試題試題2025年中考第一次模擬考試（長沙卷）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．π2 B．0 C．2272．對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運用于建筑、器物、繪畫、標志等作品的設計上，使對稱之美驚艷了千年的時光．下列常見的運動圖標是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．湖南自古就有“湖廣熟、天下足”的美譽，2024年全省糧食播種面積穩(wěn)定在71000000畝以上，實現(xiàn)播種面積、單產(chǎn)、總產(chǎn)“三增”。該數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法可以表示為（）A．710×103 B．71×1064．下列運算結果正確的是（

）A．4xy?3xy=1 B．?C．(?5)2=?5 5．為了解學生的視力情況，從甲、乙兩班各隨機抽取8名學生進行調查，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，圖中視力值均在格線上，則下列說法錯誤的是（

）A．乙班視力值的眾數(shù)是4.7B．甲、乙兩班視力值的平均數(shù)相等C．甲、乙兩班視力值的中位數(shù)相等D．視力值的波動程度甲班大于乙班6．如圖，將一塊有30°角的直角三角板的直角頂點C放在一張寬為2cm的長方形紙帶邊上．另一個頂點A在紙帶的另一邊上，測得三角板的較短直角邊AC與紙帶邊所在的直線成45°角，則該三角板斜邊AB的長為（

）A．4cm B．42cm C．47．在平面直角坐標系中，已知點Mm,3m?8，若點M在兩坐標軸的角平分線上，則m的值為（

A．±2 B．±4 C．?2或?4 D．2或48．“雙碳”背景下，我國新能源汽車保有量已處于世界第一，隨著消費人群不斷增多，某款新能源汽車銷售量持續(xù)增長，如果第三個月銷售量的增長率是第二個月的2倍，第三個月的銷售量是第一個月的3倍，設第一月月銷售量為a輛，第二個月銷售量的增長率為x，則可列出方程是（

）A．a(chǎn)(1+x)2=3aC．a(chǎn)1+2x1+3x=3a9．對于某個一次函數(shù)，兩位同學探究了它的圖象和性質．上圖為兩位同學的對話，如果兩位同學的判斷都是正確的，設這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+bk≠0，則下列結論中錯誤的是（

