十”字時，豎的寫法可能隨機選用其中任意一種，現(xiàn)在小君在一行內(nèi)寫了5個“十”字，若只比較5處豎的寫法，不比較其它筆畫，且短豎不超過3處，則這5個“十”字的不同寫法共有種.（用數(shù)字作答）14．如圖，長方體中，，點為線段上一點，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知為數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.16．某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇．為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機調(diào)查了200名學生，數(shù)據(jù)如下：單位：人男生女生合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學生選擇．①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響．已知在甲學生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為．記事件A為“甲學生選擇足球”，事件B為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件A、是否獨立，并說明理由；②若該校所有學生每分鐘跳繩個數(shù)．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校學生經(jīng)過訓練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步．假設(shè)經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)比開始時個數(shù)增加10，該校有1000名學生，預估經(jīng)過訓練后該校每分鐘跳182個以上人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．參考公式和數(shù)據(jù)：，其中；0.0250.0100.0055.0246.6357.879若，則，，．17．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求角A的大?。?2)當時，求面積的最大值.18．已知橢圓經(jīng)過點和點，橢圓的焦距為2.(1)求橢圓的方程；(2)和是橢圓上異于的兩點，四邊形是平行四邊形，直線分別交軸于點和點是橢圓的右焦點，求四邊形面積的最小值.19．已知函數(shù).(1)若方程有兩解，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【分析】由樣本數(shù)據(jù)第百分位的定義求解即可得出答案.【詳解】因為10人成績的第百分位數(shù)是，而，即第位與第位的平均值，所以是這10人成績的第百分為數(shù).故選B.2．【正確答案】A【分析】根據(jù)交集運算即可求解．【詳解】，，故.故選A.3．【正確答案】A【分析】利用向量的基本定理與混合運算，結(jié)合圖形即可得解.【詳解】在中，為邊的中點，為的中點，則.故選A.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可求解．【詳解】選項A，因為且定義域為R，函數(shù)為偶函數(shù)，故A不合題意；選項B，由且定義域為R，函數(shù)為奇函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及解析式，知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；選項C，函數(shù)為奇函數(shù)且，可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，故C不合題意；選項D，函數(shù)定義域為，不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，故D不合題意.故選B.5．【正確答案】C【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，化簡得，.故選C.6．【正確答案】C【分析】將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，將三棱錐補形成正方體，如圖，則該正方體的外接球就是三棱錐的外接球，因為，則該正方體的體對角線長為，所以外接球的直徑，，則外接球的體積.故選C.7．【正確答案】D【分析】由題意，圓心，半徑為3，且和，再由，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑為3，如圖，為弦的中點，，共線時等號成立，.故選D.8．【正確答案】C【分析】根據(jù)式子特點，構(gòu)建函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，則可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)的形式轉(zhuǎn)化可得，從而構(gòu)造函數(shù)，則，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，，即，又，∴，即.故選C.【方法總結(jié)】構(gòu)造函數(shù)比較大小的方法：分析給出的數(shù)值之間的關(guān)系，找出相應數(shù)值的共性，進而把某個數(shù)值看作自變量的取值，然后找出該數(shù)值與其他數(shù)值之間的關(guān)系，把給出的數(shù)值轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)值，最后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.一般通過作差或作商構(gòu)造函數(shù)，作差法構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵點是研究函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的零點，作商法構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵點是函數(shù)值的正負、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值與1的大小關(guān)系.9．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點在拋物線上及直線與拋物線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】對于選項A，當拋物線開口向右時，設(shè)拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線的方程為，故A正確；對于選項B，當拋物線開口向下時，設(shè)拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線為，故B正確；對于C、D選項，過點A與對稱軸平行的直線，以及拋物線在點A處的切線都與拋物線只有一個公共點，故C錯誤，D正確.