六、統(tǒng)計與可能性教材分析

六、統(tǒng)計與可能性（一）教學(xué)目標(biāo)1.體驗事務(wù)發(fā)生的等

可能性以及游戲規(guī)那么的公允性，會求簡潔事務(wù)發(fā)生

的可能性。

2.能遵照指定的要求設(shè)計簡潔的游戲方案。

3.理解中位數(shù)在統(tǒng)計學(xué)上的意義，學(xué)會求中位數(shù)的方

法。

4.依據(jù)數(shù)據(jù)的具體狀況，體會“平均數(shù)”“中位數(shù)”各自

的特點。（二）教材說明和教學(xué)建議教材說明

本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要有兩個方面：一是事務(wù)發(fā)

生的等可能性以及游戲規(guī)那么的公允性，會求簡潔事

務(wù)發(fā)生的概率；二是理解中位數(shù)的意義，會求數(shù)據(jù)的

中位數(shù)，在統(tǒng)計分析中能依據(jù)實際狀況合理選擇適當(dāng)

的統(tǒng)計量來描述數(shù)據(jù)的特征。

1.事務(wù)發(fā)生的可能性以及游戲規(guī)那么的公允性。

關(guān)于“可能性〃這一內(nèi)容，本套教材分兩次進展了

集中編排。第一次是在三年級上冊，主要是讓學(xué)生初

步體驗有些事務(wù)的發(fā)生是確定的，有些那么是不確定

的。其次次就在本單元，本單元內(nèi)容是在三年級上冊

的根底上的深化，使學(xué)生對“可能性”的相識和理解慢

慢從定性向定量過渡，不但能用恰當(dāng)?shù)脑~語（如“必

需""不行能""可能""常常""有時"等）來表述事務(wù)發(fā)生

的可能性大小，還要學(xué)會通過量化的方式，用分數(shù)描

述事務(wù)發(fā)生的概率。

依據(jù)學(xué)生的年齡特點和認知水平，本單元支配的

是簡潔的等可能性事務(wù)，等可能性事務(wù)是概率論中探

究得最早，在社會生活中又廣泛存在的一種隨機現(xiàn)象,

它滿足以下兩個條件：⑴試驗的全部可能結(jié)果只有有

限個，比方說為n個。（2）每個試驗結(jié)果發(fā)生的可能性

是相等的，都是1/n。等可能性事務(wù)在概率論開展初

期即被人們所關(guān)注和探究，故這類隨機現(xiàn)象通常又被

稱為古典概型，本單元的例1、例2和例3及相關(guān)練

習(xí)都屬于古典概型問題。

等可能性事務(wù)與游戲規(guī)那么的公允性是嚴(yán)密相

聯(lián)的，因為一個公允的游戲規(guī)那么本質(zhì)上就是參與游

戲的各方獲勝的時機均等，用數(shù)學(xué)語言描述即是他們

獲勝的可能性相等。因此，教科書在編排上就圍繞等

可能性這個學(xué)問的主軸，以學(xué)生熟悉的游戲活動綻開

教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在踴躍的參與中直觀感受到游戲規(guī)