A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=?10．如圖，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的頂點G在菱形ABCD的BC邊上運動，GF與AB相交于點H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，則菱形ABCD的邊長為（）A．183 B．163 C．18第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．因式分解4x212．已知一元二次方程x2?5x+a=0的一個根是3，則13．在平面直角坐標系中，雙曲線y=kx同時經(jīng)過點Aa,2，B4,a+1，則14．如圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設計了如圖2的機械設備，磨盤半徑OQ=25cm，用長為125cm的連桿將點Q與動力裝置P相連（∠OQP大小可變），點P在軌道AB上滑動，并帶動磨盤繞點O轉動，OA⊥AB，OA=80cm．若磨盤轉動過程中，則點P到A15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)；②分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG交BC邊于點D．若CD=5，AB=12，則△ABD16．如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如3=22?12，7=三、解答題(本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟)17．（6分）計算：?118．（6分）先化簡，再求值：x2?4x+4x+1÷319．（6分）我國生產(chǎn)的無人機暢銷世界，樹立了良好的品牌形象，在一座高架橋的修建過程中，需要測量一條河的寬度MN，工作人員使用無人飛機通過設備在P處測得M，N兩處的俯角分別為α=60°和β=37°，測得無人機離水平地面的高度PQ為240米，若Q，M，N三點在同一條水平直線上，則這條河的寬度MN為多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，3≈1.7320．（8分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，H為EC中點，(1)求證：AH⊥BC；(2)若∠B=36°，求∠BAC的度數(shù)．21．（8分）初三（1）班針對“垃圾分類”知曉情況對全班學生進行專題調查活動，對“垃圾分類”的知曉情況分為A、B、C、D四類．其中，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”，每名學生可根據(jù)自己的情況任選其中一類，班長根據(jù)調查結果進行了統(tǒng)計，并繪制成了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)初三（1）班參加這次調查的學生有人，扇形統(tǒng)計圖中類別C所對應扇形的圓心角度數(shù)為°；(2)求出類別B的學生數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；(3)類別A的4名學生中有2名男生和2名女生，現(xiàn)從這4名學生中隨機選取2名學生參加學?！袄诸悺敝R競賽，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率．22．（9分）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風著陸場，神舟十七號任務取得圓滿成功．某飛箭航模店看準商機，購進了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的進價比“天宮”模型多5元，同樣花費200元，購進“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多2個．(1)“神舟”和“天宮”模型的進價各是多少元？(2)該飛箭航模店計劃購進兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，每個“天宮”模型的售價為28元．設購進“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．若購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的1423．（9分）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點，且AE⊥BF，AE=BF．(1)求證：矩形ABCD是正方形；(2)連接BE、EF，若DF2=AF?AD24．（10分）在△ABC中，BC為⊙O的直徑，AC為過C點的切線．(1)如圖①，以點B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點M，連結CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大?。?2)如圖②，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，求證：AE=EC；(3)如圖③，在（1）（2）的條件下，若tanA=3425．（10分）若一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=kx同時經(jīng)過點P(x,y)則稱二次函數(shù)y=mx(1)判斷y=2x?1與y=3(2)已知：整數(shù)m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數(shù)y=(1+n)x+2m+2與反比例函數(shù)y=2024x存在“共享函數(shù)”y=(m+t)x(3)若一次函數(shù)y=x+m和反比例函數(shù)y=m2+13x在自變量2025年中考第一次模擬考試（長沙卷）數(shù)學·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．π2 B．0 C．227【答案】A【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項【詳解】解：A、π2B、0是有理數(shù)，故選項B不合題意．C、227D、0.1223是有理數(shù)，故選項D不合題意．故選：A．2．“致中和，天地位焉，萬物育焉”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運用于建筑、器物、繪畫、標志等作品的設計上，使對稱之美驚艷了千年的時光．下列常見的運動圖標是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．【詳解】解：選項B、C、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，所以不是軸對稱圖形，選項A能找到這樣的一條直線，使圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，所以是軸對稱圖形，故選：A．3．湖南自古就有“湖廣熟、天下足”的美譽，2024年全省糧食播種面積穩(wěn)定在71000000畝以上，實現(xiàn)播種面積、單產(chǎn)、總產(chǎn)“三增”。該數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（）A．710×103 B．71×106【答案】C【分析】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及【詳解】解：71000000=故選：C．4．下列運算結果正確的是（

）A．4xy?3xy=1 B．?C．(?5)2=?5 【答案】B【分析】本題考查的是合并同類項，積的乘方運算，算術平方根的含義，二次根式的加減運算，根據(jù)以上運算的運算法則逐一計算即可【詳解】解：4xy?3xy=xy，故A不符合題意；?a(?5)23+故選B5．為了解學生的視力情況，從甲、乙兩班各隨機抽取8名學生進行調查，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，圖中視力值均在格線上，則下列說法錯誤的是（

）A．乙班視力值的眾數(shù)是4.7B．甲、乙兩班視力值的平均數(shù)相等C．甲、乙兩班視力值的中位數(shù)相等D．視力值的波動程度甲班大于乙班【答案】D【分析】本題考查折線圖，求平均數(shù)，中位數(shù)，方差和眾數(shù)，從折線圖中獲取信息，求出每組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，方差和乙班的眾數(shù)，再進行判斷即可．【詳解】解：甲班的數(shù)據(jù)為：4.8,4.9,4.6,4.8,4.7,4.5,4.6,4.7，∴平均數(shù)為：18中位數(shù)為：12方差為：1乙班的數(shù)據(jù)為：4.8,4.7,4.7,5.0,4.9,4.4,4.7,4.4，∴眾數(shù)為4.7，平均數(shù)為：18中位數(shù)為：12方差為：18故：乙班視力的眾數(shù)為4.7，甲班視力值的平均數(shù)等于乙班視力值的平均數(shù)，甲班視力值的中位數(shù)等于乙班視力值的中位數(shù)，視力值的波動程度甲班小于乙班；∴D選項描述錯誤；故選：D．6．如圖，將一塊有30°角的直角三角板的直角頂點C放在一張寬為2cm的長方形紙帶邊上．另一個頂點A在紙帶的另一邊上，測得三角板的較短直角邊AC與紙帶邊所在的直線成45°角，則該三角板斜邊AB的長為（

