微專題43圓的綜合題

類型一與銳角三角函數(shù)結(jié)合

1.如圖，48為。。的直徑，△BCZ)內(nèi)接于。。，連接以并延長交的延長

線于點且NE=N48C

(1)求證：BC=EC；

(2)若EC=20,tanZBCD=y,求。。的半徑.

第1題圖

2.如圖，四邊形48CQ內(nèi)接于。。，對角線助為。。的直徑，對角線4。是

NBCD的平分線，過點4作交C3的延長線于點E

(1)求證：4E是。。的切線；

(2)若N4防=60°,2vL求4。的長.

i\/T\

/I\

/\\Ajy

EHC

第2題圖

3.(2021廣東24題10分)如圖，在四邊形48CZ)中，AB//CD,AB^CD,

ZABC=90°,點E,b分別在線段BC,4D上，^EF//CD,AB=AF,CD=

DF.

(1)求證：CF±FB；

第1頁共21頁

(2)求證：以為直徑的圓與5C相切;

(3)若EF=2,ZDFE=120°,求△4DE的面積.

第3題圖

類型二與全等三角形結(jié)合

1.如圖所示，在△48C中，ZABC=9Q°,以直角邊48為直徑作。。，交斜邊

4C于點。，連接3D

(1)若NC=30°,求陽勺值；

(2)過點。作。。的切線，交BC于點E,求證：石是的中點.

第2頁共21頁

第1題圖

2.(2024梅州模擬)如圖，2為0。外一點,PA,可為。。的切線，切點分別

為4B,直線。。交。。于點Q,E,交48于點C

(1)求證：ZADE=ZPAE；

(2)若N4DE=30°,連接助，求證：四邊形40Ap是菱形.

第2題圖

3.如圖，為。。的弦，點4為劣弧前的中點，D為BCk一點、,連接4D,

過點4作。。的切線4E,連接CE,CE〃AD,點F為AEk一點,AF=BD,連

接45,AC,CF.

(1)求證：四邊形4DCE是平行四邊形；

(2)當庭)=斯=；48時，求證：AC=y/2AD.

第3頁共21頁

第3題圖

4.（2023廣東22題12分）綜合探究

如圖①，在矩形48CZ）中（48>40）,對角線4C,相交于點。，點力關(guān)于

AD的對稱點為4.連接4〃交AD于點連接CT.

（1）求證：AA'LCA\

（2）以點。為圓心，OE為半徑作圓.

①如圖②，與CZ）相切，求證：AA'=^3CA'-,

②如圖③，。。與CT相切，40=1,求。。的面積.

第4頁共21頁

類型三與相似三角形結(jié)合

[6年2考:2020.22(2),2019.24(3)]

1.如圖，△48。內(nèi)接于。。，48是。。的直徑，。是。。上一點，連接CZ),

過點。作。。的切線交D8的延長線于點且

(1)求證：AC=CD；

(2)若。。的半徑為5,BC=6,求助的長.

第1題圖

2.如圖，在Rt448C中，ZBAC=90°,D,E分別在邊力比AC±,DE//BC,

△4DE的外接。。與交于點R連接4F,4F平分NA4C

(1)求證：為。。的切線；

(2)若4D-CE=8,求。。的半徑.

第2題圖

第5頁共21頁

3.(2024珠海一模)如圖，43是。。的直徑，。是半圓43的中點，點。是。

。上一點，連接CQ交48于瓦點方是48延長線上一點，且EF=DF.

(1)求證：Qb是。。的切線；

1

(2)連接BC,BD,AD,若tanNBCD=；,DF=3,求。。的半徑.

第3題圖

4.如圖①，在平行四邊形48CQ中，4C為對角線，AB=AC,且△48。內(nèi)接于

QO.

(1)當為。。直徑時，求證：BC=42AB-,

(2)如圖②，當CZ)與。。相切時，求證：四邊形43CQ是菱形；

(3)如圖③，當CD與。。相交于點E時，連接5E,交4C于點R若EF/B

=。杼，求N￡)的度數(shù).

