專題L5生活中的軸對(duì)稱章末重難點(diǎn)題型

【北師大版】

?》而無i

??學(xué)一左三

【考點(diǎn)1軸對(duì)稱圖形的識(shí)別】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這

個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

【例I】（2020春?岳陽期末）2020年初，新型冠狀病毒引發(fā)肺炎疫情.一方有難，八方支援，全國多家醫(yī)

院紛紛選派醫(yī)護(hù)人員馳援武漢.下面是四家醫(yī)院標(biāo)志的圖案部分，其中圖案部分是軸對(duì)稱圖形的是（）

吟為@通

A.協(xié)和醫(yī)院B.湘雅醫(yī)院C.齊魯醫(yī)院D.華西醫(yī)院

【分析】利用軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行解答即可?.

【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)徐圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

【變式1-1]（2020春?青島期末）下列交通指示標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的關(guān)健是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合解答.

【解答】解：第一、二、四個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，

第三個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

【變式1-2]（2020春?陳倉區(qū)期末）下列與防疫有關(guān)的圖案中不是軸對(duì)稱圖形的有（）

AAOA

當(dāng)心輻射II當(dāng)心感染II必須戴防護(hù)手套II小心腐蝕

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行分析即可.

【解答】解：第一個(gè)圖案和第二個(gè)圖案是軸對(duì)稱圖形，第三個(gè)圖案和第四個(gè)圖案不是軸對(duì)稱圖形，

則不是軸對(duì)稱圖形的有2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念.

【變式1-3]（2020春?揭陽期末）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的有（）個(gè).

①角②線段③等腰三角形④等邊三角形⑤扇形⑥圓⑦平行四邊形

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的定義分析得出答案.

【解答】解：①角②線段③等腰三角形④等邊三角形⑤扇形⑥圓⑦平行四邊形中

只有平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形.

故軸對(duì)稱圖形有6個(gè).

2

故選:c.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，正確把握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵是掌握鏡面對(duì)稱原理及反射角與入射角的定義.

【例2】（2020春?玉門市期末）如圖，課間休息時(shí)，小新將鏡子放在桌面上，無意間看到鏡子中有一串?dāng)?shù)

字，原來是桌旁堵面上張貼的同學(xué)手機(jī)號(hào)碼中的幾個(gè)數(shù)字，請問鏡子中的數(shù)字對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)字

B'm日口后多

於_______?--------------------

【分析】易得所求的數(shù)字與看到的數(shù)字關(guān)于豎直的一條直線成軸對(duì)稱，作出相應(yīng)圖形即可求解.

'己日口口￡己43。。85

【解答】解：做軸對(duì)稱圖形得:

故答案是：630085.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了鏡面對(duì)稱，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的對(duì)稱軸；難點(diǎn)是作出相應(yīng)的對(duì)稱圖形;

注意2的關(guān)于豎直的一條直線的軸對(duì)稱圖形是5.

【變式2-1］（2020春?禪城區(qū)期末）室內(nèi)墻壁上掛一平面鏡，小明在平面鏡內(nèi)看到他背后墻上時(shí)鐘的示數(shù)

如圖所示，則這時(shí)的實(shí)際時(shí)間應(yīng)是（）

A.3：20B.3：40C.4：40D.8：20

【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱，分析

并作答.

【解答】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的時(shí)刻與3：40成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻

為3：40.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧.

【變式2?2】（2019秋?潤州區(qū)校級(jí)月考）如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的規(guī)則為4X7的臺(tái)球桌面示意圖，圖中四個(gè)

侑上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺(tái)球邊緣多次

反彈），那么球最后將落入的球餞是（)

3

B

V20204-6=336-4,

???當(dāng)點(diǎn)P第2020次碰到長方形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的第4次反彈，

，第2020次碰到長方形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)D,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律以及生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，作出圖形，觀察出每6次反彈為一

個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)健.

【考點(diǎn)3軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用】

【方法點(diǎn)撥】軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸

垂立平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等.