那么的公允性，并逐步豐富對等可能性的體驗，學(xué)會

用概率的思維去視察和分析社會生活中的事物。此外,

通過探究游戲的公允性，還可在潛移默化中造就學(xué)生

的公允、公正意識，促進學(xué)生正直人格的形成。

2.中位數(shù)的統(tǒng)計意義及計算方法。

學(xué)生在三年級已經(jīng)學(xué)過平均數(shù)（主要是指算術(shù)平

均數(shù)），知道平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個統(tǒng)計

量，用它來表示一組數(shù)據(jù)的狀況，具有直觀、簡明的

特點。所以教科書在引入中位數(shù)時，就以平均數(shù)為參

照物，說明當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)偏大或偏小時,

用中位數(shù)來代表該組數(shù)據(jù)的一般水平就比平均數(shù)更

相宜。這樣編排，不但新舊學(xué)問過渡自然，便于學(xué)生

理解和駕馭，而且清晰地說明白中位數(shù)的統(tǒng)計意義,

即中位數(shù)在數(shù)值大小上處于一組數(shù)據(jù)的最中間，主要

反映了統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中等水平，并且不受偏大或偏小等

極端數(shù)據(jù)的影響，對人們了解事物開展的中等水平很

有幫助。

在介紹中位數(shù)的計算方法時，教科書在編排上接

受了由易至難，逐步深化的方式。如例4和例5,列

出的一組數(shù)據(jù)都是7個，即奇數(shù)個數(shù)據(jù)，從而最中間

的那個數(shù)據(jù)就為中位數(shù)，可干脆在數(shù)據(jù)組中找出；然

后把7個數(shù)據(jù)變?yōu)?個，最中間就有兩個數(shù)據(jù)，引出

當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)個時計算中位數(shù)的方法。

教科書在選材上特別留意聯(lián)系學(xué)生的生活實際,

如擲沙包、跳遠、跳繩等活動，都是學(xué)生幾乎每天參

與的游戲，可使學(xué)生在活動過程中完成數(shù)據(jù)的收集和

整理，也便于老師組織教學(xué)。

教學(xué)建議

1.留意學(xué)生對等可能性思想的理解，淡化純概率

數(shù)值的計算。

在自然界和人類社會中存在兩類不同的現(xiàn)象：確

定性現(xiàn)象（即勢必事務(wù)和不行能事務(wù)）和隨機現(xiàn)象（即

不確定事務(wù)）。概率論就是探究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的

數(shù)學(xué)分支。在小學(xué)階段設(shè)置簡潔的"概率”內(nèi)容，主要

是為了造就學(xué)生的隨機思維，讓其學(xué)會用概率的眼光

去視察大千世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的

思維方式去理解事物。因此，在可能性學(xué)問的教學(xué)中,

應(yīng)留意加強對學(xué)生概率素養(yǎng)的造就，增加學(xué)生對隨機

思想的理解，而不要把豐富多彩的可能性內(nèi)容變成了

機械的計算和練習(xí)。

在教學(xué)中，老師還應(yīng)留意結(jié)合學(xué)生熟悉的游戲、

活動（如擲硬幣、玩轉(zhuǎn)盤、摸卡片等），讓學(xué)生親自

動手試驗，在試驗中直觀體驗事務(wù)發(fā)生的可能性，探

究游戲規(guī)那么的公允性與等可能性事務(wù)的關(guān)系等，使

其閱歷學(xué)問的形成過程。

2.加強學(xué)生對中位數(shù)在統(tǒng)計學(xué)意義上的理解。

中位數(shù)和平均數(shù)一樣，也是反映一組數(shù)據(jù)集中趨

勢的一個統(tǒng)計量。教學(xué)時應(yīng)留意結(jié)合學(xué)生已經(jīng)很熟悉

的平均數(shù)，比照教學(xué)，以幫助學(xué)生弄清兩者的聯(lián)系和

區(qū)分，使他們明白：平均數(shù)主要反映一組數(shù)據(jù)的總體

水平，中位數(shù)那么更好地反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平

（或一般水平）。

在教學(xué)中，老師應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)組，以反映中位數(shù)

在統(tǒng)計學(xué)上的意義和價值，在與平均數(shù)的比照中表達

中位數(shù)的特點。如例4、例5的數(shù)據(jù)組中，因個別數(shù)

據(jù)緊要偏大，影響到平均數(shù)也偏大，導(dǎo)致平均數(shù)不能

很好地代表該組數(shù)據(jù)的總體水平，而中位數(shù)的優(yōu)勢正

好能夠幸免一些偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，因而在這樣

的場合中，中位數(shù)就能很好地反映一組數(shù)據(jù)的一般水

平。

另外，因中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于最

中間的位置,故其在統(tǒng)計學(xué)分析中也時時扮演著“分水

嶺”的角色。人們由中位數(shù)可對事物的大體趨勢進展判

定和掌控。如某城市一個月的空氣污染指數(shù)的中位數(shù)

