高三模擬試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1、復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.2、已知集合，，則（

）.A． B．C． D．【答案】C【詳解】集合，,所以，故選：C3、定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，則，.因?yàn)?，所以，即在上恒成?所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.且，所以不等式的解為：.又，所以.故選：B4、如圖，圓柱的軸與一平面所成角為，該平面截圓柱側(cè)面所得的圖形為橢圓，此橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為R，則短軸長(zhǎng)，所以，圓柱的軸與一平面所成角為，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，離心率為，故選：D5、已知、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得出函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，解得，A選項(xiàng)合乎題意.故選：A.6、下列結(jié)論不正確的是（

）A．（為正整數(shù)且）B．滿足方程的值可能為或C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲與丙不相鄰，則共有36種排法D．把6個(gè)相同的小球分到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少分得一個(gè)小球的分法共有10種【答案】C【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由，可得或，解得或，故B正確；對(duì)于C，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的3人全排，然后將甲與丙插入3人所形成的4個(gè)空中的2個(gè)空，所以，共有排法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由隔板法可得有種不同的方法，故D正確.故選：C.7、已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C8.已知數(shù)列和，其中，，的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對(duì)于任意，的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，則（）A.1B.2C.4D.16【答案】B【詳解】由，若對(duì)于任意的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，則，則所以，所以.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.信陽(yáng)是中國(guó)十佳宜居城市之一，氣候宜人，環(huán)境優(yōu)美.如圖是信陽(yáng)市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該函數(shù)的最小正周期是B．該函數(shù)的解析式是，C．該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是D．該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，該函數(shù)的最小正周期為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可得，解得，，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.，，則，，所以，函數(shù)解析式為，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，令，，可得，，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，令，，可得，，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10.設(shè)隨機(jī)變量，且，則（

