/福建省晉江市五校聯(lián)考2023?2024學(xué)年高二下冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（

）A． B． C． D．4．已知一個(gè)圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上?下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．5．如圖，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，6．已知向量，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色，米白色，橄欖綠，薄荷綠，現(xiàn)在給小房子中的四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，則共有（

）種不同的涂色方法.

A．108 B．96 C．84 D．488．已知函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的有（

）A．在研究成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1B．獨(dú)立性檢驗(yàn)是在零假設(shè)之下，如果出現(xiàn)一個(gè)與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率C．已知一組樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析與之間的具有線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.310．甲箱中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．兩兩互斥 B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．11．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（

）

A．直線直線B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.13．我校高二年級(jí)人參加了期中數(shù)學(xué)考試，若數(shù)學(xué)成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)诜忠陨系娜藬?shù)為總?cè)藬?shù)的，則此次期中考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜值椒种g的學(xué)生有人.14．甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中的任何一個(gè)人.則4次傳球的不同方法總數(shù)為（用數(shù)字作答）；4次傳球后球在甲手中的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．在ΔABC中，角的對(duì)邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若求ΔABC的面積．16．如圖，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中點(diǎn)，.（I）求證：平面；（II）求點(diǎn)到平面的距離.17．已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，求的極值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18．如圖所示的高爾頓板，小球從通道口落下，第1次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2…，7的球槽內(nèi).

(1)若進(jìn)行一次以上試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)槽的概率；(2)小明同學(xué)利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，8元可以玩一次游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中（i）求的分布列；（ii）很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？19．若函數(shù)滿足且（），則稱函數(shù)為“函數(shù)”．(1)試判斷是否為“函數(shù)”，并說明理由；(2)函數(shù)為“函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并寫出在上的單調(diào)增區(qū)間；(3)在（2）條件下，當(dāng)，關(guān)于的方程（為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為，求．

答案1．【正確答案】C【分析】解不等式得到，然后求交集即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選C.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選C.3．【正確答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】根據(jù)題意，所以.故選D.4．【正確答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，球O的半徑為，由題可得，進(jìn)而可得，然后利用圓柱的體積公式即得.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，球O的半徑為，由題可知，解得，則，可得，所以.故選C.5．【正確答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，因?yàn)槭遣ǚ畲蟮膬蓚€(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，所以.故選D.6．【正確答案】C【分析】先根據(jù)條件求出，再根據(jù)投影向量的概念計(jì)算在上的投影向量.【詳解】由，得，又，所以在上的投影向量為.故選C.7．【正確答案】A【分析】分類考慮，選2種顏色，或選3種顏色，或選4種顏色涂色，計(jì)算出各種情況的涂色方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】若選2種顏色，則①③同色，②④同色，共有種涂色方法；若選3種顏色，則①③或者②④或者①④中必有兩塊區(qū)域同色，另兩塊區(qū)域不同色，共有種涂色方法；若選4種顏色，共有種涂色方法；故共有（種）涂色方法.故選A.【方法總結(jié)】解決排列組合問題的一般過程：(1)認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及分多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．8．【正確答案】C【分析】參變分離得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值情況，確定實(shí)數(shù)的取值.【詳解】因?yàn)?，所以，令，故，令，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，且，且趨向于0時(shí)，趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于，故要想函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則.故選C.9．【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義即可；對(duì)于B，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義即可；對(duì)于C，利用殘差的計(jì)算公式即可；對(duì)于D，利用對(duì)數(shù)的公式，將進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可.【詳解】對(duì)于A,相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，獨(dú)立性檢驗(yàn)是在零假設(shè)之下，如果出現(xiàn)一個(gè)與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，殘差：，故C正確；對(duì)于D，，，即，即故D正確.故選BCD.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識(shí)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槊看稳∫磺?，所以是兩兩互斥的事件，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變?yōu)?個(gè)，取出黑球概率發(fā)生變化，所以事件B與事件不相互獨(dú)立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D，又，所以，故D項(xiàng)正確.故選ABD.11．【正確答案】ABC【分析】證明平面判斷A；證明平面判斷B；求出與所成角的范圍判斷C；求出點(diǎn)到平面的距離計(jì)算判斷D作答.【詳解】在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖，