）A．4cm B．42cm C．4【答案】B【分析】本題考查了本題主要考查了直角三角形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理．首先過點A作AD⊥CD，可得△ACD是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出AC=22cm，根據(jù)直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半可以求出【詳解】解：如下圖所示，過點A作AD⊥CD，∵∠ACD=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，根據(jù)矩形的性質可得：AD=CD=2cm∴AC=2在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AB=2AC=2×22故選：B．7．在平面直角坐標系中，已知點Mm,3m?8，若點M在兩坐標軸的角平分線上，則m的值為（

A．±2 B．±4 C．?2或?4 D．2或4【答案】D【分析】本題考查了點的坐標，分點M在第一、三和第二、四象限的角平分線上兩種情況，結合角平分線上點的坐標特征求解即可．【詳解】解：當點Mm,3m?8∴m=3m?8，解得，m=4，當點Mm,3m?8∴?m=3m?8，解得，m=2，綜上，點M在兩坐標軸的角平分線上時，m的值為2或4，故選：D．8．“雙碳”背景下，我國新能源汽車保有量已處于世界第一，隨著消費人群不斷增多，某款新能源汽車銷售量持續(xù)增長，如果第三個月銷售量的增長率是第二個月的2倍，第三個月的銷售量是第一個月的3倍，設第一月月銷售量為a輛，第二個月銷售量的增長率為x，則可列出方程是（

）A．a(chǎn)(1+x)2=3aC．a(chǎn)1+2x1+3x=3a【答案】D【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)第二個月銷售量的增長率為x，則第三個月銷售量的增長率是2x，由第一月月銷售量為a輛，第三個月的銷售量是第一個月的3倍，列出方程即可．【詳解】解：設第二個月銷售量的增長率為x，則第三個月銷售量的增長率是2x，根據(jù)題意得：a1+x故選：D．9．對于某個一次函數(shù)，兩位同學探究了它的圖象和性質．上圖為兩位同學的對話，如果兩位同學的判斷都是正確的，設這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+bk≠0，則下列結論中錯誤的是（

