第三篇攻堅克難

壓軸大題多得分第29練

直線與圓錐曲線的位置關系明考情直線與圓錐曲線的位置關系是高考必考題，難度為中高檔，常作為壓軸題出現(xiàn)，大致在第20題的位置.知考向1.直線與橢圓.2.直線與拋物線.研透考點核心考點突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點核心考點突破練考點一直線與橢圓方法技巧對于直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理.(1)設直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進行討論，或者將直線方程設成x＝my＋b的形式.(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關系得到交點的橫坐標或縱坐標的關系.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；解答123451234解答5解設直線AP的方程為x＝my＋1(m≠0)，與直線l的方程x＝－1聯(lián)立，1234512345(1)當t＝4，|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積；解答12345解設M(x1，y1)，則由題意知y1>0.因此直線AM的方程為y＝x＋2.12345(2)當2|AM|＝|AN|時，求k的取值范圍.解答1234512345即(k3－2)t＝3k(2k－1)，12345解答12345解由橢圓的定義，設橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2，12345(2)若|PF1|＝|PQ|，求橢圓的離心率e.解如圖，由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.從而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.由PF1⊥PF2知，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，解答12345(1)求橢圓H的離心率e；解由題意得直線MN的方程為x－ay－a＝0，解答12345解答12345①當直線l的斜率為0時，其方程為y＝0，12345因為點C在橢圓上，所以x1x2＋3y1y2＝0.12345化簡得m2－1＝0.所以m＝±1.12345(1)求動點P的軌跡C的方程；解答12345得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y(tǒng)1＋2y2.又因為x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20，所以動點P的軌跡C的方程為x2＋2y2＝20.12345(2)若直線l：y＝x＋m(m≠0)與曲線C交于A，B兩點，求△OAB面積的最大值.解答12345消去y得3x2＋4mx＋2m2－20＝0.因為直線l與曲線C交于A，B兩點，設A(x3，y3)，B(x4，y4)，所以Δ＝16m2－4×3×(2m2－20)＞0.又m≠0，所以0＜m2＜30，12345并且僅當m2＝30－m2，即m2＝15時取等號.12345考點二直線與拋物線方法技巧

(1)判斷直線與拋物線的位置關系時，可以借助數(shù)形結合法，當直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線只有一個交點，但并非相切.(2)涉及中點弦問題，可用“點差法”求解，但要注意對其存在性的檢驗.(1)求直線AB的斜率；解設A(x1，y1)，B(x2，y2)，解答678(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.解答678設直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.當Δ＝16(m＋1)>0，678解得m＝7.所以直線AB的方程為y＝x＋7.678(1)求曲線E的方程；故點C的軌跡E的方程為y2＝－x.解答678解答678消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，設直線l與x軸交于點N，則N(－1，0).6786788.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2).(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；解將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，其準線方程為x＝－1.解答678解答678因為直線l與拋物線C有公共點，解假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t.所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0.678規(guī)范解答

模板答題規(guī)范練(1)求橢圓C的方程；模板體驗②求△ABQ面積的最大值.審題路線圖規(guī)范解答·評分標準②設A(x1，y1)，B(x2，y2).將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2， (*)因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0，m)，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2. (**)構建答題模板[第一步]

求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程.[第二步]

聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關系.[第三步]

找關系：從題設中尋求變量的等量或不等關系.[第四步]

建函數(shù)：對范圍最值類問題，要建立關于目標變量的函數(shù)關系.[第五步]

得范圍：通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件.(1)求橢圓E的離心率；12345解答規(guī)范演練解由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，消去y，化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，12345因為直線AB的斜率為1，12345(2)設點P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求橢圓E的方程.解設AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知，12345解答(1)求橢圓E的離心率；解過點(c，0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，12345解答12345解答解方法一由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2. ①易知，AB與x軸不垂直，設其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，從而x1x2＝8－2b2.12345方法二由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2，

①兩式相減并結合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，12345易知AB與x軸不垂直，則x1≠x2，代入①得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，12345(1)求橢圓的方程；12345解答12345解答解由(1)可知F(－1，0)，則直線CD的方程為y＝k(x＋1).設C(x1，y1)，D(x2，y2)，1234512345(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；所以拋物線C的方程為y2＝x，12345解答(2)求證：A為線段BM的中點.12345證明l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2).因為點P的坐標為(1，1)，所以直線OP的方程為y＝x，點A的坐標為(x1，x1).12345故A為線段BM的中點.12345(1)求橢圓C的方程；12345解答1234