值是70（空氣質(zhì)量為良），那么說明該城市這個月超

過一半的時間空氣質(zhì)量都為良。所以在教學(xué)中，老師

可組織學(xué)生開展調(diào)查活動，然后再利用中位數(shù)的這一

特點進展初步的統(tǒng)計分析。如調(diào)查全班同學(xué)的睡眠時

間，假如中位數(shù)顯示睡眠缺乏，那么說明全班至少有

一半的同學(xué)睡眠缺乏，據(jù)此就可建議大家少看電視和

按時作息等。

3.本單元內(nèi)容可用4課時進展教學(xué)。

（三）具體內(nèi)容的說明和教學(xué)建議

（第101~108頁）

本單元共支配了5個例題。

1.體驗事務(wù)發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)那么的公允性,

會求簡潔事務(wù)發(fā)生的可能性。

教科書通過主題圖、例1、例2和例3的教學(xué)，

使學(xué)生初步體驗事務(wù)發(fā)生的等可能性和游戲規(guī)那么

的公允性，在編排方式上主要從三個方面綻開：一是

體驗事務(wù)發(fā)生的等可能性與游戲規(guī)那么的公允性之

間的關(guān)系，如例1的拋硬幣試驗和例2的擊鼓傳花游

戲等，都是從事務(wù)發(fā)生的等可能性這個角度說明白游

戲規(guī)那么的公允性，提出判定游戲公允性的方法就是

看事務(wù)發(fā)生的可能性是否相等；二是從事務(wù)發(fā)生的可

能性啟程，依據(jù)指定的要求，設(shè)計游戲方案，這主要

表達在“做一做”和練習(xí)題中，教學(xué)時應(yīng)留意結(jié)合相應(yīng)

的例題引導(dǎo)學(xué)生從可能性角度進展思索；三是能對簡

潔事務(wù)發(fā)生的可能性作出預(yù)料,如例2后的“做一做”，

依據(jù)設(shè)計好的轉(zhuǎn)盤，預(yù)料轉(zhuǎn)動80次后，指針可能會

有多少次停在紅色區(qū)域，等等。（1）主題圖。

主題圖通過呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的校內(nèi)活動場景，引入本單

元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。目的是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗啟程，

使學(xué)生體會到在我們的身邊就存在大量的等可能性

事務(wù)，平常的游戲活動中也隱含著許多公允性的問題。

教學(xué)時，老師可先用實物投影儀展示這幅情景圖,

也可制成電腦課件進展播放，讓學(xué)生身臨其境，然后

引導(dǎo)學(xué)生探究擊鼓傳花、足球競賽等活動中蘊涵的概

率思想，特別要引導(dǎo)學(xué)生從事務(wù)發(fā)生的可能性這個角

度去視察問題，如學(xué)生會直觀感到擊鼓傳花時花落到

每個人手里的可能性是相等的，拋一枚硬幣時正面朝

上和反面朝上的可能性也是相等的......在此根底上,可

進一步引導(dǎo)學(xué)生說說這些游戲活動對參與的各方是

否公允。教學(xué)時可先讓小組合作學(xué)習(xí)、探討，然后再

匯報探討結(jié)果，老師應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)生用推理的方法找

出等可能性與游戲公允性之間的因果關(guān)系，以促進學(xué)

生形成較好的邏輯思維。

主題圖里全是情境，沒有相應(yīng)的文字說明，故教

學(xué)時應(yīng)留意說明每個活動的游戲規(guī)那么，提出相關(guān)的

數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生探討。教學(xué)時應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)生從事務(wù)

發(fā)生的可能性以及游戲規(guī)那么是否公允這個角度來

思索問題，不要過分關(guān)注游戲、活動內(nèi)容本身。

（2）例1及“做一做〃。①例1。

本例教學(xué)最簡潔的等可能性事務(wù)，即兩個事務(wù)發(fā)

生的可能性都為1/2,同時讓學(xué)生初步感知游戲規(guī)那

么公允性的數(shù)學(xué)含義。教科書呈現(xiàn)了足球競賽前用拋

硬幣來確定誰開球的場景，由小精靈提出問題“你認為

拋硬幣確定誰開球公允嗎？”引出教學(xué)內(nèi)容。設(shè)計目的

是使學(xué)生理解隨機拋擲一枚硬幣時“出現(xiàn)正面和出現(xiàn)

