第65課時專題強(qiáng)化：帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動目標(biāo)要求1.會處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的螺旋線運(yùn)動和在疊加場中的旋進(jìn)運(yùn)動。2.掌握解決帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動問題的解題思路和處理方法。考點一帶電粒子的旋進(jìn)運(yùn)動空間中勻強(qiáng)磁場的分布是三維的，帶電粒子在磁場中的運(yùn)動情況可以是三維的?，F(xiàn)在主要討論兩種情況：(1)空間中只存在勻強(qiáng)磁場，當(dāng)帶電粒子的速度方向與磁場的方向不平行也不垂直時，帶電粒子在磁場中就做螺旋線運(yùn)動。這種運(yùn)動可分解為平行于磁場方向的勻速直線運(yùn)動和垂直于磁場平面的勻速圓周運(yùn)動。(2)空間中的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場(或重力場)平行時，帶電粒子在一定的條件下就可以做“旋進(jìn)”運(yùn)動，這種運(yùn)動可分解為平行于磁場方向的勻變速直線運(yùn)動和垂直于磁場平面的勻速圓周運(yùn)動。例1(1)如圖甲所示，在空間中存在水平向右、沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在原點O有一個質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電的粒子以速度v0垂直x軸射入磁場，不計粒子的重力，分析粒子的運(yùn)動情況，求粒子運(yùn)動軌跡距離x軸的最遠(yuǎn)距離。(2)如圖乙所示，若粒子的速度方向與x軸夾角為θ。①試分析粒子的運(yùn)動情況；②求粒子運(yùn)動的軌跡距x軸的最遠(yuǎn)距離及軌跡與x軸相鄰交點之間的距離。(3)如圖丙所示，若在空間再加上沿x軸方向電場強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場，粒子速度方向仍與x軸方向成θ角。①試分析粒子的運(yùn)動情況；②求粒子離x軸的最大距離；③求粒子第三次(起始位置為第零次)與x軸相交時的位置坐標(biāo)。答案見解析解析(1)粒子在垂直x軸的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，距x軸最遠(yuǎn)距離等于粒子軌跡圓的直徑，由qv0B＝mv02R1，D1＝2R1，得D(2)①粒子速度沿x軸方向的分量v0x＝v0cosθ，在垂直于x軸方向的分量v0y＝v0sinθ，在垂直于x軸的平面內(nèi)受洛倫茲力，粒子在垂直于x軸的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，在平行于x軸方向做勻速直線運(yùn)動，即做等距螺旋線運(yùn)動。②由qv0yB＝mv0y2R2，得D2＝2粒子做勻速圓周運(yùn)動的周期T＝2π軌跡與x軸相鄰交點之間的距離Δx＝v0cosθ·T＝2πm(3)①將粒子的初速度分解為沿x軸方向的分速度v0x和垂直x軸方向的分速度v0y，v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ洛倫茲力方向與x軸垂直，粒子在垂直x軸的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，在平行x軸方向由靜電力作用下做勻加速直線運(yùn)動，粒子做螺距逐漸增大的“旋進(jìn)”運(yùn)動。②由qv0yB＝mv0R3＝R2＝mv粒子離x軸的最大距離D3＝2R3＝2m③在x軸方向，qE＝ma，第三次與x軸相交時的位置坐標(biāo)x＝v0xt＋12at2從射出至第三次到x軸時間t＝3T＝6πR故x＝6πmqB(v0cosθ＋3π拓展若電、磁場方向均沿x軸正方向，粒子射入磁場的方向與x軸垂直，如圖所示，粒子與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2、x3…滿足什么關(guān)系？答案見解析解析粒子做“旋進(jìn)”運(yùn)動，且到達(dá)x軸的時間間隔相等，在x軸方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動，故x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…。考點二帶電粒子在立體空間中的偏轉(zhuǎn)分析帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動時，要發(fā)揮空間想象力，確定粒子在空間的位置關(guān)系。