圖①圖②圖③

第4題圖

類型一與銳角三角函數(shù)結(jié)合

第6頁共21頁

1.⑴證明：如解圖，連接4C,

?:48是0。的直徑，AZACB=90°,BPACLBC,

?：/E=/ABC,：.AE=AB,：.BC=EC；

第1題解圖

(2)解：VZDAB=ZBCD,

24

tanZDAB=tan/BCD=—,

,.ZB是。。的直徑，

AZADB=90°,

BD24

.?.t￡anZ/DAAIDB=—=一,

AD7

設(shè)4D=7x,則5O=24x,

：.AB=JAD2+BD2=25X,

.?.由(1)知，AE=AB=25x,

：.DE=AE+AD=25x+lx=32x,

?."=20,

：.BE=2CE=40,

在RtABDE中，

'：BD2+DE^=BE2,

(24x)2+(32x)2=402,解得％=i(負值已舍去)，

.,.AB=25x=25,

GO的半徑為

2.⑴證明：如解圖，連接04,

?.ZC是N3CD的平分線，

第7頁共21頁

，/4CB=N4CD,

，ZAOB=ZAOD,

VZAOB+ZAOD=\30°,

AZAOB=ZAOD=90°,

'JBD//AE,

：.ZOAE=ZAOD=90°,

?「CM是。。的半徑，

.,.4&是。。的切線；

(2)解：如解圖，過點B作瓦LL4C于點R

"."AE//BD,：.ZAEB=ZCBD=60°,

?「AD是。。的直徑，

AZBCD=9Q°,

Z.ZBDC=3Q°,：.BC=^BD=y]2,

:4C平分/BCD,

:./ACB三/BCD=45。,

/.ABCF是等腰直角三角形，

：.CF=BF=BC-sin45°=1,

VZBAC=ZBDC=30°,在/中，AF

.,.^C=^F+CF=V3+1.

%,

/IVxw

/\\ZxJ

第2題解圖

3.(1)證明："：CD=DF,

.?.設(shè)NQC/=ZDFC=a,

第8頁共21頁

AZFDC=1SO°—2a,

'：CD//AB,

：.Z5^F=180°-(180°-2a)=2a,

又.：AB=AF,

：.ZABF=ZAFB^W0°~2a-=90°~a,

2

：.ZCFB=180°-ZDFC-ZAFB=180°—a—(90°-a)=90°,

J.CFLFB-,

(2)證明：如解圖①，取4D的中點0,過點。作。河」5C于點M,

'：AB//CD,ZABC=90°,

：.ZDC5=90°,

X'.'OM±BC,

C.OM//AB,

.?.點M為BC的中點，

1

：.OM=^(AB+CD),

又：力b二43,DF=DC,

：.AD=AF+DF=AB+CD=2OM,

：.OM=^AD=OD,

(W是以4D為直徑的圓的半徑，

X':OMLBC,

：.以4D為直徑的圓與相切；

(3)解：VZDFE=120°,ZABC=90°,CD//EF,AB//CD,

：.EF//AB,

：.ZCDF=60°,ZBAF=12.0°,ZAFE=60°,ZCEF=ZBEF=ZEBA=90°,

又?：DC=DF,

...△QCb為等邊三角形，NDFC=6U°,

第9頁共21頁

：.ZCFE^6Q°,

由⑴得NCE8=90°,

:./EFB=/CFB—/CFE=3S,

,:EF=2,

.?.在中，5￡=EF-tan30°=手，

在Rt△。防中，CE=￡F-tan60°=2K，

如解圖②，過點Q,4分別作m的垂線，交直線反于點“，N,

則四邊形。四邊形EA4N均為矩形，：.CE=DH=243,BE=AN=^,

??S/^ADE—S/^EFD~\~S^EFA

=^EF\DH+AN)

=1X2X(2V3+^)