反面的可能性是一樣的”,從而說明在競賽前用拋硬幣

的方法來確定誰開球比照賽雙方都是公允的。

擲一枚硬幣時，既可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反

面，預(yù)先作出確定的判定是不行能的，但假如硬幣勻

整，直觀上會感到出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的時機應(yīng)當(dāng)相

等，即在大量重復(fù)試驗中正面朝上的頻率，應(yīng)接近于

50%o為了驗證這點，在概率論的開展歷史上，曾有

許多著名的數(shù)學(xué)家也做過這個試驗，其結(jié)果如下：

因此，盡管在拋一次硬幣時，我們事先無法確定它是

正面朝上，還是反面朝上，但當(dāng)我們大量重復(fù)拋擲一

枚硬幣時，二者出現(xiàn)的頻率在0.5旁邊搖擺，我們就

認為正面朝上和反面朝上的概率是1/2,從而驗證了

在足球競賽前接受拋硬幣來確定誰開球的規(guī)那么是

公允的。

教學(xué)時，為使學(xué)生更直觀感受，可先讓學(xué)生小組

合作做拋硬幣試驗，并做好結(jié)果記錄（如：每個小組

拋101次，分別算出正面朝上和反面朝上的頻率）。

在試驗完成后，老師可讓學(xué)生匯報本組得到的結(jié)果。

針對有的小組得到的結(jié)果可能與理論上的概率值相

差較大，老師可以把各個小組試驗的狀況匯總，再進

展分析，就可使結(jié)果更加靠近理論值。同時，老師還

可說明：當(dāng)試驗的次數(shù)增大時，正面朝上的頻率和反

面朝上的頻率都越來越靠近12。這事實上就是概率的

統(tǒng)計定義思想。

②做一做。

這是一個簡潔的轉(zhuǎn)盤游戲，學(xué)生在三年級時就已

經(jīng)接觸過了，知道指針停在紅色區(qū)域的可能性比停在

藍色區(qū)域和黃色區(qū)域的可能性都要大,所以判定“這樣

公允嗎”對學(xué)生來說并不困難,教學(xué)的重點應(yīng)放在小精

靈提出的問題“怎樣設(shè)計這個轉(zhuǎn)盤才公允〃上。

教學(xué)時，老師可從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗為

根底，在學(xué)生得到“這樣做不公允，因為指針停在紅色

區(qū)域的可能性要大些”的結(jié)論的狀況下,進一步引導(dǎo)學(xué)

生思索：指針停在紅色區(qū)域的可能性是多大呢？從而

實現(xiàn)對可能性的相識由定性感受到定量刻畫的自然

過渡。

為便于學(xué)生理解，教材把轉(zhuǎn)盤平均分成了四份，

其中紅色區(qū)域占兩份，藍色區(qū)域和黃色區(qū)域各占一份,

所以指針停在紅色區(qū)域的可能性是2/4,即1/2,而停

在藍色區(qū)域和停在黃色區(qū)域的可能性都是1/4,從而

說明這個轉(zhuǎn)盤設(shè)計得不公允。在此根底上，老師可引

導(dǎo)學(xué)生從等可能性的角度來重新設(shè)計這個轉(zhuǎn)盤，即將

轉(zhuǎn)盤平均分成二局部，紅、黃、藍各占1/3,就可保

證游戲的公允性了。

（3）關(guān)于練習(xí)二十中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建

議。

第1題，因為正方體各局部都很勻整和規(guī)那么，

所以投擲后6個面朝上的可能性相等，都是1/6。教

學(xué)時，可讓學(xué)生先說說自己的看法，再讓他們動手試

驗，最好多投幾次，并作好記錄，以發(fā)覺其中的概率

規(guī)律。

第2題，轉(zhuǎn)盤被平均分成了四局部，故指針停在

四種顏色區(qū)域的可能性相等，都是l/4o假如轉(zhuǎn)動指

針101次，因指針停在每種顏色區(qū)域的時機均等，所

以停在紅色區(qū)域的次數(shù)大約就是101+4=25（次）。

第3題，雖然橡皮各局部的材料是勻整的，但它

的6個面大小不等，一個面的面積越大，投擲后朝上

的可能性也越大，所以，小強設(shè)計的這個方案不公允

（4）例2及“做一做”。

①例2。

通過擊鼓傳花游戲，使學(xué)生進一步加深對等可能

性事務(wù)的相識，學(xué)會用幾分之幾來描述一個事務(wù)發(fā)生

的概率，加深對游戲規(guī)那么公允性的相識和理解。

教學(xué)的難點在于讓學(xué)生相識到根本領(lǐng)務(wù)與事務(wù)

的關(guān)系，即花落到每個人手里的可能性與落到男生

（或女生）手里的可能性的聯(lián)系。為了直觀呈現(xiàn)可能

性由1/18變?yōu)?/18這一過程，教學(xué)時可借助學(xué)生熟

悉的轉(zhuǎn)盤游戲來模擬本活動：把一個轉(zhuǎn)盤平均分成18

個區(qū)域，灰色區(qū)域代表男生，白色區(qū)域代表女生，灰

白間隔，那么例2的問題就轉(zhuǎn)化為了指針停在灰色區(qū)

