江蘇省連云港市新海協(xié)作體2024?2025學年高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．設(shè)向量，若，則（

）A． B． C． D．04．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（

）A． B．2 C．3 D．5．正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側(cè)棱長為，則棱臺的側(cè)面積為（

）A． B．C． D．6．在中，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．若，且，則（

）A． B． C． D．8．在正四棱錐中，底面四邊形是邊長為的正方形，當該正四棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比最小時，則該正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列命題中，正確的命題是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則；反之，若，則C．，，，要使此三角形的解有兩個，則的取值范圍為D．，角的平分線交邊于，且，則的最小值為1210．在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且，點是棱的動點，則下列說法正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為C．當是棱的中點時，平面D．直線與平面所成的角的正切值最大為11．如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為2和6，側(cè)棱長為4，點P在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，點Q為上一點，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．正三棱臺的高為B．點P的軌跡長度為C．高為，底面半徑為的圓柱可以放進棱臺內(nèi)D．過點A，B，Q的平面截該棱臺內(nèi)最大的球所得的截面面積為三、填空題12．已知為一單位向量，與之間的夾角是120°，而在方向上的投影向量為，則．13．已知，且，則.14．在銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，點是線段的中點，則線段長的取值范圍為．四、解答題15．已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夾角的大小.16．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，面積為，求的值.17．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．18．在平行四邊形中，是線段的中點，點在直線上，且.（1）當時，求的值；（2）當時，與交于點，求的值；（3）求的最小值.19．如圖1，一個正三棱柱形容器中盛有水，底面邊長為4，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時，水面恰好過AC，BC，，的中點．現(xiàn)在固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜程度不同，水面的形狀也不同．(1)如圖2，當?shù)酌鍭BC水平放置時，水面高為多少?(2)當水面經(jīng)過線段時，水面與地面的距離為多少?(3)試分析容器圍繞AB從圖1的放置狀態(tài)旋轉(zhuǎn)至水面第一次過頂點C的過程中（不包括起始和終止位置），水面面積S的取值范圍．（假設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中水面始終呈水平狀態(tài)，不考慮水面的波動）