A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=?【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質．根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵函數(shù)圖象經(jīng)過點2,0，∴2k+b=0，即k=?1∵函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限，∴k>0,b<0，故A選項正確，不符合題意；∴kb<0，故B選項正確，不符合題意；k+b=?1故選：C10．如圖，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的頂點G在菱形ABCD的BC邊上運動，GF與AB相交于點H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，則菱形ABCD的邊長為（）A．183 B．163 C．18【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，連接AC，證明△ABC是等邊三角形，設AB=BC=AC=a，則BH=a?14，BG=a?6，再證明△BGH∽△CAG，由相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：連接AC．∵菱形ABCD∽菱形AEFG，∴∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC，∴△ABC是等邊三角形，設AB=BC=AC=a，則BH=a?14，BG=a?6，∴∠ACB=60°，∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG，∵∠AGH=∠ACG=60°，∴∠BGH＝∠CAG，∵∠B=∠ACG，∴△BGH∽△CAG，∴BGAC∴a?6a∴a2∴a=18或2（舍棄），∴AB=18，故選：C．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．因式分解4x2【答案】4【分析】本題考查了因式分解，綜合提公因式和公式法即可求解．【詳解】解；原式=4x故答案為：412．已知一元二次方程x2?5x+a=0的一個根是3，則【答案】6【分析】本題主要考查一元二次方程根的意義，將根代入方程求解是解題關鍵．將x=3代入方程求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2∴32解得：a=6；故答案為：6．13．在平面直角坐標系中，雙曲線y=kx同時經(jīng)過點Aa,2，B4,a+1，則【答案】?2【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．將Aa,2，B4,a+1代入y=k【詳解】解：根據(jù)雙曲線y=k2同時經(jīng)過點Aa,2，B4,a+1，將Aa,22=ka，a+1=k4，即得出2a=4a+4，解得：a=?2．故答案為：?2．14．如圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設計了如圖2的機械設備，磨盤半徑OQ=25cm，用長為125cm的連桿將點Q與動力裝置P相連（∠OQP大小可變），點P在軌道AB上滑動，并帶動磨盤繞點O轉動，OA⊥AB，OA=80cm．若磨盤轉動過程中，則點P到A【答案】60cm/60厘米【分析】本題考查了勾股定理的應用，由當點Q運動到Q1時，點P到A【詳解】解：如圖，當點Q運動到Q1時，點P到A，由題意得：OA=80cm，OQ1∴OP由勾股定理可得：P1故答案為：60cm．15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)；②分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG交BC邊于點D．若CD=5，AB=12，則△ABD【答案】30【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形的面積，過點D作DM⊥AB于M，由作圖可知平分∠BAC，進而由角平分線的性質可得MD=CD=5，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可求解，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點D作DM⊥AB于M，由作圖可知，AG平分∠BAC，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AG平分∠BAC，DC⊥AC，DM⊥AB，∴MD=CD=5，∴S△ABD故答案為：30．16．如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如3=22?12，7=【答案】2701【分析】本題考查了新定義智慧數(shù)以及平方差公式的運用，如果一個數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個正整數(shù)的平方差，設兩個數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)，即智慧數(shù)=k+12?k2=k+1+k【詳解】解：設兩個數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)．則k+12設兩個數(shù)分別為k+1和k?1，其中k≥1，且k為整數(shù)．則k+12?k?12=∴除4外，所有能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)．∴4k（k≥2且k為整數(shù)）均為智慧數(shù)；除1外，所有的奇數(shù)都是智慧數(shù)；除4外，所有能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)；這樣還剩被4除余2的數(shù)，特殊值2，6，10都不是智慧數(shù)，也就是被4除余2的正整數(shù)都不是智慧數(shù)，推廣到一般式，證明如下：∵假設4k+2是智慧數(shù)，那么必有兩個正整數(shù)m和n，使得4k+2=m∴4k+2=2(2k+1)=(m+n)(m?n)①∵m+n和m?n這兩個數(shù)的奇偶性相同，∴等式①的右邊要么是4的倍數(shù)，要么是奇數(shù)，而左邊一定是偶數(shù)，但一定不是4的倍數(shù)．可左、右兩邊不相等．所以4k+2不是智慧數(shù)，即被4除余2的正整數(shù)都不是智慧數(shù)．∴把從1開始的正整數(shù)依次每4個分成一組，除第一組有1個智慧數(shù)外，其余各組都有3個智慧數(shù)，而且每組中第二個不是智慧數(shù)，又∵(2024?1)÷3=674??1，∴第2024個智慧數(shù)在1+674+1=676（組），并且是第1個數(shù)，即675×4+1=2701．故答案為：2701．三、解答題(本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟)17．（6分）計算：?1【答案】2【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的實數(shù)的混合運算，根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及特殊角的余弦函數(shù)值計算即可．【詳解】解：?=4+1?4×=2．18．