故選ABD.【規(guī)律方法】拋物線的標準方程：①y2=2px，當p>0時，為開口向右的拋物線；當p<0時，為開口向左的拋物線.②x2=2py，當p>0時，為開口向上的拋物線；當p<0時，為開口向下的拋物線.10．【正確答案】ABD【分析】求得復數(shù)的虛部判斷選項A；求得復數(shù)對應的點所在象限判斷選項B；求得的值判斷選項C；代入驗證法判斷選項D.【詳解】由題意可得，，復數(shù)的虛部為，故A正確；，對應的點在第二象限，故B正確；，故C錯誤；由，可得復數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】AB【分析】可以設(shè)正方體的棱長為2，利用四棱錐的體積公式，底面積與高不變則體積不變可以判斷A選項；建立空間直角坐標系，設(shè)，表示出與所成角的余弦值，即可根據(jù)的范圍求得范圍，進而求得角的范圍，判斷B選項；設(shè)，表示出直線與平面所成的角的正弦值得到與的關(guān)系，從而得到點的軌跡，判斷C選項；證得平面，所以是平面的法向量，再由平面得到點的軌跡，進而判斷D選項.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為.A選項，當在平面上運動時，點到平面的距離為2，所以四棱錐的體積，故A正確；B選項，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，如圖，，設(shè)與所成角為，則，當時，.，則，，，，即，當時，，所以，又因為，所以，故B正確；C選項，若點在底面上運動，設(shè)，平面的法向量取，則直線與平面所成的角為時，有，化簡為，則點的軌跡為四分之一圓，故C錯誤；D選項，如圖，因為，且平面，所以平面，即是平面的法向量，，若平面，則，即，因為直線與正方形有公共點，即存在點滿足平面，故D錯誤.故選AB.【方法總結(jié)】求動點軌跡方程的常見方法有：直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡即可；代入法：所求點P與某已知曲線上一點存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程；定義法：從條件中能夠判斷出點的軌跡為學過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程；參數(shù)法：從條件中無法直接找到的聯(lián)系，但可通過一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程；（5）交軌法：選擇適當?shù)膮?shù)表示兩動曲線的方程，將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.12．【正確答案】1【分析】利用導數(shù)求出切線的斜率，代入點坐標即可求解.【詳解】由題可知，所以.故1.13．【正確答案】232【分析】根據(jù)題意分類討論短豎有幾處，結(jié)合組合相關(guān)概念計算即可.【詳解】當短豎為3處時，不同寫法有40種，當短豎為2處時，不同寫法有種，當短豎為1處時，不同寫法有種，當短豎為0處時，不同寫法有種，所以一共有種不同寫法.故232.14．【正確答案】3【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標運算得關(guān)于的函數(shù)，再求解函數(shù)最值即可.【詳解】以為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，則，，則，因為，所以當時，取最大值，最大值為3.故3.【思路導引】以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，得到各點坐標，假設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標運算可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用及等比數(shù)列求出通項公式；（2）由（1）求出，再利用裂項相消法求和即得.【詳解】（1）在數(shù)列中，，當時，，兩式相減得，即，當時，，解得，因此數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項公式是；（2）由（1）得：，所以.16．【正確答案】(1)有的把握認為，學生對該觀點的態(tài)度與性別有關(guān)(2)①事件獨立，理由見解析；②841【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）①求出，，即可得到，從而得到，即可判斷；②由已知，經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，從而估計出人數(shù).【詳解】（1）提出假設(shè)：學生對該問題的態(tài)度與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得，，因為當成立時，的概率約為，所以有的把握認為，學生對該觀點的態(tài)度與性別有關(guān)；（2）①事件A、獨立．理由如下：因為，，所以，所以，即事件A、獨立；②記經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)為，由已知，經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)，因為，所以，所以（人），所以經(jīng)過訓練后該校每分鐘跳個以上人數(shù)約為．17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理可得，進而求得；（2）由正弦定理得，進而得，再根據(jù)銳角三角形可得，得的取值范圍為，再由基本不等式得出其最大值，從而可得面積最大值.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又因為，故；（2）由正弦定理得，所以，即，因為為銳角三角形，所以解得，所以，即，故，即的取值范圍為，，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）題目告訴了橢圓焦距和頂點，即知道了，再由，即可求解；（2）由對稱性可設(shè)，則，通過表示直線的方程，求得的坐標，從而表示出面積，再根據(jù)點P在橢圓上，得到x1與的關(guān)系以及的范圍，即可求解.【詳解】（1）由已知，所以，即橢圓的方程為；（2）如圖所示，因為四邊形是平行四邊形，所以線段與線段的中點重合，即關(guān)于原點對稱，設(shè)，則且，，所以直線的方程為，令，得，即，又，直線的方程為，令，得，即，四邊形面積為，①，因為點在橢圓上，所以且，所以②，將②代入①得，所以當時，，即四邊形面積的最小值為.19．【正確答案】(1)；(2).【分析】