/遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023?2024學(xué)年高一下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1 B．-1 C． D．2．已知向量，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題中，不正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感，萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形，若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A． B． C． D．5．已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的定義域為，在定義域內(nèi)存在唯一，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是?。òǘ它c）上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知單調(diào)函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則（

）A．0 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D．若對于任意，都有成立，實數(shù)的取值范圍為10．已知復(fù)數(shù)均為虛數(shù)，且，則（

）A．B．C．為純虛數(shù)D．存在某個實系數(shù)二次方程，它的兩個根為11．在棱長為2的正方體中，M為中點，N為四邊形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．點N的軌跡長度為 D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知銳角，且滿足，則.13．已知PC是三棱錐外接球的直徑，且，，三棱錐體積的最大值為8，則其外接球的表面積為．14．已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，若，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若為邊的中點，求的長.16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求三棱錐的體積.17．已知，對任意都有.(1)求的值；(2)若當時方程有唯一實根，求的范圍；(3)已知，若對任意都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．如圖，正三棱柱中，，點為的中點.(1)證明：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)求二面角平面角的正切值.19．在中，，點為的外心.(1)若，求的值；(2)若，求的最大值；(3)求證.

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則，得出復(fù)數(shù)，從而得其共軛復(fù)數(shù)的虛部即可.【詳解】由，得，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選.2．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合投影向量的定義分析求解.【詳解】因為，則，所以在方向上的投影向量為.故選A.3．【正確答案】C【分析】對于A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定定理分析判斷；對于B，由線面平行的性質(zhì)分析判斷；對于C，根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對于D，由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定定理分析判斷.【詳解】對于A，因為，所以，因為，所以，所以A正確；對于B，過作平面，因為，所以，因為，，所以，因為，，所以，所以，所以B正確；

對于C，當時，或，所以C錯誤；對于D，因為，所以，因為，所以，所以D正確.故選C.4．【正確答案】A【分析】根據(jù)圖形分析，利用扇形的圓心角、半徑、弧長的關(guān)系，即可求解.【詳解】由已知，．得，則萊洛三角形的周長是.故選A．【思路導(dǎo)引】結(jié)合題目條件等邊三角形ABC，可知，再結(jié)合線段AB長為1，以及弧長計算公式，即可計算出結(jié)果.5．【正確答案】C【分析】球半徑是圓錐母線，由圓錐母線、高和底面半徑關(guān)系得到，圓錐展開圖是扇形的弧長和半徑關(guān)系得到，進而求出，再利用球表面積公式得解.【詳解】由已知得圓錐母線是球半徑，設(shè)球半徑為，圓錐底面圓半徑為,由圓錐高為，得，由圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓得：，聯(lián)立方程組，解得，所以球表面積為，故選C.6．【正確答案】D【分析】先將函數(shù)化為一角一函數(shù)，再將函數(shù)在定義域內(nèi)存在唯一，使得轉(zhuǎn)化成在上有唯一解，接著結(jié)合正弦函數(shù)圖像性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，，在定義域內(nèi)存在唯一，使得，所以在上有唯一解，令，所以在上有唯一解，則由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)可知，.故選D.7．【正確答案】C【分析】法一：以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，應(yīng)用向量的坐標運算即可求解；法二：連接，設(shè)，則，，即可求解.【詳解】方法一：如圖1，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則．設(shè)，則．因為，所以，由題意知，圓O的半徑，因為點P在?。òǘ它c）上，所以，所以的取值范圍是．方法二：如圖2，連接，易知，設(shè)，則，由已知可得，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是.故選C．8．【正確答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的對稱性及已知條件求解即可.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以關(guān)于點中心對稱，因為，，且為單調(diào)函數(shù)，所以，，則.故選.9．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定的圖象，結(jié)合五點法作圖，求出，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷即得.【詳解】對于A，函數(shù)的周期，，解得，A正確；對于B，由，得，而，則，即，由，解得，函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線，B正確；對于C，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯誤；對于D，當時，，，即，由，顯然，，因此，D正確.故選ABD.【思路導(dǎo)引】結(jié)合題目圖象，計算可得，，，從而得到函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸方程計算的圖象的對稱軸；再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性計算的單調(diào)遞減區(qū)間；最后根據(jù)時的范圍計算實數(shù)的取值范圍.10．【正確答案】BC【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的模公式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】設(shè)，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，，，故B正確；對于C，，，為純虛數(shù)，故C正確；對于D，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，實系數(shù)二次方程，要么，要么，不可能既有實數(shù)根，又有虛數(shù)根，故D錯誤.故選BC.11．【正確答案】BD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得出平面平面，則根據(jù)已知得出點在線段上（含端點），當為時，根據(jù)異面直線的平面角結(jié)合正方體的性質(zhì)得出與的夾角為，此時，即可判斷A；三棱錐，利用等體積法結(jié)合體積公式即可判斷B；根據(jù)點在線段上（含端點），利用勾股定理求出，即可判斷C；根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合已知可得，則，即可根據(jù)的范圍得出的范圍判斷D．【詳解】在棱長為2的正方體中，為中點，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），平面，取、中點分別為、，連接、、、，，如圖：為正方體，為中點，為中點，，，，，、平面，、平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），且平面，點在線段上（含端點），對于A：當在時，則與的夾角為，此時，則與不垂直，故A錯誤；對于B：為四邊形內(nèi)一點（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對于C：由于點在線段上（含端點），而，點的軌跡長度為，故C錯誤；對于D：為正方體，平面，平面，，△為直角三角形，且直角為，，點在線段上（含端點），則當最大時，即點為點時，此時，此時最小，為，當最小時，即，此時，此時最大，最大為，則的取值范圍，故D正確．故選BD．12．【正確答案】【分析】由三角恒等變換求解即可．【詳解】，且為銳角，得，由為銳角，得，而，得，則.故答案為.【思路導(dǎo)引】根據(jù)為銳角以及可計算得，結(jié)合題目條件有，從而計算出，利用三角恒等變換，代入數(shù)值即可計算結(jié)果.13．【正確答案】【分析】根據(jù)題意可得平面和，利用三棱錐體積公式和重要不等式，可得三棱錐的體積最大值，依題求出，即得，得出結(jié)論.【詳解】如圖，因為是三棱錐外接球的直徑，所以，又，故平面，因平面，則，又，所以面，因平面，故，于是，三棱錐的體積為，因（當且僅當時等號成立），所以體積的最大值為，依題意，解得，因，故，所以三棱錐的外接球的表面積為：．故答案為.14．【正確答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可得，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解范圍.【詳解】由正弦定理得：，又，即，可得，又是銳角三角形，可得，即，解得，令，則，則，開口向上，對稱軸，即在上單調(diào)遞增，所以，即即的取值范圍是故15．【正確答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和差公式求解；（2）根據(jù)余弦定理求出邊，再根據(jù)向量運算求.【詳解】（1）因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得，因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.