【例3】（2020春?舞鋼市期末）如圖，△A8C中，NB=60°：ZC=50°,點(diǎn)。是上任一點(diǎn)，點(diǎn)、E

和點(diǎn)尸分別是點(diǎn)。關(guān)于AB和AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE和4凡則NE4F的度數(shù)是（）

A.140°B.135°C.120°D.100°

【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如圖，點(diǎn)分別以AB、4c為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F,

；?/EAB=/BAD,NEC=/CAD,

VZfi=60°,ZC=50°,

.??N/MC=N8AQ+NQAC=180°-60°-50°=70°,

AZEAF=2ZBAC=140°,

故選：A.

5

【點(diǎn)評(píng)】此題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答.

【變式3-1]（2020秋?東城區(qū)校級(jí)期中）如圖，P是NAOB外的一點(diǎn)，M,N分別是/AO8兩邊上的點(diǎn)，

點(diǎn)P關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)夕關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R恰好落在MN的延長線上.若

PM=2.5,PN=3,MR=7,則線段QN的長為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出PM=MQ，PN=NR,進(jìn)而得出MN=4,得出N。的長.

【解答】解：???點(diǎn)P關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)。關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)R落在MN的延

長線上，

1.PM=MQ,PN=NR,

'：PM=2.5,PN=3,MR=7,

:?RN=3,MN=MR-NR=7-3=4,MQ=MP=2.5,

卻NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得出PM=MQ,PN=NR是解題關(guān)鍵.

【變式3-2]（2（）2（）秋?海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P為NA0B內(nèi)一點(diǎn)、,分別作出。點(diǎn)關(guān)于08、的對(duì)稱

點(diǎn)Pl,Pl,連接P1P2交0B于M,交04于N,若N4OB=40°,則NMPN的度數(shù)是（）

6

B

A.90°B.100°C.12。°13.14。°

【分析】首先證明NPI+NP2=40°,可得NPMN=NPi+NMPPi=2NPi,/PNM=/P1+/NPPz=2

/尸2,推出NPMN+/尸NM=2X40°=80°,可得結(jié)論.

【解答】解：TP點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是Pi,P點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)是尸2,

：.PM=P\M,PN=P2N,NP2=NP2PM/P\=/PIPM,

???NAOB=40°,

，NP2Ppi=140°,

???NP+NP2=40。，

:?/PMN=/P\+/MPP\=2NP\,/PNM=/PZ+/NPP2=2/P2,

:?NPMN+NPNM=2義40°=80°,

AZMP/V=I8O°-（NPMNMPNM）=180°-80°=100°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì).對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被

對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等.

【變式3?3】（2020秋?興寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，分別以△A8C的邊48,AC所在直線為對(duì)稱軸作△A8C的

對(duì)稱圖形△AB。和△ACE,ZBAC=150°,線段8D與CE相交于點(diǎn)。，連接BE、ED、DC、OA.有如

下結(jié)論：①NEW=90°;②NBOE=60°；③。4平分NBOG④BP=EQ.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得N8AO=/CAE=NBAC,再根據(jù)周角等于360°列式計(jì)算即可求出/

EAD=90°,判斷出①正確；再求出NA4E=/CAD=6（T,根據(jù)翻折可得NAEC=NA3O=NA8C,利

7

用三角形的內(nèi)角和定理可得判斷出②正確；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高相等，即

可判斷出③正確；判斷出和aAEQ不全等，從而得到8PWEQ,判斷出④錯(cuò)誤.

【解答】解：:△AB。和△ACE是△A8C的軸對(duì)稱圖形，

/.ZBAD=ZCAE=ZBAC,AB=AE,AC=AD,

???NE4O=3N8AC-360°=3X150°-360°=90°,故①正確.

i

：,ZDAE=ZCAD=(360°90°150°)=60°,

由翻折的性質(zhì)得，NAEC=N/iBD=NABC,

又?：NEPO=NBPA,

???N4OE=N8AE=600,故②正確.

?r△AC%Z\AO8,

:?SMCE=S?DB，BD=CE,

???3。邊上的高與CE邊上的高相等，

卻點(diǎn)A到N8OC兩邊的距離相等，

???。4平分N8OC,故③正確.