帶電粒子依次通過不同的空間，運(yùn)動過程分為不同的階段，只要分析出每個階段上的運(yùn)動規(guī)律，再利用兩個空間交界處粒子的運(yùn)動狀態(tài)和關(guān)聯(lián)條件即可解決問題。一般情況下利用降維法，要將粒子的運(yùn)動分解為兩個互相垂直的分運(yùn)動來求解。例2現(xiàn)代科學(xué)研究中，經(jīng)常用磁場和電場約束帶電粒子的運(yùn)動軌跡，如圖所示，有一棱長為L的正方體電磁區(qū)域abcd－efgh，其中M、N分別為棱ab、棱gh的中點，以棱ef中點O為坐標(biāo)原點、以O(shè)N為x軸正方向、OM為y軸正方向、Oe為z軸正方向建立三維坐標(biāo)系O－xyz，正方體區(qū)域內(nèi)可能單獨或同時存在沿z軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場E及勻強(qiáng)磁場B，在O點有一粒子源，沿x軸正方向發(fā)射不同速率的帶電粒子，粒子質(zhì)量均為m，電荷量均為＋q，且粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范圍內(nèi)均勻分布，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝3mv02qL，電場強(qiáng)度大小為E＝81mv02(1)若正方體區(qū)域內(nèi)只存在磁場，求入射速度大小為v0的粒子在該區(qū)域中運(yùn)動的時間；(2)若正方體區(qū)域內(nèi)同時存在電場和磁場，求入射速度大小為v0的粒子從該區(qū)域射出的位置的坐標(biāo)；(3)若正方體區(qū)域內(nèi)同時存在電場和磁場，求從正方體上表面abcd射出的粒子數(shù)占粒子總數(shù)的百分比。答案(1)4πL9v0(2)(3L3，L，－8解析(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得qv0B＝mv解得r1＝2粒子軌跡如圖甲所示根據(jù)幾何關(guān)系可知cosθ＝L則θ＝60°設(shè)帶電粒子做圓周運(yùn)動的周期為T，則有T＝2π解得T＝4π粒子軌跡對應(yīng)的圓心角為120°，所以運(yùn)動時間t＝13T＝(2)若正方體區(qū)域內(nèi)同時存在電場和磁場，粒子在做圓周運(yùn)動的同時，沿z軸負(fù)方向在靜電力作用下加速運(yùn)動，加速度a＝qE沿著電場方向的位移z＝12at2＝8L故粒子從上表面abcd射出，由圖甲可知x＝r1sinθ＝3則入射速度大小為v0的粒子從正方體電磁區(qū)域射出的位置的坐標(biāo)為(3L3，L，－8(3)由上述分析可知，粒子從正方體上表面abcd射出時，粒子速率越大，粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑越大，圖甲中的p點越靠近d，軌跡圓心角越小，粒子在電磁區(qū)域中的運(yùn)動時間越短，粒子沿z軸負(fù)方向的位移越小。當(dāng)粒子速率最大為vmax時從cd邊射出，對應(yīng)的圓周運(yùn)動軌跡為14圓周，其半徑等于LqvmaxB＝mv解得vmax＝1.5v0假設(shè)粒子沿z軸負(fù)方向的分運(yùn)動勻加速運(yùn)動到f點時(其位移大小等于L2)，粒子能夠從bc邊射出，設(shè)粒子在電場中運(yùn)動時間為t2則有L2＝解得t2＝5π設(shè)此情況粒子勻速圓周運(yùn)動軌跡的圓心角為β，則有t2＝β360°聯(lián)立解得β＝150°此情況粒子的運(yùn)動軌跡在正方體前表面adhe內(nèi)的投影如圖乙所示可知假設(shè)成立，此時粒子的速率是從正方體上表面abcd射出的粒子速率的最小值vmin，設(shè)此時圓周運(yùn)動半徑為r2，由幾何關(guān)系可得r2＋r2cos30°＝L解得r2＝2L2＋3＝2(2同理有qvminB＝mv解得vmin＝3(2－3)v0從正方體上表面abcd射出的粒子速率范圍應(yīng)為3(2－3)v0≤v≤32v粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范圍內(nèi)均勻分布，則從正方體上表面abcd射出的粒子速率范圍為0.9v0≤v≤32v所以從正方體上表面abcd射出的粒子數(shù)占粒子總數(shù)的百分比η＝1.5v0-0.9課時精練(分值：60分)1、2題每小題7分，3、4題每小題15分，5題16分，共60分1.(2024·山東棗莊市檢測)用圖甲所示的洛倫茲力演示儀演示帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動時發(fā)現(xiàn)，有時玻璃泡中的電子束在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡呈“螺旋”狀?