16．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）連接，利用中位線的性質(zhì)得線線平行，即可證明線面平行；（2）利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得線面垂直；（3）利用等體積法及三棱錐的體積公式計算即可.【詳解】（1）連接交于點，連接，由底面是正方形，故為中點，又點為線段的中點，故，又平面，平面，故平面.（2）由點為線段的中點，，易知，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，而?平面，，故平面，又平面，故，又?平面，，故平面.（3）由點為線段的中點，故點與點到平面距離相等，故.17．【正確答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由已知條件可得的圖象關(guān)于直線對稱，則，再結(jié)合的范圍可求得結(jié)果；（2）令，則，由的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有一個交點，結(jié)合圖象從而可求出的范圍；（3）由，，則令，然后將問題轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，對變形后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）對任意都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，而，則，所以.（2），當時，設(shè)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以方程有唯一實根，等價于與的圖象有一個交點，由圖象可知或，所以或，所以的范圍是.

（3）由（1）知，，則，，，當時，，，令，顯然，不等式，依題意，，不等式恒成立，顯然，，當且僅當，即時取等號，則，所以實數(shù)的取值范圍是.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)存在，7，理由見解析；(3).【分析】（1）由已知條件證明平面，即可證明平面平面；在平面內(nèi)過點作交于點，證明出與相似，從而得到，代入數(shù)據(jù)求解即可；在平面上，過點作垂直垂足為，過點作的垂線垂足為，連接，證明為二面角的平面角，再求即可.【詳解】（1）在正三棱柱中，因為點為的中點，則，又平面，平面，則有，而，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）在平面內(nèi)過點作交于點，因為平面平面，平面，所以平面，則點即為所要找的點，如下圖所示，因為，，所以，因此，即有，于是，，所以.（3）在平面上，過點作垂直垂足為，因為點為的中點，所以為的四等分點，即，過點作的垂線垂足為，連接，平面平面，平面平面，因此平面，所以有，由二面角定義可得為二面角的平面角，因為為直角三角形，所以邊上的高為，則有，所以.19．【正確答案】(1)22；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）利用余弦定理求出，取的中點，連接，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，同理可求出，從而得答案；（2）不妨設(shè)，由（1）可知，，給兩邊