在△A8P和△AEQ中，ZABD=ZAEC,AB=AE,NBAE=60°,NE4Q=90°,

:?BPVEQ,故④錯(cuò)誤；

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清

圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4等腰三角形中的分類討論思想】

【例41（2020秋?淮南期末）等腰三角形的周長為14a〃，其中一邊長為4c/”,則該等腰三角形的腰長為（）

A.4cmB.5cmC.4cm5cmD.4cm6cm

【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：丁當(dāng)腰是4cm時(shí)，則另兩邊是4cm,6cm；

8

當(dāng)?shù)走吺?cm時(shí)，另兩邊長是5c、/〃，5cm.

:.該等腰三角形的腰長為或5cm.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三曲形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解.

【變式4-1］（2021春?南海區(qū)校級(jí)月考）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角等于30°,則這個(gè)等腰三

角形的頂角等于（）

A.30°B.60°C.30°或150cD6（）。或120°

【分析】等腰三角形的高相對(duì)于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上.根

據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，如圖1,

VZABD=30°,BD1AC,

AZA=60°；

，頂角是60°；

當(dāng)高在三角形外部時(shí)，如圖2,

VZABD=30°，8Q_LAC于D,

.,.ZBA/9=60°,

???NZMC=180°-60°=120°

???頂角是120。.

故選：

圖1圖2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵,

本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只是求出60°一種情況，把三角形簡單的認(rèn)為是銳角三角形.因此此題屬于易錯(cuò)題.

【變式4-2］（2020秋?扶余市期末）如圖，點(diǎn)。是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，NAON=30",當(dāng)△40P為等腰三

甬形時(shí)，NA的度數(shù)一定不可能是（）

9

A.120°B.75°C.60°D,30°

【分析】分三種情形討論即可：當(dāng)點(diǎn)。為等腰三角形頂點(diǎn).b、當(dāng)點(diǎn)4為等腰三角形頂點(diǎn).。、當(dāng)點(diǎn)

產(chǎn)為頂點(diǎn).

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，NA=75°,

當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，ZA=120°,

當(dāng)點(diǎn)。為頂點(diǎn)時(shí)，NA=30°,

綜上，NA的度數(shù)為300或75°或120°,一定不可能等于60°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}

型.

【變式4-3］（2021春?浦東新區(qū)期中）已知等腰三角形的底邊長為6,一條腰上的中線把三角形的周長分

為兩部分，其中一部分比另外一部分長2,則三角形的腰長是.

【分析】其中一部分比另外一部分長2,分兩種情況：腰比底大2或底比腰大2,分別求出腰即可.

【解答】解：等腰三角形一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，這兩部分的差即是腰與底的差的

絕對(duì)值，

???其中一部分比另外一部分長2,

???腰比底大2或底比腰大2,

???腰為8或4.

故答案為：8或4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的中線，掌握中線的定義是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5作等腰三角形】

［例5］（2020秋?隨縣期末）已知：如圖，下列三角形中，AB=AC,則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直

線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）

10

451

36,

D.①③

【分析】頂角為：36。，90°,108°的四種等腰三角形都可以用一條直線把這四個(gè)等腰三角形每個(gè)都分

割成兩個(gè)小的等腰三角形，再用?條直線分其中?個(gè)等腰三角形變成兩個(gè)更小的等腰三角形.

【解答】解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形”，

①中分成的兩個(gè)等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36°,36°,108°和36°,72°,72°,能；

②不能;

③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個(gè)小等腰直角三角形，能；

④中的為36°,72,72°和35°,36°,108°,能.

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉粭l線段，分原三角形

為兩個(gè)新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的?個(gè)小等腰三角形與原等腰三角形相似才有可能.

【變式5-1]（2020?海門市一模）線段A8在如圖所示的8X8網(wǎng)格中（點(diǎn)A、8均在格點(diǎn)上），在格點(diǎn)上

找一點(diǎn)C，使△A8C是以N8為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)題意可得，以點(diǎn)8為圓心，8A長為半徑畫圓，圓與格點(diǎn)的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)C.

【解答】解：如圖所示：

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使△ABC是以為頂角的等腰三角形，

所以所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.

