2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第三章進(jìn)階篇不等式恒(能)成立問題進(jìn)階2參數(shù)半分離與主元變換進(jìn)階2參數(shù)半分離與主元變換題型一參數(shù)半分離例1若不等式alnx-x+1≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.思維升華在半分離時，要調(diào)節(jié)參數(shù)a與x的位置，使f(x)與g(x)的作圖更方便，一般分為一條動直線與一條曲線.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx，x>0，-x2-2x，x≤0，若不等式f(題型二主元變換例2已知不等式lnx-12x2+bx+c≤0對任意的x∈(0，+∞)，b∈0，32恒成立，求思維升華一些導(dǎo)數(shù)大題經(jīng)常會含有多個變量，主要解題思路是以x為主元進(jìn)行求解，但有時解題過程較為復(fù)雜，此時，有的題目就可以以其他變量為主元進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=2ax+bx-1-2lnx，對任意a∈[1，3]和任意x∈(0，+∞)，f(x)≥2bx-3恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.答案精析例1解∵不等式alnx-x+1≤0恒成立，∴alnx≤x-1恒成立，x>0，當(dāng)a≤0時，顯然不恒成立，當(dāng)a>0時，原不等式等價于lnx≤1a(x-1由于y=lnx在x=1處的切線方程為y=x-1，∴要使lnx≤1a(x-1只需1a=1，即a=1∴a的取值范圍為{1}.跟蹤訓(xùn)練12解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，直線y=ax+2恒過定點(0，2)，由圖可知a>0，當(dāng)直線y=ax+2與y=-x2-2x相切時，聯(lián)立y=ax+2，y=-x2-2x可得x令Δ=(a+2)2-8=0，解得a=-2+22或a=-2-22(舍去)；當(dāng)直線y=ax+2與曲線y=2lnx相切時，設(shè)切點P(x0，2lnx0)，則曲線在點P處的切線方程為y-2lnx0=2x0(x-x又切線過點(0，2)，解得x0=e2，此時a=2x0=2e2，所以例2解令f(b)=x·b+lnx-12x2+c，b∈0，由于x>0，所以函數(shù)f(b)在0，3所以f(b)<f32=32x+lnx-12x2+c即c≤12x2-32x-lnx，x∈(0，+令g(x)=12x2-32x-ln則g'(x)=x-32-=2x2-3當(dāng)0<x<2時，g'(x)<0，當(dāng)x>2時，g'(x)>0，所以g(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，所以c≤g(x)min=g(2)=-1-ln2，所以c的取值范圍為(-∞，-1-ln2].跟蹤訓(xùn)練2解由題知對任意a∈[1，3]，x∈(0，+∞)，2ax+bx-1-2lnx≥2bx-3恒成立，即2x·a-bx-2lnx+2≥0恒成立，令g(a)=2x·a-bx-2lnx+2，a∈[1，3]，則g(1)≥0，即2x-bx-2lnx+2≥0，所以b≤2-2lnxx+令h(x)=2-2lnxx+2x，x∈(0，則h'(x)=-2·2-lnx當(dāng)0<x<e2時，h'(x)<0，當(dāng)x>e2時，h'(x)>0，所以h(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，+∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min=h(e2)=2-2e所以b≤2-2e故b的取值范圍為-∞，2-端點效應(yīng)法是一種必要性探路法，是指對某些與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題，通過選取函數(shù)定義域內(nèi)的某些特殊值，先得到一個必要條件，初步獲得參數(shù)的范圍，再在該范圍內(nèi)進(jìn)行討論，或去驗證其充分性，進(jìn)而得到參數(shù)的準(zhǔn)確范圍的方法.1.如圖(1)，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，f(x)≥0恒成立，則f(a)≥0且f(b)≥0.2.一階端點效應(yīng)：如圖(2)，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在某一點x0處的函數(shù)值f(x0)恰好為零，則當(dāng)x≥x0時，f(x)≥0成立的一個必要條件為端點x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)≥0.因為如果f'(x0)<0，那么函數(shù)會在x0右側(cè)的一個小區(qū)間內(nèi)先單調(diào)遞減，此時函數(shù)f(x)在x≥x0時不恒為非負(fù)值，不滿足要求，如圖(3).這個方法把某個區(qū)間上函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為判斷端點處的導(dǎo)數(shù)值符號，這就是端點效應(yīng).類似地，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在某一點x0處的函數(shù)值f(x0)恰好為零，當(dāng)x>x0時，f(x)<0成立的一個必要條件為x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)<0.3.二階端點效應(yīng)：如圖(4)，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0，f'(a)=0，則f″(a)≥0.端點效應(yīng)的核心思想是必要性探路，充分性護(hù)航.我們在解決一類恒成立問題時，可以利用端點處需滿足的必要條件縮小參數(shù)的取值范圍，而往往得到的范圍即為所求，再去做充分性論證即可.題型一一階端點效應(yīng)例1設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf'(x)，x≥0，其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.思維升華這類恒成立題目，首先要構(gòu)建一個新的函數(shù)使之大于等于0(或者小于等于0)，然后把區(qū)間端點代入計算看一下是否恰好為0，再求導(dǎo)，算出端點一階導(dǎo)函數(shù)值，若端點一階導(dǎo)函數(shù)值不為0，直接令導(dǎo)函數(shù)在端點處函數(shù)值大于等于0(或者小于等于0)，求出參數(shù)范圍然后證明即可.