）A． B．C．的方差為 D．若增大，則增大【答案】BC【詳解】由結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可得，則，故?A錯(cuò)誤；，故B正確；由題意可知，，則，故C正確；越大，數(shù)據(jù)越分散，越小，故D錯(cuò)誤.故選：BC．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（0，1）B．當(dāng)且時(shí)，C．，D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，由，可得或，由，可得，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，若有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)?，所以，由A函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由求導(dǎo)得，，依題意，，可得①由，可得，由于，化簡(jiǎn)得②將①代入②式，可化簡(jiǎn)得：，即，因，故得，即D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，都是平面向量，，若，，，則取得最大值時(shí)，.【答案】1【詳解】，設(shè)，.已知，，可得：，，所以，，則.已知，則：.即，化簡(jiǎn)可得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，，此時(shí)取得最大值.當(dāng)或時(shí)，.根據(jù)向量模長(zhǎng)公式可得.13.設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為.【答案】【詳解】點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有14.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論，下列說(shuō)法正確的是.①函數(shù)有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；②函數(shù)至多有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；③若函數(shù)沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則方程無(wú)實(shí)根；④設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍是．【答案】②③④【詳解】對(duì)于①，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，即函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故①不正確；對(duì)于②，因?yàn)槎魏瘮?shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至多有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③，由題意可得方程無(wú)實(shí)根，即無(wú)實(shí)根，則，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，則恒成立，即，恒有，由，則，即，所以方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，則恒成立，即，恒有，由，則，即，所以方程無(wú)實(shí)根；綜上所述，方程無(wú)實(shí)根，故③正確；對(duì)于④，由點(diǎn)在曲線上，則，又，即有，易知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，顯然與矛盾，因此，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，對(duì)，，可得，令，，由，而兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到，即當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，則，故④正確.故答案為：②③④.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.伊麗莎白圈是小動(dòng)物戴在頸上防止它們抓撓傷口和患處或咬傷他人的一種保護(hù)器具，其可看作圓臺(tái)的側(cè)面圍成的物體.某個(gè)伊麗莎白圈的母線長(zhǎng)為3分米，所缺失的上、下底面的半徑分別為2分米、4分米，（結(jié)果均用含的最簡(jiǎn)式表示）(1)若要在該伊麗莎白圈與寵物接觸的內(nèi)側(cè)表而全部涂層（不含外側(cè)表面），每平方分米需要消耗5克涂層材料，不考慮伊麗莎白圈的厚度與連接處的誤差，則該伊麗莎白圈需要消耗多少克涂層材料？(2)若將該伊麗莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圓臺(tái)，求所形成的圓臺(tái)的體積.【答案】(1)克(2)（立方分米）【詳解】（1）由題意得，該伊麗莎白圈需要涂層的面積等價(jià)于圓臺(tái)的側(cè)面積，圓臺(tái)的側(cè)面積（平方分米），因?yàn)槊科椒椒置仔枰?克涂層材料，所以，即該伊麗莎白圈需要消耗克涂層材料；（2）該伊麗莎白圈的高為（分米），則，所以所形成的圓臺(tái)的體積為（立方分米）.16.若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，，求B；(2)若，求的面積【答案】(1)或．(2)2【詳解】（1）由正弦定理可知，解得．又因?yàn)?，所以或．代入均可滿足，所以或．（2）由，，均大于0，所以A，B均為銳角，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，故，又，所以只能是，即，此時(shí)，即為等腰直角三角形，所以．面積．17.近年來(lái)國(guó)產(chǎn)芯片技術(shù)日趨成熟，其中有一項(xiàng)工藝稱為“二次曝光技術(shù)”，即在同一塊晶片上先進(jìn)行一次曝光，清洗，然后再進(jìn)行一次曝光.只有兩次曝光都成功，該晶片方可成功制作成1塊芯片.假設(shè)第一次曝光的成功率為，第二次曝光的成功率為，每次曝光過(guò)程相互獨(dú)立.現(xiàn)要制作1塊芯片，依次對(duì)塊晶片進(jìn)行曝光，操作要求如下：①若對(duì)第塊晶片進(jìn)行第一次曝光失敗，則不繼續(xù)對(duì)該晶片進(jìn)行第二次曝光，并認(rèn)為對(duì)該晶片的制作失敗，接著對(duì)第塊晶片進(jìn)行曝光；②若對(duì)第塊晶片進(jìn)行第一次曝光成功，則繼續(xù)對(duì)該晶片進(jìn)行第二次曝光，若第二次曝光失敗，則也認(rèn)為對(duì)該晶片的制作失敗，接著對(duì)第塊晶片進(jìn)行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1塊芯片，則不再對(duì)后續(xù)的晶片進(jìn)行曝光；③若對(duì)這塊晶片都曝光完畢，無(wú)論是否成功制作出1塊芯片，則停止制作.(1)當(dāng)時(shí)，求成功制作出至少1塊芯片的概率；(2)用這塊晶片制作1塊芯片，記隨機(jī)變量為曝光的晶片個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若一塊晶片第一次曝光失敗，則記該芯片曝光1次；若一塊晶片第一次曝光成功，無(wú)論第二次曝光成功還是失敗，都記該芯片共曝光2次.在曝光完這塊晶片，并成功制作出1塊芯片的條件下，記隨機(jī)變量為這塊晶片曝光的總次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【詳解】（1）解：由題意得，用1塊晶片制作，成功的概率為，失敗的概率為，當(dāng)時(shí)，要成功制作出至少1塊芯片，概率為.（2）解：由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，當(dāng)時(shí)，可得其概率為，當(dāng)時(shí)，可得其概率為，所以的分布列為123可得期望為令，則，兩式相減，可得，所以.（3）解：法一：記事件“曝光完這塊晶片，并成功制作出1塊芯片”，記事件“曝光的總次數(shù)為次”，可得，對(duì)于前塊晶片，每塊晶片都至少曝光1次，第塊晶片曝光2次，另外，對(duì)于前塊晶片，有幾塊晶片進(jìn)行了第二次曝光，則總曝光次數(shù)就多幾次，并且第1到塊晶片，無(wú)論曝光幾次，每次曝光都是失敗的，而第塊晶片的2次曝光都成功.若前塊晶片中，則有塊晶片進(jìn)行了第二次曝光，所以，所以的可能取值為，則，.所以的分布列為所以其中，所以法二：考慮前塊晶片中任意某塊的曝光情況，由題意，這塊晶片無(wú)論曝光幾次，都是失敗的，記這塊晶片的曝光次數(shù)為隨機(jī)變量，記事件“這塊晶片曝光失敗”，事件“這塊晶片的曝光次數(shù)為次”.由第（1）小問(wèn)可知.所以，故這塊晶片曝光次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以前塊晶片曝光的總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以.18.材料一：二次方程（不同時(shí)為）可以表示圓，橢圓，雙曲線，拋物線等二次曲線，其中橢圓，雙曲線，拋物線的曲線方程可以通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換，平移變換得到相應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．材料二：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角后，可得點(diǎn)．根據(jù)上述材料回答以下問(wèn)題：(1)求曲線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后的曲線方程；(2)探索角滿足什么條件時(shí)，方程（）對(duì)應(yīng)的曲線經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后所得曲線方程中的系數(shù)為；(3)曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與曲線在點(diǎn)處切線垂直的直線分別交直線，直線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線，判斷曲線是什么曲線并給出相應(yīng)說(shuō)明.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)曲線的軌跡為去除頂點(diǎn)的雙曲線，理由見解析.【詳解】（1）設(shè)繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn)，根據(jù)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式：，即當(dāng)時(shí)，代入方程，則旋轉(zhuǎn)后的曲線方程：，即（2）將代入方程：將上述方程記為：則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，滿足.（3）在方程中，根據(jù)上一問(wèn)探究：當(dāng)時(shí)，不妨?。藭r(shí)將曲線按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)方程按照變換后得曲線即．與此同時(shí)，直線，直線分別旋轉(zhuǎn)至軸，軸的位置，根據(jù)題意：任取曲線上一點(diǎn)，其中，設(shè)曲線在處的切線方程為且，聯(lián)立方程，當(dāng)時(shí)，，則過(guò)且垂直于切線的直線方程為，令，令，則該直線與軸，軸交點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則，即，代入，，得，則當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為：所以曲線的軌跡為去除頂點(diǎn)的雙曲線.19.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，集合為正整數(shù)，其中稱為的自和函數(shù)，稱為的固著點(diǎn).已知.（1）若，，求的值及的固著點(diǎn)；（2）若，是的自和函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求的最大值；（3）若，，且是的固著點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.【答案】（1），固著點(diǎn)（2）（3），證明見解析【小問(wèn)1詳解】由題得，所以，因?yàn)椋?，解得，所以，固著點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由題得，則，所以，因?yàn)槭巧系膰?yán)格增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，由，得到，所以，所以，因此的最大值是.【小問(wèn)3詳解】（方法一）由題得，，所以，因?yàn)?，且是的固著點(diǎn)，所以（*）在上有唯一的解，記，則，所以在是嚴(yán)格減函數(shù)，從而，又當(dāng)時(shí)，，故的值域是，所以，即，記，則由上述可知是的嚴(yán)格減函數(shù)且，，因?yàn)?，所以，所以①又，記，則，因?yàn)?，所以?/p>