【變式5-2］（2019秋?安陸市期末）如圖，已知△A3C中，A8=3,AC=5,BC=1,在△ABC所在平面內(nèi)

一條直線，將△A8C分割成兩個(gè)三角形，使其中有一個(gè)邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB為底以及人B為腰得出符合題意的圖形即可.

【解答】解：如圖所示，當(dāng)尸=3,BA=BD=3,AB=AE=3,BG=AG時(shí)，都能得到符合題意的

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定等知識(shí)，正確利用圖形分類討論得出等腰三角形是解題關(guān)鍵.

【變式5-3］（2019秋?鼓樓區(qū)月考）如圖，直線PQ上有一點(diǎn)。，點(diǎn)A為直線外一點(diǎn)，連接04在直線

PQ上找一點(diǎn)從使得△ACM是等腰三角形，這樣的點(diǎn)8最多有個(gè).

【分析】分別以A、O為圓心AO長為半徑畫弧，作AO的垂直平分線，即可在直線PQ上找一點(diǎn)已使

12

得△A03是等腰三角形.

【解答】解：如圖所示，分別以4、。為圓心，4。長為半徑畫弧，與直線PQ的交點(diǎn)陰，氏，&符合

題意；作40的垂直平分線，與直線PQ的交點(diǎn)&符合題意，若B2,仍，出不重合，則最多有4個(gè).

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳等腰三常形的判定，利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)

腱，也是這類問題的常用方法.

【考點(diǎn)6角平分線的性質(zhì)】

【方法點(diǎn)撥】角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，解決此類問題的關(guān)鍵在于作垂線.

【例6】(2019秋?大名縣期中)如圖，8。是N4BC的平分線，DELABTE,S&48c=36c〃，，AB=18c〃i,

BC=\2cm,則。E=cm.

【分析】首先過點(diǎn)。作。于點(diǎn)足由3。是NA8c的平分線，DEYAB,根據(jù)角平分線的性質(zhì),

可得OE=OF,然后由S,“8C=SLHS?)=y8?DE+Yc?QF,求得答案.

【解答】解：過點(diǎn)D作。凡LBC于點(diǎn)凡

???8。是NA8C的平分線，

:?DE=DF,

*：AB=\^cmfBC=I2cw,

：?SMBC=SMBD+SABCD=yBQE+%C?DF=步￡?(AB+BC)=36cw2,

.*.DE=2.4(cm).

故答案為:2.4.

13

D

BFC

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

【變式6-1］（2019秋?永嘉縣校級(jí)期中）如圖，AC,分別平分NME,NABF,若△/WC的高CO=8,

則點(diǎn)C到AE,BF的距離之和為.

【分析】首先過點(diǎn)C作CMJ_4E于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CNLBF干點(diǎn)M由AC,BC分別平分NBAE,NABF,

△人BC的高CD=8,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CA/=CD=8,CN=CD=8,繼而求得答案.

【解答】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CNLBF于點(diǎn)N,

VAC,4c分別平分N84￡,NA3F,△ABC的高。。=8,

???CM=CO=8,CN=CD=8,

??.點(diǎn)。到AE,8r的距離之和為：CM+CN=16.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì).此題難度不大，注意輔助線的作法，注意掌握角平分線的定理的

應(yīng)用是關(guān)鍵.

【變式6?2】（2019秋?長沙月考）如圖，在△A8C中，CDLAB于點(diǎn)D,8E平分/A8C,交C。于點(diǎn)￡,

若S”CE=24,8c=12,則QE等于（）

14

A

DE

A.10B.7C.5D.4

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出。E=E凡根據(jù)三角形的面積求出E凡即可得出選項(xiàng).

【解答】解：過E作E凡LBC于F,

*：CDA-ABf8E平分/ABC,

1,DE=EF,

??$小=24,BC=\2,

1

J-x12xFF=24,

2

解得：EF=4,

即DE=EF=4,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

【變式6-3］（2020春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AABC的周長是16,MB和MC分別平分NA8C和/

ACB,過點(diǎn)"作BC的垂線交BC于點(diǎn)D,且MQ=4,則△ABC的面積是（）

［分析】連接AM,過M作MEVAB于E,MFLAC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出ME=MD=MF=4,

根據(jù)三角形的面積公式求Ill即可.