（6分）先化簡，再求值：x2?4x+4x+1÷3【答案】2?x2+x，當x=0時，原式=1；當x=1時，原式【分析】先把括號內通分和除法運算化為乘法運算，再把分子分母因式分解，則約分得到原式=?x?2x+2，然后根據(jù)分式有意義的條件把【詳解】解：x＝x?2＝x?2＝x?2＝2?x2+x∵x+1≠0，2+x2?x∴x≠?1，x≠±2，∴當x=0時，原式=2?0或當x=1時，原式=2?1【點睛】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．19．（6分）我國生產(chǎn)的無人機暢銷世界，樹立了良好的品牌形象，在一座高架橋的修建過程中，需要測量一條河的寬度MN，工作人員使用無人飛機通過設備在P處測得M，N兩處的俯角分別為α=60°和β=37°，測得無人機離水平地面的高度PQ為240米，若Q，M，N三點在同一條水平直線上，則這條河的寬度MN為多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，3≈1.73【答案】MN=182米【分析】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角、俯角問題．題目難度不大，解決本題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．在Rt△PMQ和Rt△PQN中，利用銳角三角函數(shù)，求出QN和QM的長，然后計算出【詳解】解：∵PA∥∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，在Rt△PMQ∵∠PQN=90°，∴tan∠PMQ=∴QM=PQ在Rt△PQN中，∵tan∴QN=PQ∴MN=QN?QM=320?138.4≈182（米）．答：這條河的寬度MN=182米．20．（8分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，H為EC中點，(1)求證：AH⊥BC；(2)若∠B=36°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)∠BAC=72°【分析】本題考查了線段垂直平分線、等腰三角形、三角形內角和、三角形外角的知識；熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．（1）由線段垂直平分線的性質得到AE=BE，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質即可完成證明；（2）結合（1）的結論，根據(jù)三角形外角、等腰三角形和三角形內角和的性質計算，即可完成求解．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵AB的垂直平分線EF交BC于點E，∴AE=BE∵BE=AC∴AE=AC，∵H為EC中點，∴AH⊥BC；（2）∵AE=BE，∠B=36°∴∠EAB=∠B=36°∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°∵AE=AC∴∠C=∠AEC=72°∴∠BAC=180°?∠C?∠B=72°．21．（8分）初三（1）班針對“垃圾分類”知曉情況對全班學生進行專題調查活動，對“垃圾分類”的知曉情況分為A、B、C、D四類．其中，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”，每名學生可根據(jù)自己的情況任選其中一類，班長根據(jù)調查結果進行了統(tǒng)計，并繪制成了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)初三（1）班參加這次調查的學生有人，扇形統(tǒng)計圖中類別C所對應扇形的圓心角度數(shù)為°；(2)求出類別B的學生數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；(3)類別A的4名學生中有2名男生和2名女生，現(xiàn)從這4名學生中隨機選取2名學生參加學校“垃圾分類”知識競賽，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率．【答案】(1)40、144(2)18人，見解析(3)2【分析】（1）由A類別人數(shù)及所占的百分比可得被調查學生總數(shù)，用360°乘以C類別人數(shù)所占比例可求C所對應扇形的圓心角度數(shù)；（2）根據(jù)各類別人數(shù)之和等于總人數(shù)可以求出B類別人數(shù)，畫圖即可；（3）根據(jù)列表法求出恰好選到1名男生、1名女生的概率即可．【詳解】（1）解：初三（1）班參加這次調查的學生有4÷10%＝40（人），扇形統(tǒng)計圖中類別C所對應扇形的圓心角度數(shù)為360°×1640＝144°故答案為：40、144；（2）B類學生人數(shù)為40﹣（4+16+2）＝18（人），補全條形圖如下：；（3）列表得：男1男2女1女2男1﹣﹣男2男1女1男1女2男1男2男1男2﹣﹣女1男2女2男2女1男1女1男2女1﹣﹣女2女1女2男1女2男2女2女1女2﹣﹣由表格可知，共有12種可能出現(xiàn)的結果，并且它們都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8種可能．所以所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率為812＝2【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法求概率，列表法適合兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．（9分）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風著陸場，神舟十七號任務取得圓滿成功．某飛箭航模店看準商機，購進了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的進價比“天宮”模型多5元，同樣花費200元，購進“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多2個．(1)“神舟”和“天宮”模型的進價各是多少元？(2)該飛箭航模店計劃購進兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，每個“天宮”模型的售價為28元．設購進“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．若購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14【答案】(1)天宮模型的進價為每個20元，神舟模型的進價為每個25元(2)購進神舟模型20個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為840元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，一元一次不等式的應用，分式方程的應用，對于（1），先設設“天宮”模型進價為每個x元，可表示“神舟”模型進價，再根據(jù)200元購進的模型的個數(shù)之差為2列出分式方程，求出解并檢驗即可；對于（2），先設購進“神舟”模型a個，表示購進“天宮”模型的個數(shù)，用含有a的關系式表示總利潤w，然后根據(jù)購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14得出不等式，求出a【詳解】（1）解：設“天宮”模型進價為每個x元，則“神舟”模型進價為每個x+5元，依題意得200x=解得x=20．

