武昌區(qū)2025屆高三年級5月質(zhì)量檢測數(shù)學本試題卷共4頁，共19題.滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，再由集合可知集合中的元素為整數(shù)，將集合中的進行賦值即可求解.【詳解】由得，，所以，所以，對于集合，因為，所以當時，；當時，；當時，；.故選：B.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算可求，再根據(jù)復數(shù)的共軛及乘法計算即可.【詳解】由，則，所以.故選：A.3.拋物線的準線方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由拋物線方程可知，拋物線焦點在軸正半軸，且，所以所求準線方程為.4.如圖，某社區(qū)為墻面、、、四塊區(qū)域宣傳標語進行涂色裝飾，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法有（）A.12種 B.24種 C.48種 D.144種【答案】C【解析】【分析】由題，三種顏色的涂法有兩種，即與同色或與同色，由計數(shù)原理列式求解.【詳解】三種顏色涂法有兩種，即與同色或與同色，所以恰好使用3種顏色的涂法有種.故選：C.5.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，則（）A. B. C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解的值，從而可得公比的值，再根據(jù)等比數(shù)列的通項求解即可.【詳解】已知等比數(shù)列，則，因為，所以，則，又，所以或，因為等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則，且公比，所以，則，故.故選：A.6.已知函數(shù)，直線是曲線的切線，如果切線與曲線有且只有一個公共點，那么這樣的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】B【解析】【分析】設切點為，利用導數(shù)，結(jié)合直線的點斜式方程求出切線的方程，聯(lián)立切線方程和曲線方程，化簡得方程，根據(jù)切線與曲線有且只有一個公共點，求出參數(shù)的值即可.【詳解】函數(shù)，對其求導得.設切點為，則切線斜率為又，所以切線方程為，化簡得.將切線方程和曲線方程聯(lián)立得：整理得，因式分解得，解得或，因為切線與曲線有且只有一個公共點，所以，解得，此時切線方程為，對應唯一一條滿足條件直線，故選：B.7.在平行六面體中，，．設，，，則平面的一個法向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要是平面的一個法向量，則要與平面的兩不共線的向量垂直，兩向量垂直即數(shù)量積為零，再根據(jù)數(shù)量積的運算驗證即可.【詳解】如下圖所示：在平行六面體中，，．設，，，所以，，，對A，，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，,，與、都垂直，則是平面的一個法向量，故D正確；故選：D.8.已知服從二項分布的似然函數(shù)為（其中表示成功的概率，為樣本總數(shù)，為成功次數(shù)）．現(xiàn)有一個研究團隊研究發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)的取值有關(guān)，該團隊提出函數(shù)模型為．在統(tǒng)計學中，若參數(shù)時使得概率最大，則稱是的最大似然估計．若，，根據(jù)這一原理和該團隊提出的函數(shù)模型可以求出的最大似然估計，其最大似然估計為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求參數(shù)的極大似然估計值，二是根據(jù)的值求的最大似然估計.【詳解】首先給出了函數(shù)，對其求導.可得：然后令，即，即交叉相乘可得,展開得,移項可得，解得.因為函數(shù)在該點導數(shù)為，所以參數(shù)的極大似然估計值為.已知，，則.已知函數(shù)模型，且在內(nèi)單調(diào)遞增.令，即，可得所以,所以是的最大似然估計.故選:B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的一個對稱中心為D.圖象上所有的點向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱【答案】ABC【解析】【分析】由周期公式可判斷A，通過代入可判斷B，通過整體代入可判斷C，通過平移結(jié)合誘導公式可判斷D.【詳解】對于A，由周期公式可得最小正周期為，正確，對于B，由，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；對于C，當時，，正確；對于D，圖象上所有的點向左平移個單位長度后，得到，顯然圖像關(guān)于軸不對稱，錯誤，故選：ABC10.已知圓，直線與圓交于，兩點，點為圓上異于，的任意一點，若，，則（）A.B.