【解答】解：連接AM,過M作于E,MF_LAC于F,

15

E

???MB和MC分別平分/ABC和NAC8,MDIBC,MD=4,

：.ME=MD=4,MF=MD=4,

??.△ABC的周長是16,

：.AB+BC+AC=\6,

:.△ABC的面積S=SMMC+S/：BCM+S^HM

=2xACxM//xBCxDM+/x48xME

乙乙乙

=1x^CX4+|xFCx4+|xzlfix4

乙乙乙

=2(AC+BC+AB)

=2X16=32,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OM=ME=M￡=4是

解此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7角平分線的性質(zhì)與判定綜合】

【方法點(diǎn)撥】掌握到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解決此類問題的關(guān)鍵.

【例7】（2020秋?興隆縣期中）如圖，。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，旦。到三邊A3、BC、C4的距離OF=OQ=

OE,若NBAC=70°,則NBOC的度數(shù)為（）

A.70°B.120°C.125°D.130°

【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出點(diǎn)。是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，再根

據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/ABC+NACB,然后求出NOBC+/OC8,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式

16

計(jì)算即可得解.

【解答】解：到三邊A3、BC、C4的距離0"=0。=0￡,

???點(diǎn)。是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

???NB4C=70°,

???NA8C+NAC8=180°-70°=110°，

：.ZOBC+ZOCI3=1（ZADC-^ACB）=|xllO0=55°,

在△O8C中，NBOC=180°-QOBC+NOCB）=180°-55°=125°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，要注意整

體思想的利用.

【變式7-1］（2019春?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，NABC、NE4C的角平分線8尸、A尸交于點(diǎn)P,

延長84、BC,則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）

①CP平分/ACR②NABC+2NA尸C=180°

③NACB=2N4尸8；④若PMLBE,PN1BC,MAM+CN=AC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】①作PO_LAC于D由角平分線的性質(zhì)得出PM=PD,得出PM=PN=PD,即可得

出①正確；

②首先證出NABC+NMPN=180°,證明Rl△%MgRt△煙。（〃L）,得出N4PM=/APD,同理：Rt

△PCDWRtAPCN（HL）,得出NCPD=NCPN,即可得出②正確；

③由角平分線和三角形的外角性質(zhì)得出NCA￡=NA8C+NAC3,ZPAM=^ZABC+ZAPBf得出NAC8

=2N4P從③正確：

④由全等三角形的性質(zhì)得出AD=AM，CD=CN,即可得出④正確；即可得出答案.

【解答】解：①作PO_LAC于￡>.

???P8平分NABG平分N"C,PM工BE,PN1BF,

17

:?PM=PN,PM=PD,

:.PM=PN=PD,

???點(diǎn)尸在NAC廣的角平分線上，故①正確；

②???PM_LA8,PN1.BC,

/.ZABC+900+NMPN+90。=360。，

???NA8C+NMPN=18(r,

在Rt△%M和Rt△附。中，｛；：;笈，

???Rt△%M0Rt△以。(HL),

：.NAPM=NAPD,

同理：RtAPCDgRtAPCN(HL),

???ZCPD=/CPN,

:?/MPN=2/APC,

???NA8C+2NAPC=180°,②正確；

③???必平分NC4E,B尸平分N4BC,

；?ZCAE=ZAI3C+ZACH,ZPAM=2/ABC+NA尸4,

，/AC4=2NAP從③正確；

④0Rt△以。(HL),

：,AD=AM,

同理：RtAPCD^RtAPC?7(HL),

:,CD=CN,

：,AM+CN=AD+CD=AC,④正確；

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于

與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，有一定綜合性，但難度不大，只要仔細(xì)分析便不難求解.

18

【變式7-2］（2020春?龍崗區(qū)期末）如圖，RtZXACB中，NAC8=90°,AAAC的角平分線A。、3E相交

于點(diǎn)戶，過戶作P/LLA。交3C的延長線于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)、H,則下列結(jié)論：①NAP8=135°；@BF

=84；③PH=PD；④連接CP,CP平分NAC8,其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義判斷①；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)判斷②③；根

據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)判斷④.