域的可能性是多大，而這對學(xué)生來說就比擬簡潔理解

了。

②做一做。

又是一個轉(zhuǎn)盤游戲，轉(zhuǎn)盤外表被平均分成了8個局部,

并涂了紅、黃、藍3種顏色，分別占轉(zhuǎn)盤外表積的3/8、

2/8、3/8o教學(xué)時可先讓學(xué)生視察轉(zhuǎn)盤，相識到指針

停在每一個小扇形區(qū)域的可能性都是18,即根本領(lǐng)務(wù)

的發(fā)生是等可能性的，然后再視察紅、黃、藍3種顏

色各占幾個小扇形，從而依據(jù)等可能性事務(wù)的“加法

原理”就可得出指針停在紅、黃、藍三種顏色區(qū)域的可

能性分別是38、28、38o

轉(zhuǎn)動指針80次，那么指針停在每個小區(qū)域的次數(shù)大

體上應(yīng)相等，即均為80+8=10（次），又因為紅色占

了3個小區(qū)域，所以指針停在紅色區(qū)域的次數(shù)大約就

是10x3=30（次）。教學(xué)時應(yīng)指出這是理論上的結(jié)果，

因為隨機事務(wù)的概率值是建立在大量重復(fù)試驗的根

底之上的，所以在實際轉(zhuǎn)動80次時，有可能會偏離

這個結(jié)果，這也是正常的。

（5）關(guān)于練習(xí)二十一中一些習(xí)題的說明和教學(xué)

建議。

第1題，①把9張數(shù)字卡片打亂依次后擺在桌子

上，隨機抽取一張，抽到每張數(shù)字卡片的可能性都是

1/9,而單數(shù)有1,3,5,7,9,共5個，所以抽到單

數(shù)的可能性是5/9,同理，抽到雙數(shù)的可能性是4/9。

可見，這個游戲?qū)π》级允遣还实摹＂陔m然游戲

規(guī)那么對小芳不利，但在一次或有限次試驗中，小芳

卻不必需會輸。因為這里的可能性5/9和4/9都是一

個理論值，是在大量重復(fù)試驗下抽到單數(shù)和雙數(shù)的頻

率的極限。因此，在獨立的一次游戲中，小芳還是有

可能獲勝的。③為了使游戲規(guī)那么變得公允，可去掉

一張單數(shù)卡片或再增加一張雙數(shù)卡片，從而使得摸到

單數(shù)和摸到雙數(shù)的可能性都是1/2,就實現(xiàn)了游戲的

公允。

第2題，這是一個開放題，教學(xué)時可放手讓學(xué)生

去設(shè)計，只要他們的方案滿足紅色區(qū)域占整個轉(zhuǎn)盤面

積的一半，綠色和黃色區(qū)域各占整個轉(zhuǎn)盤面積的1/4

就行。

第3題，①轉(zhuǎn)盤被勻整地分成了10個區(qū)域，指

針停在任一區(qū)域的可能性都相等，均為1/10。當(dāng)甲轉(zhuǎn)

動指針時，乙能猜對指針停在哪一區(qū)域（即乙獲勝）

的可能性是1/10,而乙猜錯（即甲獲勝）的可能性是

9/10,所以這個游戲規(guī)那么對乙來說是不公允的。

②雖然乙獲勝的可能性很小，但依據(jù)隨機事務(wù)的

特性，小概率事務(wù)也是會發(fā)生的，所以在一次試驗中

并不能斷定乙就必需會輸，只是說明乙輸?shù)目赡苄院?/p>

大，尤其是在該游戲大量重復(fù)進展試驗時，這一點會

表現(xiàn)得更明顯。

③針對教材中列出的四種猜數(shù)方法，第一種：不

是2的整數(shù)倍的數(shù)有1,3,5,7,9共5個，因而乙

猜對的可能性是5/10;其次種：不是3的整數(shù)倍的數(shù)