_8V3

3,

閑i②

第3題解圖

類型二與全等三角形結(jié)合

1.⑴解:VZABC=90°,ZC=30°,

AZA=60°,

?.ZB為0。的直徑，

Z.ZADB=90°,

：.ZABD=30°,

：.AD=^BD,CD=-j3BD,

第10頁共21頁

.AD_^BD_1

''CDy/3BD3；

(2)證明：如解圖，連接OZ>,0E,

?「DE是。。的切線，

：./ODE=90°,

OD=OB,

在RtLOBE與RtAODE中,

OE=OE,

：.RtAO5￡^RtAOD￡(HL),

:.DE=BE,

，/BDE=/DBE,

'：ZDBC+ZC=ZBDE+ZCDE=90°,

：.ZCDE=ZC,

：.DE=CE,

:.BE=CE,

是BC的中點.

._一4

(J

I\I/x1\\、x.

~~

第1題解圖

2.證明：(1)如解圖①，連接。4,

第2題解圖①

是。。的直徑，

AZDAE=90°,

即NNO+NO4E=90°,

第11頁共21頁

為。。的切線，

Z.ZPAO=90°,

即N/ME+NO4E=90°,

：.ZDAO=/PAE,

"：AO=DO,

：.ZDAO=/ADE,

：.ZADE=/PAE；

(2)如解圖②，連接。4,OB,

VZADE=30°,

Z.ZAOE=60°,

為0。的切線，

AZPAO=90°,

：.ZAPO=90°-ZAOE=30°,

：.AD=AP,

'：PA,可為。。的切線，

AZPAO=ZPBO=90°,

'：PO=PO,OA=OB,

：.RtA4P0ZRt△族0(HL),

：.ZAPO=ZBPO=30°,

：.ZADE=ZBPO,

：.AD//PB,

?：PA=PB=AD,

???四邊形ADBP是平行四邊形，

又?：AD=AP,

四邊形405。是菱形.

第12頁共21頁

第2題解圖②

3.證明：(1)如解圖，連接。4,

???點4為劣弧前的中點，4E是。。的切線，

：.OALBC,DALAE,

：.AE//BC,即力百〃CD,

"."CE//AD,

，四邊形ADCE是平行四邊形；

4F1

-一_1

///,/

</Iy

第3題解圖

(2)；BD=AF,BD=EF,

：.AF=EF,：.BD=^AE,

???點4為劣弧前的中點，

：.AB=AC,ZABC=ZACB,

,:BD=%B,

：.BD=%C,：.AC=AE,

由⑴得4E〃CQ,

ZACB=ZCAF,

ZABD=ZCAF,

.,.A^5D^AG4F(SAS),

：.AD=CF,

第13頁共21頁

由(1)知四邊形4DCE為平行四邊形，

：.AD=CE,：.CF=CE,

：./E=ZEFC,

"：AC=AE,

，ZACE=/E=ZEFC,

：.AEFC^AECA,

ECAE

設(shè)EF=x,則4C=4E=2x,

：

EC2x:.CE=&x,.AD=^2x,

:噂=票=a,:.AC=&AD.

ADV2x

4.(1)證明：?.,點4關(guān)于AD的對稱點為"，

：.AE=A'E,AA'±BD,即盟」0月，

???四邊形48CQ是矩形，

：.OA=OC,

石是△ACT的中位線，

：.OE//CA',

：.AA'±CA'；(3分)

⑵①證明：如解圖①，設(shè)CQ與。。相切于點E連接尸。并延長，交48于點G,

C.FGLCD,

二?四邊形48CZ)是矩形，

：.OB=OD=OA=^BD,AB//CD,FG^AB,

：.ZFDO=ZGBO,ZGAO=ZGBO,

'：ZDOF=/BOG,

△DOFQ△B0G(ASA),(5分)

：.OG=OF=OE,

由⑴知

第14頁共21頁

'JOGA^AB,

：.RtADK4^RtAOG^(HL),

/EAO=NGAO,

：.ZGBO=ZEAO,

VZEAB+ZGBO=90°,

：.ZEAO+ZGAO+ZGBO^90°,

：.3ZEAO=90°,

：.ZEAO=30°,

由(1)知凡4」CT,

?，/L“八CA'W

..tanZK4(?=—/i/l3

：.AA'=^CA\(7分)