，F(xiàn)將這一現(xiàn)象簡化成如圖乙所示的情景來討論：在空間存在平行于x軸的勻強(qiáng)磁場，由坐標(biāo)原點在xOy平面內(nèi)以初速度v0沿與x軸正方向成α角的方向，射入磁場的電子運(yùn)動軌跡為螺旋線，其軸線平行于x軸，直徑為D，螺距為Δx，則下列說法中正確的是()A.勻強(qiáng)磁場的方向為沿x軸負(fù)方向B.若僅增大勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，則直徑D減小，而螺距Δx不變C.若僅增大電子入射的初速度v0，則直徑D增大，而螺距Δx將減小D.若僅增大α角(α<90°)，則直徑D增大，而螺距Δx將減小，且當(dāng)α＝90°時“軌跡”為閉合的整圓答案D解析將電子的初速度沿x軸及y軸方向分解，沿x軸方向，速度與磁場方向平行，做勻速直線運(yùn)動且x＝v0cosα·t，沿y軸方向，速度與磁場方向垂直，洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動，由左手定則可知，磁場方向沿x軸正方向，故A錯誤；根據(jù)evyB＝mvy2R，T＝2πRvy，且vy＝v0sinα，解得D＝2R＝2mv0sinαeB，T＝2πmeB，所以Δx＝vxT＝2πmv0cosαeB，所以，若僅增大磁感應(yīng)強(qiáng)度B，則D、Δx均減小，故B錯誤；若僅增大v0，則D、Δx皆按比例增大，故2.如圖所示，空間存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。t＝0時刻，質(zhì)子以初速度v0從坐標(biāo)原點O沿y軸正方向射出，已知質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為e，重力不計，則()A.t＝πmeB時刻，質(zhì)子的速度沿B.t＝πmeB時刻，質(zhì)子的坐標(biāo)為(mEπ22C.質(zhì)子可多次經(jīng)過x軸，且依次經(jīng)過x軸的坐標(biāo)值之比為1∶4∶9…D.質(zhì)子運(yùn)動軌跡在yOz平面內(nèi)的投影是以O(shè)點為圓心的圓答案C解析沿x軸方向，在靜電力作用下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)左手定則，洛倫茲力初始時刻沿z軸負(fù)方向，可判斷質(zhì)子在yOz平面做勻速圓周運(yùn)動，所以質(zhì)子運(yùn)動軌跡在yOz平面內(nèi)的投影是經(jīng)過O點的圓，且做圓周運(yùn)動的周期T＝2πmeB，當(dāng)t＝πmeB＝12T時刻，在yOz平面質(zhì)子分速度方向沿y軸負(fù)方向，沿x軸方向分速度沿x軸正方向，所以質(zhì)子的合速度方向不沿z軸的負(fù)方向，故A、D錯誤；當(dāng)t＝πmeB＝12T時刻，沿x軸方向Ee＝ma，x＝12at2＝12·Eem·(πmeB)2＝π2mE2eB2，在yOz平面內(nèi)，正好經(jīng)過半個周期，則y＝0，z＝－2r＝－2mv0eB3.(15分)(2024·山東威海市檢測)某質(zhì)譜儀部分結(jié)構(gòu)的原理圖如圖甲所示。在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的y>0區(qū)域有沿－z方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E，在y<0區(qū)域有沿－z方向的勻強(qiáng)磁場，在x＝－2d處有一足夠大的屏，俯視圖如圖乙。質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從y軸上P(0，－d，0)點以初速度v0沿＋y方向射出，粒子第一次經(jīng)過x軸時速度方向與－x方向的夾角θ＝60°。不計粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收。求：(1)(3分)粒子的電性；(2)(5分)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；(3)(7分)粒子打到屏上位置的z軸坐標(biāo)z1。答案(1)正電(2)mv02dq(解析(1)粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖由左手定則知粒子帶正電；(2)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動的半徑為r，由幾何關(guān)系有rcosθ＝d，根據(jù)洛倫茲力提供向心力qv0B＝mv02r，解得(3)設(shè)粒子經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)為－x1，則x1＋rsinθ＝2d粒子在y>0區(qū)域電場中做類平拋運(yùn)動，在xOy平面內(nèi)沿v0方向做勻速直線運(yùn)動，設(shè)粒子碰到屏前做類平拋運(yùn)動的時間為t1，則v0cosθ·t1＝2d－x1，粒子運(yùn)動的加速度a＝Eq在z軸負(fù)方向運(yùn)動的距離z1'＝12a解得t1＝23dv0，z所以打到屏上位置的z軸坐標(biāo)z1＝－6Eq4.