大學競賽極限題目及答案1.極限題目一：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)答案：這是一個著名的極限，可以通過夾逼定理或者洛必達法則來求解。根據(jù)夾逼定理，我們知道\(-1\leq\sinx\leq1\)對于所有的\(x\)都成立，因此\(-\frac{1}{x}\leq\frac{\sinx}{x}\leq\frac{1}{x}\)。當\(x\)趨近于0時，\(-\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{x}\)都趨近于0，所以根據(jù)夾逼定理，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。2.極限題目二：求極限\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)答案：這個極限是自然對數(shù)的底\(e\)的定義。根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，我們知道\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)。3.極限題目三：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cosx}{x^2}\)答案：這個極限可以通過洛必達法則來求解。首先，我們注意到當\(x\)趨近于0時，分子和分母都趨近于0，因此我們可以應用洛必達法則。對分子和分母分別求導，得到：\[\lim_{x\to0}\frac{e^x+\sinx}{2x}\]再次應用洛必達法則，我們得到：\[\lim_{x\to0}\frac{e^x+\cosx}{2}=\frac{1+1}{2}=1\]4.極限題目四：求極限\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}\)答案：這個極限可以通過因式分解來求解。首先，我們對分子進行因式分解：\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\]因此，極限變?yōu)椋篭[\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x-2)=-1\]5.極限題目五：求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}\)答案：這個極限可以通過洛必達法則來求解。對分子和分母分別求導，得到：\[\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\]6.極限題目六：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)答案：這個極限可以通過泰勒級數(shù)展開來求解。我們知道\(\tanx\)和\(\sinx\)在\(x=0\)附近的泰勒級數(shù)展開分別為：\[\tanx=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)\]\[\sinx=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\]因此，極限變?yōu)椋篭[\lim_{x\to0}\frac{(x+\frac{x^3}{3}+O(x^5))-(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5))}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{2}+O(x^5)}{x^3}=\frac{1}{2}\]7.極限題目七：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)答案：這個極限可以通過泰勒級數(shù)展開來求解。我們知道\(e^x\)在\(x=0\)附近的泰勒級數(shù)展開為：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)\]因此，極限變?yōu)椋篭[\lim_{x\to0}\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3))-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+O(x^3)}{x^2}=\frac{1}{2}\]8.極限題目八：求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+x-3}\)答案：這個極限可以通過將分子和分母同時除以\(x^2\)來求解：\[\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{