A)

AnH

第4題解圖①

②解：如解圖②，設(shè)CT與。。相切于點〃，連接。

與CT相切，

J.OHLCA',

由(1)知，AA'LCA',AA'LBD,OA=OC,

???四邊形。/以后為矩形，

"：OE=OH,

：.四邊形OHA，E為正方形，

：.AA'=2A'E=2OH,CA'=2A'H=2OE,

：.AA'=CA',

：.ZA'AC^ZA'CA^45°,

第15頁共21頁

AZAOE=ZACA'=45°,

：.AE=OE,OD=OA=&AE,

設(shè)AE=DE=x,則。。=。4=岳，

:.DE=OD—OE=m—\)x,

在中，x2+[(V2-l)x]2=l2,

：,*=2,即力百2=。石2=3,

44

計

第4題解圖②

類型三與相似三角形結(jié)合

1.(1)證明：如解圖，連接OC,AD,

?「CE是。。的切線，

AZOCE=90°,BPOCLCE.

?:DELCE,

OC//DE,

：.NOCB=/CBE.

?：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZCBE=ZOBC.

?四邊形內(nèi)接于。0,

：.ZCAD=ZCBE.

'：ZADC=ZABC=ZCBE,

：.ZCAD=ZADC,

第16頁共21頁

：.AC=CD-,

第1題解圖

(2)解：：。。的半徑為5,

.?.43=10,

在中，BC=6,：.CD=AC=JAB2~BC2=8.

:/BAC=/BDC,ZACB=ZCED=90°,

:.△ABCsXDCE,

吟福喑即卜齊奈解得小=噌—

在中，BE=IBC2-CE2=^

14

：.BD=DE-BE=^.

2.⑴證明：如解圖，連接OR

VZBAC=90°,.?.￡>E是。。的直徑,

又?：AF平分NA4C,

AZBAF=ZCAF^45°,Z.ZDOF=2ZDAF=90°,

\'DE//BC,：.ZOFB=1SO°-ZDOF=9Q°,

?:8為。。的半徑，

.?.BC為。。的切線；

(2)解：如解圖，連接DREF,

二?四邊形40也是。。的內(nèi)接四邊形，

AZADF+ZAEF=180°,

又：/。即+乙4即=180°,

ZADF=ZCEF,

第17頁共21頁

"：DE//BC,：.ZDEF=ZEFC,

*.?ZDAF=/DEF,

：.ZDAF=ZEFC,

：.ADAF^AEFC,

EFEC

:.EFDF=DAEC=8,

VZDAF=ZCAF=45°,

:.EF=DF,:.EP=8,

:.EF=2\PL

,：OE=OF,

：.OE=—EF=2,

2

???OO的半徑為2.

〃?；V

\V、1/zfIJf.J'八'

第2題解圖

3.(1)證明：如解圖，連接OQ,OC,

是半圓48的中點，

AZAOC=ZBOC=90°,

：.ZOCE+ZOEC=90°.

"：ZOEC=ZDEF,

：.ZDEF+ZOCD=90°.

?：EF=DF,

：.ZDEF=ZEDF,

：.ZEDF+ZOCD=90°.

*.?OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

第18頁共21頁

：./EDF+NODC=90°,

即NO。9=90°,

：.OD±DF,

?:O。為。。的半徑，

二。9是。。的切線；

1

(2)解：VZBCD=ZA,tanZBCD=-,

1

tan=tanZBCD--,

?.ZB是。。的直徑，

AZADB=90°,

'：ZODF=ZADB=90°,

：.ZODA=ZBDF,

又；O4=OD,

NA=NODA,

.../BDF=/A,

'：/F=/F,

：.△FBDS^FDA,

.FB_DF_BD_1

*'FD~AF^DA2'

?；DF=3,

3

:.FB=j,/尸=6,

39

Z.AB=AF~BF=6—5=5,

，oo的半徑為:x[=3.

ZZ4

第19頁共21頁