有1,2,4,5,7,8,10共7個，因而乙猜對的可

能性是7/10；第三種：大于6的數(shù)有7,8,9,10共

4個，因而乙猜對的可能性是4/10；第四種：不大于

6的數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個，因而乙猜對的可

能性是6/10。比擬四種方法后發(fā)覺，乙選擇其次種方

法獲勝的可能性最大，所以乙應(yīng)選擇其次種。特別要

指出的一點是，第三種和第四種方法在概率論里稱為

“互補事務(wù)”，兩個互補事務(wù)發(fā)生的概率之和等于1。

所以，假如我們已經(jīng)知道了第三種方法獲勝的可能性,

第四種方法獲勝的可能性就可干脆通過減法計算求

得。

④因為這個游戲只有甲、乙兩個人參與，所以公

允的游戲規(guī)那么應(yīng)是甲乙雙方獲勝的可能性都為1/2,

設(shè)計規(guī)那么時只要滿足這個條件即可。如可讓乙猜指

針停在單數(shù)或雙數(shù)上，或猜指針停在1?5這5個數(shù)

"J_1^9

（6）例3及“做一做〃。①例3通過判定小麗和小強

接受“石頭、剪子、布”來確定誰跳是否公允這一活動，

引導(dǎo)學(xué)生對小麗獲勝和小強獲勝的可能性進展思索

和分析。但與例1、例2不同，例3并沒有給出小麗

和小強玩“石頭、剪子、布〃的全部可能的結(jié)果，所以

不能干脆計算出小強獲勝的可能性，而應(yīng)先陳設(shè)出他

們兩人玩“剪子、石頭、布〃的全部可能的結(jié)果。教學(xué)

時，老師可以先引導(dǎo)學(xué)生找出小麗和小強玩“石頭、剪

子、布”的全部可能的結(jié)果（如下表）。

從表中可見，一共有9種可能的結(jié)果，因為每人

出石頭、剪子、布的可能性都一樣，所以上述9種結(jié)

果出現(xiàn)的可能性都相等，均為1/9o其中小強獲勝的

結(jié)果有3種，小麗獲勝的結(jié)果有3種，平的結(jié)果也有

3種，故小強獲勝的可能性就是3/9,同理，小麗獲勝

的可能性也是3/9,二者相等，所以用“石頭、剪子、

布”來確定誰跳是公允的。

為了不重復(fù)、不遺漏地列出全部可能的結(jié)果，教

學(xué)時可讓學(xué)生結(jié)合以前學(xué)的排列組合學(xué)問進展思索0

在找出游戲的全部可能結(jié)果后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生相識到每

種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，在此根底上，再解決“小

強獲勝的可能性是多大”就比擬簡潔了。

②做一做。

為了求擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性，首先應(yīng)陳

設(shè)出3,5,6這三張卡片能夠擺出的全部三位數(shù)，即

3個數(shù)的全排列共有=6種：356,365,536,563,635,

653。由此可見，6個三位數(shù)中單數(shù)有4個，雙數(shù)有兩

個，所以擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是4/6=2/3,

是雙數(shù)的可能性是2/6=1/3。教學(xué)時，應(yīng)留意引導(dǎo)學(xué)

生利用以前學(xué)習(xí)的排列組合方法，以保證在陳設(shè)時做

到不重復(fù)不遺漏。

除了列舉法，也可依據(jù)單數(shù)和雙數(shù)的特性來分析

問題。判定一個數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)主要看這個數(shù)的個

位，假設(shè)個位上的數(shù)字是單數(shù)，那么該數(shù)就是單數(shù),

反之，那么說明該數(shù)是雙數(shù)。此時此刻來看3,5,6

這3個數(shù)字，3,5都是單數(shù)，只有6是雙數(shù)，所以當(dāng)

3或5都放在個位時，組成的三位數(shù)就是單數(shù)，只有

當(dāng)6放在個位時，組成的三位數(shù)才是雙數(shù)，因而擺出

的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是2/3,是雙數(shù)的可能性是

1/3o

由以上的分析可以看出，這個游戲規(guī)那么對猜"擺出的

三位數(shù)是雙數(shù)〃的一方不利，所以游戲不公允。

（7）關(guān)于練習(xí)二十二中一些習(xí)題的說明和教學(xué)

建議。

第1題，從4張數(shù)字卡片中隨意抽取兩張，這是

一個組合問題，共有種，分別是：①2,3;02,7:

③2,8；（4）3,7；（5）3,8;?7,8。其中第一種和

第五種狀況下兩數(shù)的乘積既是2的整數(shù)倍又是3的整

數(shù)倍，所以可解除，即有效的組合有4種。在這4種

組合中，乘積是2的整數(shù)倍的有3種（2,7；2,8；

7,8）,乘積是3的整數(shù)倍的有1種（3,7）,所以

這個玩法不公允。

依據(jù)已有的規(guī)那么，為了使游戲公允，那么必需

換掉卡片或卡片，并且新加的數(shù)字卡片應(yīng)滿足如下條

件：該數(shù)字是不能被3整除的單數(shù)，如5o教學(xué)時，

應(yīng)留意說明當(dāng)兩個數(shù)的乘積既不能被2整除又不能被

3整除時，也要重來。

第2題，投擲一粒骰子，朝上的數(shù)字有6種可能

的結(jié)果，依據(jù)乘法原理，同時擲兩粒骰子時，那么可

能出現(xiàn)的結(jié)果共有6x6=36種，并且這36種結(jié)果出現(xiàn)

的可能性都相等，均為1/36o與此對應(yīng)，36種狀況下

兩個數(shù)字的和的分布狀況如下表陰影局部所示：

從表中可見，和是單數(shù)的結(jié)果有18種，所以和

是單數(shù)的可能性是18/36=1/2,同理，和是雙數(shù)的可

能性也是1/2,故這個游戲?qū)﹄p方是公允的。

第3題，此題是開放的，學(xué)生可依據(jù)自己的生活

實際，從熟悉的游戲、活動中找尋題材，先探究這些

游戲、活動的規(guī)那么是否比照賽各方都公允，假如不

公允，那么依據(jù)等可能性思想，對游戲的規(guī)那么進展

矯正，或重新制定，直到使其滿足公允性。

2.理解中位數(shù)的統(tǒng)計意義，會求數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

了解中位數(shù)與平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)分，會依據(jù)數(shù)據(jù)的具

體狀況合理選擇統(tǒng)計量。

中位數(shù)和平均數(shù)一樣，也是描述一組數(shù)據(jù)集中趨

勢的統(tǒng)計量，但它和平均數(shù)有以下兩點不同：一是平

均數(shù)只是一個“虛擬”的數(shù)，即一組數(shù)據(jù)的和除以該組

數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商，而中位數(shù)并不完全是“虛擬”數(shù),

當(dāng)一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時，它就是該組數(shù)據(jù)依次排列后

最中間的那個數(shù)據(jù)，是這組數(shù)據(jù)中真實存在的一個數(shù)

據(jù)；二是平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)據(jù)都有

關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)大小的變

更，而中位數(shù)那么僅與一組數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),

某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響，所以當(dāng)一組數(shù)據(jù)

的個別數(shù)據(jù)偏大或偏小時，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)

的集中趨勢就比擬相宜。

在講中位數(shù)的概念時，還要留意一組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)只有一個，在數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)的狀況下，中位數(shù)是

這組數(shù)據(jù)最中間的那個數(shù)據(jù)；在數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)的狀

況下，中位數(shù)是最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

(1)例4。

本例通過解決“用什么數(shù)表示第3組同學(xué)的擲沙

包水平比擬相宜”這一問題，引出了中位數(shù)的概念。在

第一學(xué)段，學(xué)生確定道用平均數(shù)來描述一組數(shù)據(jù)的總

體狀況比擬便利和適用，但平均數(shù)與一組數(shù)據(jù)中的每

個數(shù)據(jù)都有干脆的關(guān)系，隨意一個數(shù)據(jù)大小的變更都

會對平均數(shù)值產(chǎn)生影響。例如本例，因為個別數(shù)據(jù)偏

大，導(dǎo)致平均數(shù)不能很好地反映第3組同學(xué)擲沙包的

一般水平。由此沖突，就要求我們找尋新的統(tǒng)計量來

"彌補”平均數(shù)在描述某些數(shù)據(jù)組時的缺乏，從而很自

然地引入中位數(shù)的概念。

教學(xué)時，應(yīng)把握好以下幾個層次：一是引入中位

數(shù)的必要性；二是定義中位數(shù)的概念時，要突出中位

數(shù)的統(tǒng)計意義；三是說明中位數(shù)與平均數(shù)各自的特點

和適用范圍。

首先，老師可出示統(tǒng)計表，提出問題：你們覺得

第3組同學(xué)擲沙包的一般水平應(yīng)當(dāng)是多少呢？學(xué)生可

能會估計他們的一般成果在23?25米之間，然后再

讓學(xué)生算出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是27.7,從而發(fā)覺與他

們的估計有較大出入，引起學(xué)生的認知沖突，然后引

導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺大多數(shù)同學(xué)的成果都低于平均值，說明用

