手拉手模型

手拉手模型:

【特征】：有公共頂點(diǎn)的兩個等腰三角形，頂角相等.

因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象的可以看做兩雙手，所以通常稱為手拉手模型.

【探究】：下面三類“手拉手”會得到哪些結(jié)論呢?

①等邊三角形手拉手

②等腰直角三角形手拉手(正方形手拉手等)

③任意等腰三角形手拉手

【舉例】：如何尋找基本全等三角形

【結(jié)論】：△頭左左之△頭右右(SAS)

如何判斷“頭”和“左右手”.

頭：公共頂點(diǎn)；

左右手：

想象一個人趴在等腰三角形中，頭是三角形的頂點(diǎn)，左手能摸到的底角標(biāo)記為左；右手能摸到的底角標(biāo)記為右.

接下來讓左手拉(連線)左手，右手拉右手，就得到了小頭左左空△頭右右.

真題精煉

1已知乙MAN=a(00<a<45。)，，點(diǎn)B,C分別在射線AN,AM上，將線段BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)180。-

2a得到線段BD,過點(diǎn)D作AN的垂線交射線AM于點(diǎn)E.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在射線AN上時，求證：C是AE的中點(diǎn).

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在/MAN內(nèi)部時，作DF〃AN,交射線AM于點(diǎn)F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

2在綜合實(shí)踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般

情況，證明結(jié)論如圖，已知△ABC,CA=CB,G)O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D在。。上(AD>BD),連接AD、BD、CD.

【特殊化感知】

⑴如圖1,若乙4cB=60。,點(diǎn)D在AO延長線上，則AD-BD與CD的數(shù)量關(guān)系為一；

【一般化探究】

(2)如圖2,若/ACB=60。,點(diǎn)C、D在AB同側(cè)，判斷AD-BD與CD數(shù)量關(guān)系并說明理由;

【拓展性延伸】

(3)若NACB=a,直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含a的式子表示)

3【模型建立】⑴如圖1,AABC和4BDE都是等邊三角形，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在BD邊上.①求證:

AE=CD;②用等式寫出線段AD,BD,DF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【模型應(yīng)用】(2)如圖2.AABC是直角三角形，AB=AC,CD±BD,垂足為D,點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在BD

邊上.用等式寫出線段AD,BD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】(3)在⑵的條件下，若AD=4V2,SO=3CD,,求cosZAFB的值

4通過探究圖形變化規(guī)律，再結(jié)合內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到數(shù)學(xué)天地.

備用圖

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在4ABC和4AEF中，AB=AC,AE=AF^BAC=/.EAF=30。,,連接BE,CF,延長BE

交CF于點(diǎn)D.則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：,/-BDC=一。；

(2)類比探究：如圖2,在^ABC和4AEF中,AB=AC,AE=AFABAC=AEAF=120。,，連接BE,CF,延長

BE,FC交于點(diǎn)D.請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及/BDC的度數(shù)，并說明理由；

⑶拓展延伸：如圖3,△ABC和小AEF均為等腰直角三角形，^BAC=Z.EAF=90。,連接BE,CF,且點(diǎn)B,E,

F在一條直線上，過點(diǎn)A作AMLBF,垂足為點(diǎn)M.則BF,CF,AM之間的數(shù)量關(guān)系：；

5(1)已知:如圖，AABC為等邊三角形點(diǎn)D為BC邊上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)以AD為邊作等邊△ADE

，連接CE.

求證：(1)①BD=CE;②NDCE=120°;

⑵如圖，在4ABC中,.Z-BAC=900,AC=48,,點(diǎn)D為BC上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，以AD為邊作

等腰RtAADE,ZDAE=90。(頂點(diǎn)A、D、E按逆時針方向排列)，連接CE,類比題(1)請你猜想：①NDCE的度數(shù)；

②線段BD、CD、DE之間的關(guān)系，并說明理由；(3)如圖,在⑵的條件下，若D點(diǎn)在BC的延長線上運(yùn)動，以AD

為邊作等腰Rt△XDE.ZDAE=90°(]?*AsD、E按逆時針方向排列)，連接CE;①則題(2)的結(jié)論還成立嗎?請直

接寫出，不需論證；②連結(jié)BE,若BE=10,BC=6,直接寫出AE的長.

6.AABC和4ADE都是等邊三角形.

⑴將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時連接BD,CE并延長相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合)有PA+PB=PC

(或PA+PC=PB)成立；請證明.

⑵將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD,CE相交于點(diǎn)P，連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間有怎

樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明；

⑶將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PBPC之間有怎

樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論，不需要證明.

7兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等

的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,若△力BC和△4DE是頂角相等的等腰三角形，BC,DE分別是底邊.求

證：BD=CE-.

