/湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（

）A． B． C． D．3．已知圓臺(tái)的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺(tái)的下底面過(guò)球心，上底面半徑為1，則圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．4．已知梯形是直角梯形，按照斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖（如圖所示），其中，，，則直角梯形邊的長(zhǎng)度是A． B． C． D．5．如圖，三棱錐中，底面，則該三棱錐的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的和為（

）A． B． C． D．6．某校為了宣傳青少年身心健康的重要性，隨機(jī)抽查了高一、高二、高三的名同學(xué)進(jìn)行了跑步測(cè)試，按照最終測(cè)試成績(jī)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)該名同學(xué)測(cè)試得分的上四分位數(shù)為（

）A．82.5 B．81 C．80 D．79.57．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若公差，且，則的值為（

）A．60 B．70 C．75 D．858．橢圓的左右焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線與橢圓C相交于A，B．若的周長(zhǎng)為8，則（

）A． B． C．2 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列滿足，（），的前項(xiàng)和為，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的為（

）

A．在中點(diǎn)時(shí)，平面平面B．異面直線所成角的余弦值為C．在同一個(gè)球面上D．，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為B．若雙曲線的通徑長(zhǎng)為2，則C．若是雙曲線與以為直徑的圓的交點(diǎn)，則的面積為2D．若點(diǎn)在雙曲線上，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，則．13．過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．若是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率．14．如圖，無(wú)人機(jī)在空中A處測(cè)得某校旗桿頂部B的仰角為，底部C的俯角為，無(wú)人機(jī)與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為m．（，結(jié)果精確到0.1）四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列滿足．(1)若，求證：為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心C在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知圓的方程為，請(qǐng)問(wèn)圓與圓會(huì)相交嗎？若相交求出兩圓的公共弦長(zhǎng)；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.17．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上，右頂點(diǎn)為A，且滿足直線與的斜率之積為，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn).18．如圖，在平面四邊形中，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，為的中點(diǎn)，將沿折到的位置，．(1)求證：面；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．19．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，，則向量在向量方向上.故選A.2．【正確答案】C【詳解】由題意可知，，，得，根據(jù)選項(xiàng)可知，只有滿足條件.故選C.3．【正確答案】A【詳解】由題意，圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，則高為，如下圖所示：

則圓臺(tái)的體積為.故選A.4．【正確答案】B【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法，原來(lái)的高變成了方向的線段，且長(zhǎng)度是原高的一半，原高為而橫向長(zhǎng)度不變，且梯形是直角梯形，故選B.5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)榈酌娴酌?，所?又因?yàn)椋?，而，所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長(zhǎng)?寬?高，因此該三棱錐外接球的半徑，設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，故為等邊三角形，由三棱錐的體積公式可得，三棱錐的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的和為，故選D.6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?,所以上四分位數(shù)位于內(nèi)，且設(shè)其為，故，解得，故A正確.故選A.7．【正確答案】A【詳解】設(shè)，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且公差，，所以，解得，所以.故選A.8．【正確答案】D【詳解】由題意的周長(zhǎng)，解得，故.故選D.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)閿?shù)列中，，（），則，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，，即有，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)正方體圖象特征證明面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)異面直線所成的角判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)五點(diǎn)共圓得到C；分析可知點(diǎn)軌跡是過(guò)點(diǎn)與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長(zhǎng)度得到D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，

在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易知，因?yàn)椋云矫?，在平面?nèi)，所以，平面，平面，，所以平面，平面，所以，連接，是正方形，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，綜上，平面，平面，又，所以平面，平面，故平面平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過(guò)點(diǎn)與平行的線段，且，所以，故D正確；故選ACD.11．【正確答案】ABC【詳解】在雙曲線中，.若離心率，則，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確．將代入，得，又，所以，解得．由題意得，解得，B正確．由題意，得．不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，則，所以，解得，所以的面積，C正確．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，D錯(cuò)誤．故選ABC.12．【正確答案】【詳解】由題意，圓，可得圓心，半徑，過(guò)定點(diǎn)則圓心到直線的距離為，可得截得弦長(zhǎng)為，弦長(zhǎng)取得最小值時(shí)，.13．【正確答案】/【詳解】設(shè),則，相減可得.14．【正確答案】13.8【詳解】根據(jù)題意得，在中，，,在中，,,.15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列（2）由（1）得，所以，所以．所以16．【正確答案】(1)(2)相交，【詳解】（1）因，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線的斜率,于是線段的垂直平分線所在直線方程為,

則由，解得，

∴圓心，半徑,

∴圓的方程為；（2）由圓得：

∴圓心，半徑，∵圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，由，，因，故圓與圓相交；設(shè)圓與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由左右分別相減，整理得,∴直線的方程為,∴圓心到直線的距離,∴，綜上：圓與圓相交，兩圓的公共弦長(zhǎng)為.17．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）由（1）知，易知直線與的斜率存在且同號(hào)，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，由可得，，所以，，而，即，化簡(jiǎn)可得，即，即，化簡(jiǎn)得，所以或，所以直線或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）依題意是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為的中點(diǎn)，所以，所以，，，，，則，所以，又，即，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又，平面，所以平面．?）