【解答】解：在△A8C中，???/ACB=90°,

???NBAC+NA8C=90°,

又???A。、BE分別平分NR4C、NABC,

AZBAD+ZABE=1（NBAC+NABC）=45°,

：.ZAPB=135°,故①正確.

AZBPD=45°,

又???PF_L4。，

???NFP8=900+45°=135°,

J/APB=/FPB,

又,：NABP=/FBP,BP=BP，

???AABP/△FBP,

:?/BAP=/BFP,AB=FB,PA=PF,故②正確.

在△APH和△"￡)中，

VZAPH=ZFPD=9()a,NPAH=/BAP=/BFP,PA=PF.

???△APH9XFPD、

：.PH=PD,故③正確.

19

???△A8C的角平分線AD.8E相交于點(diǎn)P,

???點(diǎn)尸到AB、AC的距離相等，點(diǎn)P到A8、8C的距離相等.

???點(diǎn)P至U8C、AC的距離相等，

???點(diǎn)?在N4CB的平分線上，

??.CP平分NACB,故④正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理.掌握相關(guān)性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2020春?崇川區(qū)校級(jí)期末）如圖，△AAC的角平分線4E,BF交于O點(diǎn).

（1）若NAC8=70。，則NBOA=；

（2）求證：點(diǎn)。在/AC8的角平分線上.

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到NABC+NB4c=180°-70°=110°,根據(jù)角平分線的定

義即可得到結(jié)論；

（2）過。作ODJ_8C于D,OG_LAB于G,OH上AC于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)健康得到結(jié)論；

（3）連接OC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N￡OO=NFO”，根據(jù)

角平分線的定義即可得到結(jié)論；

【解答】解：（1）VZACfi=70",

/.ZABC+ZBAC=180°-70°=110°,

?「△ABC的角平分線AE,BF交于O點(diǎn)、,

20

?384。=晨8AC,LABO=^ABC,：.ZABO+ZBAO=^(ZABC+ZACB)=55°,

乙乙乙

???NAO8=180°-(NA80+/BA0)=125°,

故答案為：125°；

(2)過。作OO_LBC于。，OG_LAB于G,O“_LAC于"，

??,4E平分/8AC,B/7平分乙4BC,

；?OG=(JH,(JG=(JD,

：,OD=OH,

???點(diǎn)。在NAC4的角平分線上.

(3)連接0C,

在RtAOED與RlAOFH中;禽,

ARt^OED^Rt^OFH,(HL),

：.4E0D=/F0H,

???NDOH=NEO/=180°-NACB,

,：AE.B/是角平分線，

，/AO4=90°+,NAOL

即90。+1ZACB=1800-ZACB,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

正確的作出軸助線是解題的關(guān)犍.

【考點(diǎn)8線段垂直平分線的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵

【例8】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△4BC中，AB=AC,A8的中垂線交A8于點(diǎn)D,交BC

的延長線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F,若A8+8C=6,則ABC/的周長為（）

21

D

A.4.5B.5C.5.5D.6

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=BF,然后根據(jù)三角形的周長推

出△8"的周長=AC+8C,即可得解.

【解答】解：???。r為A8的垂直平分線，

:?AF=BF,

???叢BCF的周長=CF+BF+BC=CF+AF+BC=AC+BC,

rAB=AC,AB+BC=6,

：.AC+BC=6,

???△BCF的周長為6.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性

質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1］（2020春?鄲都區(qū)期末）如圖，△A3C中，ZABC=30°,ZACB=50°,DE、FG分別為A3、

AC的垂直平分線，E、G分別為垂足.

（1）直接寫出NB4c的度數(shù)；

（2）求ND4/的度數(shù)，并注明推導(dǎo)依據(jù)；

（3）若△D4F的周長為20,求BC的長.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算:

（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

22

【解答】解：（1）ZABC+ZACB+ZBAC=\^°,

AZBAC=180°-30°-50°=100°；

（2）;DE是線段A8的垂直三分線，

:.DA=DB,

，NOAB=NABC=30°,

同理可得，NMC=NAC8=50°,

：,ZDAF=ZBAC-ZDAB-ZMC=100°-30°-50°=20°；

（3）-△￡>4戶的周長為20,

：.DA+DF+FA=2（）,

由（2）可知，DA=DB,FA=FC,

:.BC=DB+DF=FC=DA+DF-FA=20.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、二角形內(nèi)用和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到

線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2019秋?百色期末）如圖，△4BC中，4。平分/BAC,OGJ_8C且平分AC,DELABE,

DF1AC于F.