參考答案1．【答案】B【詳解】因為，所以在復平面內(nèi)對應的點在，位于第二象限.故選B2．【答案】D【詳解】對于A，若，，則，或，故A錯誤；

對于B，若，，則，或與相交，故B錯誤；對于C，若，，則與相交，或，或，故C錯誤；

對于D，若，，則，故D正確.故選D.3．【答案】B【詳解】因為，所以，即，整理得又，所以，解得.故選B4．【答案】C【詳解】如圖，作平面直角坐標系，使A與O重合，在x軸上，且，在軸上，且，過作，且，連接，則直角梯形為原平面圖形，其面積為．故選C.5．【答案】D【詳解】正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側(cè)棱長為，所以棱臺的斜高為:.所以棱臺的側(cè)面積是:.故選D.6．【答案】A【詳解】由正弦定理和可得，故,由于，故,結(jié)合為三角形的內(nèi)角，故，故三角形為直角三角形，故選A7．【答案】B【詳解】因為，所以，，所以，.故選B8．【答案】B【詳解】設(shè)正四棱錐的高為，設(shè)，連接，則平面，設(shè)該正四棱錐的外接球球心為，則在直線上，取的中點，連接、，對外接球，解得：，對內(nèi)切球：，故四棱錐表面積，由體積法：，所以，令，則，進而，當且僅當，即時，取最小值，此時.因此，該正四棱錐的體積為.故選B.9．【答案】BCD【詳解】對于A，若，則，所以，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，A選項錯誤；對于B，由正弦定理得，若，則，所有；反之，若，則，所有，B選項正確；對于C，因為，，，所以，所以，要使此三角形的解有兩個，則，所以，則的取值范圍為，C選項正確；對于D，因為，角的平分線交邊于，且，則，所以，所以，所以，所以，當且僅當時，取的最小值為12，D選項正確.故選BCD.10．【答案】ACD【詳解】對于A選項，因為四邊形為菱形，則，因為，，，故為等邊三角形，所以，，則，故，同理可得，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，故，A對；對于B選項，易知為等邊三角形，，因為點在上，且，則，故，B錯；對于C選項，連接交于點，連接，取線段的中點，連接、，因為四邊形為菱形，，則為的中點，因為點在上，且，為的中點，則，所以為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為為的中點，為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，、平面，所以平面平面，因為平面，故平面，C對；對于D選項，如下圖所示：由A選項可知，平面，所以直線與平面所成角為，因為平面，所以，則，因為是邊長為的等邊三角形，故，因為平面，平面，所以，又因為，故為等腰直角三角形，則，當時，取最小值，且最小值為，此時，取最大值，且最大值為，D對.故選ACD.11．【答案】CD【詳解】延長正三棱臺側(cè)棱相交于點，由題意可知：，在等腰梯形中，因為，，，則.即為等邊三角形，可知三棱錐為正四面體，且.對于選項A：設(shè)為等邊的中心，由正四面體的性質(zhì)可知：側(cè)面，且，即點到底面的距離為，又因為，，所以正三棱臺的高為，故A錯誤；對于選項B：因為與平面所成角的正切值為，即，解得，且等邊的內(nèi)切圓半徑，可知點的軌跡為等邊的內(nèi)切圓，所以點的軌跡長度為，故B錯誤；對于選項C：因為正三棱臺的高，且的內(nèi)切圓半徑為，所以高為，底面圓的半徑為的圓柱可以放在棱臺內(nèi)，故C正確；對于選項D：設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑，由等體積法可得：，解得.因為，則該棱臺內(nèi)最大的球即為正四面體的內(nèi)切球.又因為，，，則為的中點，過點的平面正好過該內(nèi)切球的球心，所以截面面積為，故D正確.故選CD.12．【答案】4【詳解】因為與之間的夾角是120°，而在方向上的投影向量為，所以，所以，所以4.13．【答案】【詳解】，，14．【答案】【詳解】在中，由余弦定理可得．由平面向量數(shù)量積的定義可得，在銳角中，點是線段的中點，則，所以．由及正弦定理，得，，所以．因為為銳角三角形，且，則，解得，則，所以，所以，所以．所以線段的長的取值范圍為．15．【答案】（1），（2）【詳解】（1）解：因為，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）解：設(shè)向量，的夾角的大小為．由題意可得，，，所以，因為，所以．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由正弦定理得，，又，，，，，，，.（2）面積為，，，，，由得，即，.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設(shè)平面的一個法向量，則，可取，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.18．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）由已知當時，，所以，，所以，因為，所以，.（2）當時，，即為的中點，因為三點共線，設(shè)，則，因為三點共線，設(shè)，則，又不共線，根據(jù)平面向量基本定理得解得所以，又，則所以.（3）因為，，所以，由（1），又，所以，因為，所以當時，取得最小值，且最小值為.19．【答案】(1)6；(2)4；(3).【分析】（1）根據(jù)水的體積不變即可得解；（2）根據(jù)空氣部分的體積大小判斷水面形狀，記的中點為，連接，利用空氣部分體積求出，然后可求側(cè)棱與水平面所成角的正弦值，由可得所求；（3）判斷空氣部分為臺體，設(shè)，,根據(jù)體積公式和勾股定理列方程，聯(lián)立整理，代入梯形面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過換元，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.【詳解】（1）記水面與棱分別交于點，當側(cè)面水平放置時，水是以為底，高為8的直棱柱，因為，分別為棱的中點，所以，所以水的體積為，當?shù)酌鍭BC水平放置時，設(shè)水面高為，則，解得，即當?shù)酌鍭BC水平放置時，水面高為6.（2）因為三棱柱體積為，所以三棱錐的體積為，空氣部分的體積為，因為，所以當水面經(jīng)過線段時，水面與棱交于點，如圖，由得，記的中點為，連接，則，因為，所以，又平面，平面，所以，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以直線在平面內(nèi)的投影為，所以為直線與水平面所成角，又，所以，所以，因為，所以水面到地面的距離為.（3）由上可知，水面第一次過頂點C之前，水面與棱相交，如圖：記的中點分別為，在上，且，，易知，為正三角形