線性代數(shù)A期末考試試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)\(A\)是\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)等于（）A.4B.8C.16D.323.若矩陣\(A\)的秩\(r(A)=2\)，則\(A\)中（）A.所有2階子式不為0B.所有2階子式為0C.至少有一個(gè)2階子式不為0D.至少有一個(gè)3階子式不為04.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.05.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(A\)的伴隨矩陣為\(A^\)，則\(\vertA^\vert\)等于（）A.\(\vertA\vert\)B.\(\vertA\vert^{n-1}\)C.\(\vertA\vert^{n}\)D.\(\vertA\vert^{-1}\)6.若\(A\)、\(B\)均為\(n\)階方陣，則\((A+B)^2\)等于（）A.\(A^2+2AB+B^2\)B.\(A^2+B^2\)C.\(A^2+AB+BA+B^2\)D.以上都不對(duì)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為（）A.0或1B.1C.-1或1D.08.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m×n\)矩陣）有非零解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltn\)D.\(r(A)\ltm\)9.設(shè)\(A\)、\(B\)為同階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)10.若向量\(\alpha=(1,k,2)\)與向量\(\beta=(2,-1,1)\)正交，則\(k\)的值為（）A.4B.2C.0D.-4多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.\((AB)C=A(BC)\)B.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)C.\(A+B=B+A\)D.\((A+B)C=AC+BC\)2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的是（）A.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆B.若\(A\)可逆，則\(A\)滿秩C.若\(A\)可逆，則\(A\)可經(jīng)過初等行變換化為單位矩陣D.若\(A\)可逆，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示C.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\lts\)D.向量組中任意一個(gè)向量都可由其余向量線性表示4.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，下列說法正確的是（）A.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量C.存在正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對(duì)角矩陣D.\(A\)的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交5.下列哪些是矩陣的初等行變換（）A.交換兩行B.某一行乘以非零常數(shù)C.某一行加上另一行的\(k\)倍D.交換兩列6.對(duì)于\(n\)元非齊次線性方程組\(Ax=b\)，以下說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)=n\)，則方程組有唯一解B.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無窮多解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解D.若\(r(A)=n\)，則方程組有解7.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式C.\(r(A)=r(B)\)D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)8.下列關(guān)于行列式性質(zhì)正確的有（）A.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等B.交換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)C.行列式某一行（列）的所有元素乘以同一個(gè)數(shù)\(k\)，等于用數(shù)\(k\)乘此行列式D.若行列式某一行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和9.已知矩陣\(A\)滿足\(A^2-3A+2E=0\)，則\(A\)的特征值可能為（）A.1B.2C.3D.010.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系，則下列向量組也可作為\(Ax=0\)基礎(chǔ)解系的有（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2\)B.\(\alpha_1,2\alpha_2\)C.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2\)D.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2\)判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)、\(B\)為同階方陣，則\((AB)^T=A^TB^T\)。（）2.若矩陣\(A\)的秩\(r(A)=r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為零。（）3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，則其任意部分組也線性無關(guān)。（）4.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則\(A\xi=\lambda\xi\)。（）5.齊次線性方程組一定有解。（）6.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）7.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）8.若\(A\)為實(shí)對(duì)稱矩陣，則\(A\)的屬于不同特征值的特征向量正交。（）9.一個(gè)\(n\)階行列式的值等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。（）10.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩為\(r\)，則該向量組中任意\(r\)個(gè)向量都線性無關(guān)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的定義及判定方法。答案：若存在矩陣\(B\)，使\(AB=BA=E\)，則\(A\)可逆。判定方法：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可經(jīng)初等行變換化為單位矩陣等。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？答案：向量組中一個(gè)部分組，滿足線性無關(guān)，且向量組中任一向量都可由該部分組線性表示，此部分組就是極大線性無關(guān)組。3.簡(jiǎn)述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答案：先求特征多項(xiàng)式\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)的根，即特征值\(\lambda\)；再對(duì)每個(gè)\(\lambda\)，解齊次線性方程組\((\lambdaE-A)x=0\)，其非零解就是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量。4.說明非齊次線性方程組有解的判定條件。答案：非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是系數(shù)矩陣\(A\)的秩等于增廣矩陣\((A|b)\)的秩，即\(r(A)=r(A|b)\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似對(duì)角化的條件及意義。答案：條件：\(n\)階矩陣\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量。意義：相似對(duì)角化可簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算，比如求矩陣的高次冪等，方便分析矩陣的性質(zhì)，在實(shí)際問題如線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析等方面有重要應(yīng)用。2.探討向量組線性相關(guān)性在線性代數(shù)中的重要性。答案：線性相關(guān)性是核心概念。它與方程組解的結(jié)構(gòu)、矩陣的秩緊密相連。判斷向量組線性相關(guān)性可確定方程組是否有非零解、矩陣是否滿秩等，為理解線性空間和線性變換奠定基礎(chǔ)。3.闡述行列式在幾何中的應(yīng)用。答案：在二維中，二階行列式的值表示平行四邊形的面積；三維中，三階行列式的值表示平行六面體的體積。行列式還可用于判斷幾何元素的位置關(guān)系，如三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等。4.分析實(shí)對(duì)稱矩陣的特殊性質(zhì)及其應(yīng)用。答案：特殊性質(zhì)：特征值為實(shí)數(shù)，不同特征值的特征向量正交，可正交相似對(duì)角化。應(yīng)用：在二次型化簡(jiǎn)中可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，在物理中用于分析剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等問題。答案單項(xiàng)選擇題1