(15分)(2024·湖南卷·14)如圖，有一內(nèi)半徑為2r、長為L的圓筒，左右端面圓心O'、O處各開有一小孔。以O(shè)為坐標(biāo)原點，取O'O方向為x軸正方向建立xyz坐標(biāo)系。在筒內(nèi)x≤0區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向沿x軸正方向；筒外x≥0區(qū)域有一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，方向沿y軸正方向。一電子槍在O'處向圓筒內(nèi)多個方向發(fā)射電子，電子初速度方向均在xOy平面內(nèi)，且在x軸正方向的分速度大小均為v0。已知電子的質(zhì)量為m、電量為e，設(shè)電子始終未與筒壁碰撞，不計電子之間的相互作用及電子的重力。(1)(7分)若所有電子均能經(jīng)過O進(jìn)入電場，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值；(2)(4分)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，若進(jìn)入磁場中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為θ，求tanθ的絕對值；(3)(4分)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，求電子在電場中運(yùn)動時y軸正方向的最大位移。答案(1)2πmv0eL(2)2πr解析(1)電子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時，將其分解為沿x軸的勻速直線運(yùn)動和在yOz平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動，設(shè)電子入射時沿y軸的分速度大小為vy，由電子在x軸方向做勻速直線運(yùn)動得L＝v0t在yOz平面內(nèi)，設(shè)電子做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R，周期為T，由牛頓第二定律知Bevy＝mv可得R＝mT＝2π若所有電子均能經(jīng)過O進(jìn)入電場，則有t＝nT(n＝1，2，3，…)聯(lián)立得B＝2π當(dāng)n＝1時，B有最小值，可得Bmin＝2π(2)將電子的速度分解，有tanθ＝vθ最大時，tanθ有最大值，即vy最大，此時Rmax＝mvym聯(lián)立可得vym＝2πv0rL，tan(3)當(dāng)vy最大時，電子在電場中運(yùn)動時沿y軸正方向有最大位移ym，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動規(guī)律有ym＝v由牛頓第二定律知a＝Ee聯(lián)立得ym＝25.(16分)如圖，有一個正方體空間Ⅰ(O1a1b1c1－O3a3b3c3)和一個長方體空間Ⅱ(O1a1b1c1－O2a2b2c2)相拼接。以O(shè)1為坐標(biāo)原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O1－xyz?？臻gⅠ內(nèi)存在沿z軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(圖中未畫出)，空間Ⅱ內(nèi)存在沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出)。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從O3c3邊的中點P以初速度v0沿x軸正方向射入空間Ⅰ，恰好經(jīng)過正方形O1a1b1c1的中心點Q，并最終從空間Ⅱ的豎直棱a1a2飛出長方體區(qū)域?？臻gⅠ棱長為4L，不計粒子重力。求：(1)(4分)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小；(2)(5分)粒子經(jīng)過Q點時的速度大小；(3)(7分)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及長方體空間Ⅱ豎直棱的最小高度。答案(1)2mv02qL(2)17v0解析(1)帶電粒子在空間Ⅰ中做類平拋運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示，根據(jù)類平拋運(yùn)動規(guī)律可得2L＝v0t