面積的最大值為C.直線的方程為D.滿足到直線的距離為的點有且僅有3個【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式求解判斷A；利用圓的性質(zhì)求出面積最大值判斷B；求出直線方程判斷C；利用直線與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，依題意，，則，而，解得，A錯誤；對于B，，圓心到直線距離，因此點到直線距離的最大值為，面積的最大值為，B正確；對于C，由，得，直線的斜率，設直線的方程為，則，解得，由，得，即，因此，直線的方程為，C錯誤；對于D，由圓半徑為，圓心到直線距離為，得圓上到直線距離為的點有且僅有3個，因此符合條件的點有且僅有3個，D正確.故選：BD11.某乒乓球比賽采用單淘汰制，即參賽選手按照隨機組合方式逐輪進行比賽，每場比賽負方淘汰，勝方晉級到下一輪，直到最終決出冠亞軍．現(xiàn)有運動員（且）名，隨機編號到對陣位置，且所有運動員在任何一場比賽中獲勝的概率均為．若甲、乙是其中的兩名運動員，則下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則甲、乙在第1輪比賽中相遇的概率為B.若，則甲、乙在第2輪比賽中相遇的概率為C.若（且），則甲、乙兩人在第4輪比賽中相遇的概率為D.若，則甲、乙兩人在比賽中相遇的概率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意甲確定后，乙還有7個位置選擇然后可計算相遇概率確定A選項；同理甲乙在第2輪相遇，首先甲乙不能同組并同時晉級，再在第二輪相遇可確定B選項；根據(jù)題意甲、乙兩人在第m輪比賽中相遇的概率為即可確定C選項；利用等比數(shù)列求和公式可求甲、乙兩人在比賽中相遇的概率.【詳解】對于A，時，甲的位置確定后，乙需在剩余7個位置中選擇同一組的1個位置，概率為，故A正確；對于B，當時，甲、乙在第2輪相遇，則甲、乙需在第一輪均晉級概率為，又在第2輪同一組的概率為，故所求概率為，故B錯誤；對于C，當時，甲、乙兩人在第m輪比賽中相遇的概率為，所以甲、乙兩人在第4輪比賽中相遇的概率為，故C正確；對于D，當時，甲、乙兩人在比賽中相遇的概率為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某商場為優(yōu)化服務，對顧客做滿意度問卷調(diào)查，滿意度采用計分制（滿分100）．現(xiàn)隨機抽取了其中10個數(shù)據(jù)依次為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為________．【答案】88【解析】【分析】根據(jù)下四分位數(shù)的概念求解即可.【詳解】10個數(shù)據(jù)從小到大為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則，故這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為88.故答案為：88.13.已知，且，則________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題設，根據(jù)兩角和與差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，，進而求得，再結(jié)合二倍角公式求解即可.【詳解】由，則，由，得，則，即，，所以，則.故答案為：.14.在幾何中，單葉雙曲面是一種典型的直紋面如圖1所示，因其具有優(yōu)良的穩(wěn)定性和美觀性，常被應用于大型建筑結(jié)構(gòu)（如廣州電視塔）．單葉雙曲面的形成過程可通過“雙曲狹縫”演示：如圖2，直桿與固定軸成一定夾角，且均和連桿垂直．當直桿繞固定軸旋轉(zhuǎn)時，其軌跡形成單葉雙曲面．若用過單葉雙曲面固定軸的平面截取該曲面，所得交線為雙曲線的一部分．在某科技館的演示中，立板上的雙曲狹縫即為直桿運動軌跡（雙曲面）被立板面截取的雙曲線的一部分，因此直桿旋轉(zhuǎn)時可始終穿過兩條彎曲的狹縫．若直桿與固定軸所成角的大小為，則該雙曲線的離心率為________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)換模型確定平面，結(jié)合勾股定理得雙曲線軌跡從而得雙曲線離心率.【詳解】模型轉(zhuǎn)換后如圖所示，平面，設，因為平面，所以，所以在中可得：，在中可得：，即，則該雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將空間中的單葉雙曲面模型進行轉(zhuǎn)化后，結(jié)合線面關(guān)系與勾股定理確定所求雙曲線的軌跡方程從而得所求.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）【解析】【分析】（1）通過求導，根據(jù)導數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）可通過分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的最值來求解.