/江蘇省宿遷市沭陽縣二校聯(lián)考2024-2025學年高二下冊5月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知函數(shù)在點處的切線的傾斜角為，則實數(shù)a的值為（）A．2 B．1 C． D．2．隨機變量X的分布列為：，，，則的值為（）A．1 B．3 C．5 D．93．已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據如下表，若由表中數(shù)據得到回歸直線方程為，則時的殘差為（）x44.555.56y76421A．0.2 B． C．0.4 D．4．函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．的展開式中，所有不含z的項的系數(shù)之和為（）A．16 B．32 C．27 D．816．已知定義在R上的函數(shù)的導數(shù)為，，且對任意的x滿足，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．已知正方體中，M，N分別為，的中點，下列說法正確的是（）A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面BMN與平面夾角的余弦值為C．在上存在點Q，使得 D．在上存在點P，使得平面BMN8．在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國數(shù)學家安德雷·馬爾可夫命名．由馬爾可夫不等式知，若是只取非負值的隨機變量，則對，都有．某市去年的人均年收入為50萬元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過100萬元”為事件A，其概率為．則的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得2分或3分．9．下列說法正確的是（）A．已知直線l⊥平面，直線m∥平面，則“”是“l(fā)⊥m”的必要不充分條件B．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則C．若隨機變量服從二項分布，則D．甲、乙、丙、丁4個人到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件M為“4個人去的景點各不相同”，事件N為“甲不去其中的A景點”，則10．已知函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．的單調減區(qū)間是，B．的定義域是C．的值域是D．與有一個公共點，則或11．正多面體也稱柏拉圖立體（被譽為最有規(guī)律的立體結構），是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）．數(shù)學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正八面體的棱長都是3（如圖），則下列說法正確的是（）A．B．平面C．該正八面體的外接球與內切球的半徑之比為D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則______．13．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線距：離的最小值為______．14．某公園有一個坐落在地面上的大型石雕，如圖是該石雕的直觀圖．已知該石雕是正方體截去一個三棱錐后剩余部分，是該石雕與地面的接觸面，其中是該石雕所在正方體的一個頂點．某興趣小組通過測量的三邊長，來計算該正方體石雕的相關數(shù)據．已知測得，，，則該石雕所在正方體的棱長為______；該石雕最高點到地面的距離為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）在的展開式中．（1）求展開式的第4項的系數(shù)；（2）若第項是有理項，求的取值集合．16．（本題滿分15分）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的極值點；（3）若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．17．（本題滿分15分）為為了測試一種新藥對某種疾病的治療效果，研究人員對一地區(qū)某種動物種群（數(shù)量較大）進行試驗，從該試驗種群中隨機抽查了80只，得到如下的樣本數(shù)據（單位：只）：發(fā)病沒發(fā)病合計使用藥物103040沒使用藥物251540合計354580（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該藥物與預防該疾病有關？（2）若把表中的頻率視作概率，現(xiàn)從該地區(qū)沒發(fā)病的動物中抽取3只動物，記抽取的3只動物中使用藥物的只數(shù)為，求隨機變量的分布列，數(shù)學期望；（3）從該地區(qū)此動物群中任取一只，記表示此動物發(fā)病，表示此動物沒發(fā)病，表示此動物使用藥物，定義事件的優(yōu)勢，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢，證明：，并利用表中數(shù)據求出值．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（本題滿分17分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內過作，交于，連．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長．19．（本題滿分17分）強基計劃于2020年在有關高校開始實施，主要選拔有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生．為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學學科夏令營活動．（1）若數(shù)學組的7名學員中恰有4人來自A中學，從這7名學員中隨機選取4人，表示選取的人中來自A中學的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，．假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且．①求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值；②如果甲、乙兩位同學想在此次答題活動中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競賽？

2024—2025學年度第二學期第一次學情調研高二數(shù)學（考試）注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，包含選擇題（第1題～第11題）填空題（第12題～第14題，共73分）、解答題（第15～19題，共77分），滿分150分．2．答題前，請考生務必將自己的姓名、學校、班級、座位號、考試證號用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應的位置，并將考試證號用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應位置．3．答題時請用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答．在試卷或草稿紙上作答一律無效．4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請加黑加粗，描寫清楚．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【正確答案】A解：因為，所以，所以．故選：A．2．【正確答案】C解：由題意可得，，則．