⑵解決問題：如圖2,若△2CB和△DCE均為等腰直角三角形，

直線上，CM為△DCE沖DE邊上的高，連接BE,請判斷乙4EB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由.

8如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△4BC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。,,

得至11線段AE,連接BD,DE,CE.

圖1

⑴判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明.

⑵延長ED交直線BC于點(diǎn)F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時,直接用等式表示線段AE,BE和CE的數(shù)量關(guān)系為

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED=EC時，猜想/BAD的度數(shù)，并說明理由.ED=EC^BAD

圖3

9正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，且BE=。凡，連接EF交邊AD于點(diǎn)G.過點(diǎn)A作2N回EF,垂足

為點(diǎn)M,交邊CD于點(diǎn)N.若BE=5,CN=8,,則線段AN的長為.

10如圖1,在Rt△48c中，ABAC=90。,AB=AC,,D為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時△4BC針

旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接CE,BD的延長線與CE交于點(diǎn)F.

(1)求證：BD=CE,BD1CE.

⑵如圖2,連接AF,DC,已知/.BDC=135。，，判斷AF與DC的位置關(guān)系，并說明理由.

11已知在△ABC中，。為BC邊的中點(diǎn)，連接AO,將△AOCC繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角為鈍角)，得

至I」△EOF,連接AE,CF.

(1)如圖1,當(dāng)/-BAC=90。且AB=2C時，貝UAE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系量.

⑵如圖2,當(dāng)ABAC=90。且AB*4C時，⑴中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請寫出證明過程；若不成立，

請說明理由.

(3)如圖3,延長AO到點(diǎn)D,使(0D=04,連接DE,當(dāng)AA0=CF=5,BC=6'=6時，求DE的長.

12正方形ABCD，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,邊FG與正方形ABCD

對角線AC相交于點(diǎn)H,連接DG.以下結(jié)論:①/EAB=NGAD;②△AFCs/\AGD;③2AE2=AHAC;（④DGLAC.正確

個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

13如圖，在△ABC中,/CAB=55M/ABC=25。，在同一平面內(nèi)，將小ABC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)70。，得至以ADE,

連接EC,貝han/DEC的值是.

AB

14如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b,正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論:①BE=

DG;②BE_LDG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正確結(jié)論是

15如圖，.AC1BC,DC1EC,AC=BC,DC=EC,,AE與BD交于點(diǎn)F.

⑵求N/1FD的度數(shù)

16.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三

角形DEF,連接CF.

(1)【問題解決】

如圖1,若點(diǎn)D在邊BC上,求證：CE+CFCD.

⑵【類比探究】

如圖2,若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

17如圖1,△ABC和4DCE都是等邊三角形.

△85與4ACE是否全等?若全等，加以證明；若不全等，請說明理由.

（2）拓展運(yùn)用：

若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，Z.ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的長.

（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2）,且△2BC和△DCE的邊長分別為1和2,求4ACD的面積及AD

的長.

18如圖1,在△ABC中,ZX=90°,AB=AC=42+1,*D,E分別在邊AB,AC上，且AD=AE=1,連接DE,現(xiàn)

將4ADE繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（a（0。<a<360。）,如圖2,連接CE,BD,CD.

⑴當(dāng)（00<a<180。時,求證:CE=BD.

⑵如圖3,當(dāng)a=90。時，延長CE交BD于點(diǎn)F，求證:CF垂直平分BD.

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，求小BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

19.AABC為等邊三角形，AB=8,4D團(tuán)BC于點(diǎn)D,E為線段AD上一點(diǎn)，.AE=2遍以AE為邊在直線AD

右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE,N為CE的中點(diǎn).

備用圖

⑴如圖1,EF與AC交于點(diǎn)G,連接NG,求線段NG的長.

⑵如圖2,將△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,M為線段EF的中點(diǎn)，連接DN,MN.當(dāng)30。<a<12

0。時，猜想NDNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論.

⑶連接BN,在AAEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段BN最大時，請直接寫出△4DN的面積.

20.如圖1,在等腰直角三角形ADC中，^ADC=90"。=4.點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG

⑴如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,

①判斷△4GD與△CED是否全等，并說明理由.

②當(dāng)CE=C。時，AG與EF交于點(diǎn)H,求GH的長.

⑵如圖3,延長CE交直線AG于點(diǎn)P.

A

圖3

①求證：AG1CP.

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

21.回答下列問題：

(1)如圖1.在RSABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B。重合)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。

得至UAE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為.

(2)如圖2,在RtAABC與Rt△ABCRt△2DE中,.AB=AC,AD=ADIA2DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D

落在BC邊上，試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中”4ABC=^ACB=AADC=45。.若BD=9,CD=3,求AD的長.