【小問1詳解】已知，當時，，對求導，可得.令，即，解得.當時，，所以，則在上單調(diào)遞減.當時，，所以，則在上單調(diào)遞增.綜上所得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問2詳解】當時，，即，移項可得.當時，，此時可以取任意實數(shù).當時，可化為，令，對求導，可得.令，即，因為，，所以，解得.當時，，所以，在上單調(diào)遞減.當時，，所以，在上單調(diào)遞增.則在處取得極小值，也是最小值，.所以，解得.實數(shù)的取值范圍是.16.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，角的角平分線交于點，且．（1）求的長；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用降冪公式求出，再結(jié)合余弦定理求解即可；（2）先求出，，利用等面積法求出，進而求解即可.小問1詳解】由，則，因為，所以，所以，則，又是角的角平分線，則在中，由余弦定理得，即.【小問2詳解】由（1）知，則，由，則，又是角的角平分線，由，則，則，解得，所以.17.如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，（1）證明：平面；（2）求的長；（3）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合題意即可得證；（2）先由余弦定理求出，取的中點，連接，，然后由已知條件結(jié)合勾股定理即可得解；（3）由（2），以為坐標原點，直線，，所在方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，然后由向量法即可得解．【小問1詳解】證明：因為，所以四邊形是菱形，所以，又，且，所以，因為，平面，平面，所以平面；【小問2詳解】在△中，由，，，所以，如圖，取的中點，連接，，因為，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，，平面，且，所以平面，因為平面，所以因為的中點為，所以，在△和△中，可知，在△中，可知，因為，所以，解得：；【小問3詳解】由（2），以為坐標原點，直線，，所在方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.圖1是一種可以作出橢圓的工具．是滑槽（足夠長）的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，且，．當栓子在滑槽內(nèi)做往復運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線為橢圓．當時，記畫出的曲線為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．（1）求曲線的方程；（2）過坐標原點的任一直線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，過點的任一直線與交于，兩點．（i）求證：；（ii）求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）當時，設點，由題意可得，且，根據(jù)坐標關(guān)系可得且，再根據(jù)動點位置關(guān)系即可得所求；（2）（i）同理確定曲線的方程，不妨設與同向，，分別確定直線斜率不存在與存在時的坐標關(guān)系，根據(jù)弦長關(guān)系即可證所求；（ii）分析可得四邊形面積是面積的6倍，分別求解直線的斜率不存在與存在時，結(jié)合函數(shù)思想求得取值范圍即可.【小問1詳解】當時，設點，依題意，得，且，所以，且，即且，由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，所以，代入得，所以的方程為；【小問2詳解】（i）同理可得曲線的方程為，不妨設與同向，，當直線斜率不存時，；當直線斜率存在時，設直線方程為，由，得所以，同理可得，因此，對于任意直線均滿足，所以；（ii）由（i）可知，四邊形面積是面積的6倍，當直線的斜率不存在時，設直線的方程，所以，當直線的斜率存在時，設直線的方程，由，得，由得’所以，直線與有公共點，因此由，得，由得，所以，令，則，四邊形面積的取值范圍是.19.用符號表示集合中元素的個數(shù)．對于實數(shù)集合和，且，，定義兩個集合：①和集；②鄰差集，其中集合中元素按照從小到大排列．（1）已知集合，，求，的值；（2）已知集合，，求的值；（3）若與都是由個實數(shù)構(gòu)成的集合，證明：的充要條件是．【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)和集和鄰差集定義直接求解即可；（2）考慮，分別討論和的情況，由集合中元素的性質(zhì)與和集的定義可得結(jié)果；（3）根據(jù)與和集的定義易證得充分性；設集合，，其中，，可確定中所有的元素，可證得；推廣可得，由此可得必要性.【小問1詳解】，，，，，，