故選：C．3．【正確答案】D解：由題意，，，則樣本中心點為，代入，得，解得，故，當時，，故時的殘差為．故選：D．4．【正確答案】A解：因為，所以．因為函數(shù)在上單調遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，則由函數(shù)單調性的性質知，在上減函數(shù)，，即．所以實數(shù)的取值范圍為．故選：A．5．【正確答案】D解：展開式的通項公式為，若展開式中的項不含，則，此時符合條件的項為展開式中的所有項，令，可得所有不含的項的系數(shù)之和為，故選：D．6．【正確答案】A解：設，則，因為對任意的滿足，則即，可知在上單調遞減，又，即，由可得，即，解得，所以不等式的解集是．故選：A．7．【正確答案】C解：設正方體的棱長為1，以為坐標原點，，，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，對于A，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為，故A錯誤；對于B，易知是平面的一個法向量，設平面的法向量為，則即即取，則，，即，，所以平面與平面夾角的余弦值為，故B錯誤；對于C，假設存在滿足題意的點，設（），則，又因為，所以，即，解得，滿足，故假設成立，此時為中點，故C正確；對于D，易知，又因為在平面上，所以在平面上，所以在上不可能存在點，使得平面，故D錯誤．故選：C．8．【正確答案】D解：設為某市去年1名市民的年收入，某市去年的人均年收入為50萬元，則，設1名市民去年的年收入超過100萬元的概率為，則所以，由題可得，設，，則，所以，即的最大值為．故選D本題可作如下探究：某市去年的人均年收入為10萬元，此時答案為B．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得2分或3分．9．【正確答案】BC解：已知直線平面，直線平面，當時，一定有；當時，，有可能平行，也有可能相交，則“”是“”的充分不必要條件，所以選項A錯誤；由題得，所以選項B正確；若隨機變量服從二項分布，，則，所以5，所以選項C正確；由題得，所以選項D錯誤．故選：BC．10．【正確答案】ABD解：由，知，得函數(shù)的定義域是，又，所以當或時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增．在處取得極小值．的圖象如下圖所示，可得：的單調減區(qū)間是，，故A判斷正確；的定義域是，故B判斷正確；的值域是，故C判斷錯誤；與有一個公共點，則或，故D判斷正確．故選ABD．本題還可以作如下探究：1．2．若方程有6個不等實數(shù)根，則3．對任意正實數(shù)，，且，若，則對于1，因為當時，，函數(shù)在內單調遞增，所以，而，所以；對于2，因為為偶函數(shù)，當時，，由選項A知函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，，增區(qū)間為，又當時，，當時，，當時，，時，當時，，當時，，時，，所以函數(shù)的圖象如圖所示，直線與函數(shù)有6個不同交點，則；對于3，當時，若，則，因為函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，所以不妨設，由可得，即，不妨取，設，則，則當時，，，故，在上單調遞增，又，而，，即．因為，當時，，在上單調遞減，因為，，故可得，即得11．【正確答案】ABD解：對于A選項，正八面體，連接，，，對稱性可知，平面，且，，相交于點，為，，的中點，又，，故四邊形為菱形，四邊形為菱形，可知，，，是平面內兩條相交直線，所以平面，又平面，故，故A正確對于C，三棱錐的體積，B選項，連接，，由對稱性可知，平面，且，相交于點，為和的中點，又，故四邊形為菱形，故，又平面，平面，所以平面，正確；其中點到平面的距離為，設菱形的面積為，則，，若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值，故D正確．本題還可以作如下探究：1．直線與平面所成的角為45°2兩個相鄰平面所成角的余弦值3若點為棱上的動點，求的最小值如圖，因與是邊長為2的全等的正三角形，可將翻折到，使其與共面，從而得到一個菱形．連接與相交于點，此時，，則，因此取得最小值為，2．可以和概率集合．如涂色問題，4種不同的顏色涂6個頂點問題；異面直線問題；又比如從出發(fā)經過各個定點，經過三次又回到點的概率等等三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【正確答案】解：因為，所以該正態(tài)曲線關于直線對稱，則．又，所以，，所以13．【正確答案】解：當點是曲線的切線中與直線：平行的直線的切點時，距離最小，設切點（），易得，則切線斜率，由題，解得或（舍去），則，故所求最小距離為．14．6；．【詳解】如圖，補齊為正方體，設，，，則，解得，，，即該石雕所在正方體的棱長為．以為原點，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，所以，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，可得，所以點到平面的距離為，即該石雕最高點到地面的距離為．故6；．本題可以這樣變式：二面角的平面角的余弦值．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）【詳解】（1），所以展開式的第4項的系數(shù)為160；（2），．當為整數(shù)時為有理項，即．則的取值集合為．本題可作如下探究：1．把展開式中各項重新排序，求有理項相鄰的排法種數(shù)2．將展開式中所有項重新排列，求首末兩項均為有理項的概率；3．設展開式中系數(shù)最大的項為第項，求從第1項到第項系數(shù)之和．16．（本題滿分15分）【詳解】（1）由題設的定義域是，，則，，所以，即，即在處的切線方程為．（2）當時，函數(shù)的定義域為，求導得，由，得，當時，；當時，，所以是函數(shù)的極小值點．（3）當時，不等式，設，依題意，，，求導得，由，得；由，得，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，則，所以實數(shù)的取值范圍是．17．（本題滿分15分）【詳解】（1）提出零假設：該藥物與預防該疾病無關，根據表格得出，，由此推斷不成立，則能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該藥物與預防該疾病有關（2）樣本中沒發(fā)病的動物有45只，其中使用藥物的有30只，則使用藥物且沒發(fā)病的頻率為，將頻率視作概率，則，則，，，，則的分布列為：0123期望．（3）由條件可得，由表中數(shù)據可知，，，則．18．（本題滿分17分）【詳解】（1）因為，所以，且，所以四邊形為矩形，所以，，又因為，，所以，所以，所以，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面．（2）以為原點，分別以，，方向為，，軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，由條件可知，所以所以，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，所以，取，則，，所以，設平面的一個法向量為，所以，取，則，，所以，所以，設二面角的平面角為，所以，故二面角的正弦值為．（3）設（），因為，，，所以，，因為，所以，取平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，所以，解得，因為，所以．本題可作如下探究：1．求二面角的正弦值；2．在線段上是否存在一點，使直線與平面平行，若存在，指出點的位置并證明你的結論，若不存在，請說明理由．19．（本題滿分17分）【詳解】（1）的所有可能取值是1，2，3，4．，，，，所以的分布列是1234數(shù)學期望是．（2）①設甲、乙兩位同學在每輪答題