經(jīng)檢驗，x=20是原分式方程的解.x+5=25．

答：“天宮”模型的進價為每個20元，“神舟”模型的進價為每個25元．（2）∵購進“神舟”模型a個，則購進“天宮”模型100?a個，∴w=35?25a+∵購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14∴a≤14解得：a≤20．

∵w=2a+800，k=2>0．∴當a=20時，wmax=2×20+800=840即購進“神舟”模型20個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為840元．23．（9分）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點，且AE⊥BF，AE=BF．(1)求證：矩形ABCD是正方形；(2)連接BE、EF，若DF2=AF?AD【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證明△ABF≌△DAEAAS，可得AB=AD（2）證明AF=DE，DF=CE，結合DF2=AF?AD，可得DFBC=【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABF和△DAE中，∠ABF=∠DAE∠BAF=∠ADE=90°∴△ABF≌△DAEAAS∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形；（2）證明：如圖，由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，∵正方形ABCD，∴AD=DC=BC=AB，∠D=∠C=90°，AB∥∴DF=CE，∵DF∴DFBC∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE，∴∠DEF=∠CEB，∵AB∥∴∠ABE=∠CEB，∴∠ABE=∠DEF．【點睛】本題考查的是正方形的性質與判定，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．24．（10分）在△ABC中，BC為⊙O的直徑，AC為過C點的切線．(1)如圖①，以點B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點M，連結CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大小；(2)如圖②，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，求證：AE=EC；(3)如圖③，在（1）（2）的條件下，若tanA=34【答案】(1)33°(2)見解析(3)4【分析】本題考查圓周角定理，切線性質，三角函數(shù)的定義；（1）由三角形內角和角的計算問題；（2）連接CD，則∠ADC=90°，根據(jù)切線長定理得到DE=CE，則∠EDC=∠ECD，得到∠A=∠ADE，即可求解；（3）根據(jù)tan∠DCB=tan∠A=34=BDCD，設BD=3x，CD=4x，則BC=BM=5x，再依據(jù)tan∠A=34【詳解】（1）由題意知，BC=BM，∵∠ABC=66°，∴∠BMC=∠BCM=57°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM=∠ACB?∠BCM=90°?57°=33°；（2）連接CD，∵BC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵AC為過C點的切線，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CE；（3）連接CD，由（1）（2）可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°?∠B，∴tan∠DCB=∴設BD=3x，CD=4x，則BC=BM=5x，∵tan∠A=∴AD=16x3，∴AB=BD+AD=25x∴AM=AB?BC=10∴S△ACMS△ADE∴S△ADE25．（10分）若一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=kx同時經(jīng)過點P(x,y)則稱二次函數(shù)y=mx(1)判斷y=2x?1與y=3(2)已知：整數(shù)m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數(shù)y=(1+n)x+2m+2與反比例函數(shù)y=2024x存在“共享函數(shù)”y=(m+t)x(3)若一次函數(shù)y=x+m和反比例函數(shù)y=m2+13x在自變量【答案】(1)點P的坐標為：(32，2)或(2)m=2(3)y=x2+mx?