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x.若對任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.題型二二階端點效應(yīng)例2設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.若當(dāng)x≥0時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.思維升華如果端點處一階導(dǎo)函數(shù)值為0，把一階導(dǎo)數(shù)當(dāng)作新函數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)在端點處函數(shù)值大于等于0(或者小于等于0)求出參數(shù)范圍，然后證明即可.跟蹤訓(xùn)練2(2024·全國甲卷改編)已知函數(shù)f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.當(dāng)x≥0時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.答案精析例1解依題意，f'(x)=11+由于g(x)=xf'(x)，x≥0，即g(x)=x1+x，x≥而f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1+x)≥ax1+x令F(x)=ln(1+x)-ax1+x(x≥則F(x)≥0恒成立.由于F(0)=0，故此時必須保證函數(shù)F(x)在x=0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證F'(x)≥0在x=0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，而F'(x)=11+x-a(1+則F'(0)=1-a，故F'(0)≥0，即a≤1.下證當(dāng)a≤1時，F(xiàn)(x)≥0恒成立.當(dāng)a≤1時，函數(shù)F'(x)=1+x-a(1+x故函數(shù)F(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，即F(x)≥F(0)=0，故當(dāng)a≤1時，函數(shù)F(x)≥0恒成立，即原命題成立，故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，1].跟蹤訓(xùn)練1解依題意，若對任意x≥0都有f(x)≥ax，即要保證f(x)-ax≥0恒成立，也就是當(dāng)x≥0時，ex-e-x-ax≥0恒成立.令F(x)=ex-e-x-ax(x≥0)，由于F(0)=e0-e0=0，要使函數(shù)F(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，即保證F(x)在x=0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，則F'(x)≥0在x=0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，而F'(x)=ex+e-x-a，且F'(0)=1+1-a=2-a，故F'(0)≥0，即a≤2.下證當(dāng)a≤2時，F(xiàn)(x)≥0恒成立，當(dāng)a≤2時，函數(shù)F'(x)=ex+e-x-a≥ex+e-x-2≥2ex·故函數(shù)F(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，即F(x)≥F(0)=0恒成立，故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，2].例2解由于當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)≥0恒成立，而f(0)=0，故要保證函數(shù)f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，需保證f(x)在x=0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f'(x)≥0在x=0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.而f'(x)=ex-1+xex-2ax=(x+1)ex-2ax-1，故f'(0)=1-1=0，即此時需保證函數(shù)f'(x)在x=0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f″(x)≥0在x=0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.而f″(x)=(x+2)ex-2a，故f″(0)=2e0-2a=2-2a，而要函數(shù)f″(x)≥0在x=0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，則f″(0)≥0，即a≤1.下證當(dāng)a≤1時，f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，當(dāng)a≤1時，f″(x)=(x+2)ex-2a≥(x+2)ex-2，令φ(x)=(x+2)ex-2，x≥0，則φ'(x)=(x+3)ex>0，故函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增，故φ(x)≥φ(0)=2-2=0，即f″(x)≥φ(x)≥0，故此時函數(shù)f'(x)單調(diào)遞增，即f'(x)≥f'(0)=0，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，即f(x)≥f(0)=0，此時即可得到當(dāng)a≤1時，函數(shù)f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，即實數(shù)a的取值范圍是(-∞，1].跟蹤訓(xùn)練2解由于當(dāng)x≥0時f(x)≥0恒成立，而f(0)=0，故要保證函數(shù)f(x)在x=0的右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f'(x)≥0在x=0的右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.而f'(x)=-aln(1+x)+1-ax=-aln(1+x)-(a故f'(0)=0，即此時需保證函數(shù)f'(x)在x=0的右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，即保證函數(shù)f