平均數(shù)來表示第3組同學(xué)擲沙包的一般水平不太相宜,

由此引出中位數(shù)。

教學(xué)時應(yīng)把中位數(shù)特點講清晰，讓學(xué)生明白：把

一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后，最中間的數(shù)據(jù)就是中位

數(shù)，它的優(yōu)點是不受偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響。如在本

例中，因為有兩個同學(xué)的成果太高，緊要偏離了大多

數(shù)同學(xué)的水平，這時用中位數(shù)來表示第3組同學(xué)擲沙

包的一般水平就比擬相宜。在教學(xué)怎樣求中位數(shù)時，

要強調(diào)“中位”是相對一組數(shù)據(jù)的數(shù)值大小依次而言

的，計算中位數(shù)前首先應(yīng)將該組數(shù)據(jù)遵照大小依次進

展排列，再找出處于最中間位置的數(shù)據(jù)。

最終，老師可適當(dāng)小結(jié)一下，使學(xué)生相識到平均

數(shù)與中位數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，但

針對具體的一組數(shù)據(jù)來說，那么應(yīng)依據(jù)數(shù)據(jù)組中各個

數(shù)據(jù)的分布狀況，合理選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量。如當(dāng)一組

數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)緊要偏大或偏小時，就最好選用中位

數(shù)來表示該組數(shù)據(jù)的一般水平。

（2）例5。

設(shè)計本例的目的是使學(xué)生進一步理解中位數(shù)的概念,

駕馭求中位數(shù)的方法，另外更重要的一點是讓學(xué)生體

會中位數(shù)在統(tǒng)計學(xué)上的作用。

本例呈現(xiàn)了幾名男生的跳遠成果，并從平均數(shù)和

中位數(shù)兩個角度對該數(shù)據(jù)組進展了分析，結(jié)果說明用

中位數(shù)代表這組成果的一般水平更相宜。針對給定的

一組數(shù)據(jù)，判定某個統(tǒng)計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)就是該統(tǒng)計量

是否包含了數(shù)據(jù)組足夠多的信息量，是否很好地反映

了該組數(shù)據(jù)的大局部特征，也即該統(tǒng)計量蘊涵了更多

的有關(guān)該組數(shù)據(jù)的信息。對例5而言，7名男生跳遠

成果的平均數(shù)是2.96,中位數(shù)是2.89,分析發(fā)覺有5

名男生的成果都低于平均值，從而說明在這里用平均

數(shù)來代表該組成果不太相宜，應(yīng)選用中位數(shù)。為讓學(xué)

生更完整地駕馭求給定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的方法，在

本例最終，有意將原數(shù)據(jù)組的7個數(shù)據(jù)變成了8個,

以向?qū)W生介紹當(dāng)一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個數(shù)據(jù)時中位數(shù)的

求法。

教學(xué)時，先出示五（2）班7名男生的跳遠成果

統(tǒng)計表，讓學(xué)生依據(jù)統(tǒng)計表說說用什么數(shù)來代表該組

數(shù)據(jù)比擬相宜，引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過的兩個統(tǒng)計量的

角度進展思索。在學(xué)生計算中位數(shù)時，本例與例4不

同之處是統(tǒng)計表中7個數(shù)據(jù)還沒有按大小依次排列,

故應(yīng)先調(diào)整統(tǒng)計表中各數(shù)據(jù)的位置，使之有序排列，

然后再仿例4進展計算?？勺寣W(xué)生通過小組探討的形

式來分析平均數(shù)和中位數(shù)的特點，并引導(dǎo)他們結(jié)合本

例的實際狀況，以做出合理的選擇。

（3）關(guān)于練習(xí)二十三中一些習(xí)題的說明和教學(xué)

建議。

第1題，教學(xué)時，可以先讓學(xué)生依據(jù)7名同學(xué)的

成果估一估他們跳繩的一般水平大約應(yīng)是多少，然后

再分別計算出平均數(shù)和中位數(shù)，比擬后發(fā)覺用中位數(shù)

140來表示該小組同學(xué)跳繩的一般水平相宜，因為平

均數(shù)是144,而7人中有5人的成果都低于該數(shù)值，

所以不具有代表性。進一步探究會發(fā)覺，造成平均數(shù)

偏