對(duì)于A，平面，平面，則，又，且平面，于是平面，而平面，因此，同理，又平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，A正確；對(duì)于B，正方體的對(duì)角面是矩形，，平面，平面，則平面，因此上的點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，因此異面直線與所成的角等于與所成的角，顯然是正三角形，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，與所成的角最小，為，當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，，與所成的角最大，為，所以與所成角的范圍是，C正確；對(duì)于D，令正方體的棱長(zhǎng)為2，則正的面積，連接，顯然點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，在三棱錐中，由，得，即，解得，由選項(xiàng)B知，點(diǎn)到平面的距離為，在中，點(diǎn)與斜邊上的點(diǎn)的距離，所以直線與平面所成角的正弦值，D錯(cuò)誤.故選ABC.【思路導(dǎo)引】求空間角的最值問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個(gè)三角函數(shù)建立起變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可.12．【正確答案】【分析】先寫出的展開式通式，然后根據(jù)的次數(shù)選擇對(duì)應(yīng)的系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于，其展開式的通式為，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為.【思路導(dǎo)引】公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)中，Cnkan－kbk是展開式的第k＋1項(xiàng)，可記作Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．13．【正確答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解概率，進(jìn)而可求人數(shù).【詳解】由于正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為105，故，由題意可知，根據(jù)對(duì)稱性可得，所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜值椒种g的學(xué)生有，故答案為.14．【正確答案】81;【分析】先求出4次傳球的方法總數(shù)，再求出4次傳球后球在甲手中的方法總數(shù)，設(shè)表示經(jīng)過第次傳球后球在甲手中，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，依題意利用全概率公式得到，即可得到Pn?14是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出，再將代入計(jì)算可得.【詳解】由題意可知，4次傳球總的傳球路線種數(shù)為種，設(shè)表示經(jīng)過第次傳球后球在甲手中，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，所以，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí).故81;.15．【正確答案】（1）3（2）78【分析】（1）由兩角和差公式得到，由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到，進(jìn)而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個(gè)角的關(guān)系得到，再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.【詳解】（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，所以.

（2）在三角形中,由，所以，

由，由正弦定理,得，所以的面積.16．【正確答案】（I）證明見解析；（II）.【分析】（I）連接，交于點(diǎn)，利用三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可得結(jié)論；（II）由線面平行關(guān)系可知所求距離即為點(diǎn)到平面的距離，利用體積橋可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（I）連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（II）由（I）知：平面，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離；三棱柱為直三棱柱，為等邊三角形，，，，，，，；，，；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得：，點(diǎn)到平面的距離為.17．【正確答案】（Ⅰ）極大值，極小值；（Ⅱ）見解析.【分析】（Ⅰ）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，然后列表分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)分、、和四種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，?列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極大值，極小值；（Ⅱ）由題意得，（1）當(dāng)時(shí)，令，解得；，解得.（2）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；②當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【思路導(dǎo)引】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在處理含參數(shù)的函數(shù)問題時(shí)，要弄清楚分類討論的基本依據(jù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)進(jìn)行求解，考查分類討論思想的應(yīng)用.18．【正確答案】(1)(2)（i）的分布列見解析，（ii）小明同學(xué)能盈利【分析】（1）由題意，要使小球落入6號(hào)槽，此時(shí)小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，代入概率公式中即可求解，（2）（i）先求出的所有取值，得到相應(yīng)的概率，進(jìn)而可列出分布列；（ii）先求出的所有取值，求出相應(yīng)的概率，代入期望公式中可求出的期望，將其與8比較即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意可知要使小球落入6號(hào)槽，此時(shí)小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，所以小球落入6號(hào)槽的概率為，（2）（i）由題意得的所有取值為1，2，3，4，5，6，7，則，，，，所以的分布列為1234567（ii）因?yàn)樾∏虻羧胩?hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為金為元，其中，所以有所有取值為0，5，10，15，則，，，，所以，因?yàn)椋孕∶魍瑢W(xué)能盈利.19．【正確答案】(1)不是“函數(shù)”，理由見解析(2)，單調(diào)遞增區(qū)間為，；(3)【分析】（1）根據(jù)題干條件代入檢驗(yàn)，得到，故不是“函數(shù)”；（2）求出函數(shù)的周期，由得到，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，從而得到函數(shù)解析式，并求出單調(diào)遞增區(qū)間；（3）畫出在上圖象，數(shù)形結(jié)合，由函數(shù)的對(duì)稱性，分三種情況進(jìn)行求解，得到.【詳解】（1）不是“函數(shù)”，理由如下：，，，則，故不是“函數(shù)”；（2）函數(shù)滿足，故的周期為，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上：，中，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，，中，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，經(jīng)檢驗(yàn)，其他范圍不是單調(diào)遞增區(qū)間，