（1）說明8E=C產(chǎn)的理由；

（2）如果A8=5,AC=3,求AE、8E的長.

D

【分析】（I）連接8D,CD,由AD平分NBAC,OEJLAB于E,DEIAC于凡根據(jù)角平分線的性質(zhì)，

即可得。E=OF,又由。GJ_BC且平分BC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BO=CD,繼而可證得

RtABED色RtACFD,則可得BE=C/；

（2）首先證得△人￡7）且△人口，即可得人￡：=人兄然后設(shè)BE=x,由八A-8E=AC+CR即可得方程5

-x=3+x,解方程即可求得答案.

【解答】（1）證明：連接3DCD,

???4。平分NBAC,DE±AB,DF1AC,

：.DE=DF,/BED=/CFD=90°,

23

???QG_L8C且平分AC,

:?BD=CD,

(tRt/XBED與RtACFD中，

\BD=CD

IDE=。尸

.*.RtABED^RtACFD(HL).

:.BE=C卜;

(2)解：在△AEO和△AFO中，

(Z.AED=Z.AFD=90°

1/-EAD=Z.FAD,

lAD=AD

/.^AED^AAFD(A4S),

：.AE=AF,

設(shè)BE=x,則CF=x,

???A8=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CFt

.*.5-x=3+x,

解得：x=l,

：.BE=\,AE=A13-BE=5-1=4.

D

【點(diǎn)評(píng)】此題考資了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度

適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出瑞助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解.

【變式8-3](2020春?萍鄉(xiāng)期末)如圖，AABC的外角ND4C的平分線交邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD

LAB于D,PE工AC于E.

(1)求證：BD=CE；

(2)若48=6c〃?，AC=10c/??.求4￡)的長.

24

D

B乙-----------------J--------------

Qc

【分析】（1）連接BP、CP,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP=CP,根據(jù)角平

分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP=EP,然后利用證明RlABDP和RtACEP全等，根據(jù)

全等三角形對(duì)■應(yīng)邊相等證明即可；

（2）利用證明RdAO尸和RtZXA政全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AQ=A￡，再根據(jù)A反

AC的長度表示出A。、CE,然后解方程即可.

【解答】（1）證明：連接BP、CP,

?:點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，

:?BP=CP,

是ND4c的平分線，

：.DP=EP,

在R△8。戶和RtZXC"中，｛案:3

ARtABDP^RtACEP（HL）,

:.BD=CE；

⑵解：在RI△曲和△△曲中,｛需力

：,Rt^ADP^Rt/\AEP(HL),

：.AD=AE,

???4B=6c〃?，AC=10c〃?，

：.6+AD=10-AEt

即6+40=10-AO,

解得AD=2cm.

【考點(diǎn)9尺規(guī)作圖】

[例9]（2021春?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形A8CD中，AB=AD.CD>BC,請用尺規(guī)作圖法在

CO邊上求作一點(diǎn)P,使得S"Z"=S"6P.（要求：尺視作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

25

D

【分析】作/氏4。的平分線交CO于P,則P點(diǎn)到AB和A。的距離相等，ffiAB=AD,于是根據(jù)三角形

面積公式，可判斷SAADP=S^ABP.

【解答】解：如圖，點(diǎn)P為所作.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾

何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本

性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

【變式9-1］（2020春?萊州市期末）如圖，直線h/2,/3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)在要建設(shè)一個(gè)貨物

中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，請確定中轉(zhuǎn)站P的位置..要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，

標(biāo)注字母P.不寫作法.

【分析】利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題即可，注意到三條公路的距離相等的點(diǎn)有四個(gè).

【解答】解：如圖，滿足條件口勺點(diǎn)P有四個(gè)，如圖所示：

26