(【分析】（1）聯(lián)立y=2x?1與y=3x并整理得：（2）由題意得1+n=m+t2m+2=10m?t，解得m=n+39t=8n+69，而t<n<8m，故6<n<24，則9<n+3<27，故（3）①當m+6≤?12m時，即m≤?4，x=m+6，函數(shù)取得最小值，即(m+6)2+m(m+6)?m2?13=3，即可求解；②當③當m≥0時，函數(shù)在x=m處，取得最小值，即可求解．【詳解】（1）解：（1）y=2x?1與y=3聯(lián)立y=2x?1與y=32x解得：x=32或故點P的坐標為：(32，2)或（2）解：一次函數(shù)y=(1+n)x+2m+2與反比例函數(shù)y=2024x存在“共享函數(shù)”1+n=m+t2m+2=10m?t解得：m=n+3∵t<n<8m，∴8n+69解得：6<n<24；∴9<n+3<27，∴1<m<3，∵m是整數(shù)，∴m=2；（3）解：由y=x+m和反比例函數(shù)y=m2+13函數(shù)的對稱軸為：x=?1①當m+6≤?12mx=m+6，函數(shù)取得最小值，即(m+6)2解得m=?9?61或?9+②當m<?12m<m+6函數(shù)在x=?12m③當m≥0時，函數(shù)在x=m處，取得最小值，即m2解得：m=±4（舍去?4)，綜上，m=?9?61故“共享函數(shù)”的解析式為y=x2+mx?(【點睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，二次函數(shù)的性質，一元一次不等式組的解法，一元二次方程的解法．本題是閱讀型題目，理解題干中的定義并熟練應用是解題的關鍵．2025年中考第一次模擬考試（長沙卷）數(shù)學·參考答案第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）12345678910AACBDBDDCC第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．412．613．?214．60cm/60厘米15．3016．2701三、解答題(本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟)17．【詳解】解：?=4+1?4×32+2=2．（6分）18．解：x＝x?2＝x?2＝x?2＝2?x2+x，（4分∵x+1≠0，2+x2?x∴x≠?1，x≠±2，∴當x=0時，原式=2?0或當x=1時，原式=2?12+1=119．【詳解】解：∵PA∥∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，（2分）在Rt△PMQ∵∠PQN=90°，∴tan∠PMQ=∴QM=PQtan∠PMQ=在Rt△PQN中，∵tan∴QN=PQ∴MN=QN?QM=320?138.4≈182（米）．答：這條河的寬度MN=182米．（6分）20．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵AB的垂直平分線EF交BC于點E，∴AE=BE∵BE=AC∴AE=AC，∵H為EC中點，∴AH⊥BC；（4分）（2）∵AE=BE，∠B=36°∴∠EAB=∠B=36°∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°∵AE=AC∴∠C=∠AEC=72°∴∠BAC=180°?∠C?∠B=72°．（8分）21．【詳解】（1）解：初三（1）班參加這次調查的學生有4÷10%＝40（人），扇形統(tǒng)計圖中類別C所對應扇形的圓心角度數(shù)為360°×1640＝144°故答案為：40、144；（2分）（2）B類學生人數(shù)為40﹣（4+16+2）＝18（人），補全條形圖如下：；（4分）（3）列表得：男1男2女1女2男1﹣﹣男2男1女1男1女2男1男2男1男2﹣﹣女1男2女2男2女1男1女1男2女1﹣﹣女2女1女2男1女2男2女2女1女2﹣﹣由表格可知，共有12種可能出現(xiàn)的結果，并且它們都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8種可能．所以所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率為812＝23．（22．【詳解】（1）解：設“天宮”模型進價為每個x元，則“神舟”模型進價為每個x+5元，依題意得200x=解得x=20．

經(jīng)檢驗，x=20是原分式方程的解.x+5=25．

答：“天宮”模型的進價為每個20元，“神舟”模型的進價為每個25元．（4分）（2）∵購進“神舟”模型a個，則購進“天宮”模型100?a個，∴w=35?25a+∵購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14∴a≤14解得：a≤20．

∵w=2a+800，k=2>0．∴當a=2