22如圖,在2ABC中,乙ABC=90MB=BC=2.將A2BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)(60。彳導(dǎo)到2則AC邊

的中點(diǎn)D與其對應(yīng)點(diǎn)A的距離是.

23如圖在△OABfflAOCD中QA=OB,OC=OD,OA>OC,NAOB=/COD=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M,連接OM.

下列結(jié)論:①AC=BD;②NAMB=40。;③OM平分/BOC;④MO平分NBMC,其中正確的個數(shù)為（）

24已知△ABC^AADE是等腰三角形,NBAC=NDAE=90。，BD,CE交于點(diǎn)F,連接AF.結(jié)論:①BD=CE;②BFLC

F;③AF平分/CAD;④/AFE=45。.正確結(jié)論個數(shù)有0.

A.1個B.2個C.3個D.4個

25如圖,△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在一條直線上，連接BE、AD,點(diǎn)M、N分別是線段B

E、AD上的兩點(diǎn)，且BM=^BE,AN=:力。很必CMN的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.不等邊三角形

26如圖，點(diǎn)A,B,C在一條直線上，△ABDABCE均為等邊三角形，連接AE和CD,AE分別交CD、BD

于點(diǎn)M、P,CD交BE于點(diǎn)Q,連接PQ,BM.

下列結(jié)論：①△ABEgZkDBC;②/DMA=60。;③ABPa為等邊三角形;④MB平分NAMC.

其中結(jié)論正確的有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

27四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,BD長為.

1已知/MAN=a(00<a<45。),點(diǎn)B,C分別在射線AN,AM上,將線段BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)180。-2a

得到線段BD，過點(diǎn)D作AN的垂線交射線AM于點(diǎn)E.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在射線AN上時，求證：C是AE的中點(diǎn).

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在/MAN內(nèi)部時，作DF〃AN,交射線AM于點(diǎn)F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【答案】⑴見解析

⑵EF=2AC,證明見解析

【解析】⑴連接CD,

由題意得:BC=BD,NCBD=18()o-2a,

???ZBDC=ZBCD=a,

*.*ZA=a,

???ZBDC=ZA,

???CA=CD,

VDEXAN,

???Zl+ZA=Z2+ZBDC=90°,

.\Z1=Z2,

???CD=CB,

???CA=CE,

???點(diǎn)C是AB的中點(diǎn).

⑵EF=2AC證明如下:

在射線AM上取點(diǎn)H，使得BH=BA,取EF的中點(diǎn)G,連接DG,

VBH=BA,

???ZBAH=ZBHA=a,

???ZABH=180°-2a=ZCBD,

???/ABC二NHBD,

VBC=BD,

JAABC^AHBD(SAS),

???AC=DH,ZBHD=ZA=a,

???ZFHD=ZBHA+ZBHD=2a,

???DF〃AN,

JZEFD=ZA=a,ZEDF=Z3=90°,

??,G是AE的中點(diǎn)，

.*.GF=GD,EF=2GD,

???ZGFD=ZGDF=a,

???ZHGD=2a,

ZHGD=ZFHD,

ADG=DH,

VAC=DH,

/.DG=AC,

.*.EF=2AC

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)

2.在綜合實(shí)踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般

情況，證明結(jié)論.如圖，已知△ABC,CA=CB,OO是小ABC的外接圓，點(diǎn)D在00上(AD>BD)，連接AD、BD、CD.

【特殊化感知】

⑴如圖1,若NACB=60。點(diǎn)D在A0延長線上，則AD-BD與CD的數(shù)量關(guān)系為；【一般化探究】

⑵如圖2,若/ACB=60。點(diǎn)C、D在AB同側(cè)，判斷AD-BD與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展性延伸】

(3)若/ACB=a,直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含a的式子表示)

【答案】(1)AD-BD=CD;

⑵AD-BD=CD,理由見解析.

(3)當(dāng)點(diǎn)0、D在AB同側(cè)時AD-BD2CD-sin(a;當(dāng)點(diǎn)C、D在AB兩側(cè)時，AD+BD=2CD-sin|a.

【解析】(2)若^ACB=60。,點(diǎn)C、D在AB同側(cè),AD-BD與CD的數(shù)量關(guān)系為:AD-BD=CD,理由延長BD至點(diǎn)E

使DE=OD,連接CE,如圖.

【模型建立】

⑴如圖1,△ABC和仆BDE都是等邊三角形，點(diǎn)0關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在BD邊上.

①求證:AE=CD;

②用等式寫出線段AD,BD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

E

⑵如圖2,AABC是直角三角形,AB=AC,CD，BD,垂足為D,點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在BD邊上.用等式寫出線

段AD,BD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

B

0

E

???CA=CB/ACB=60°,

△ABC為等邊三角形,

??.ABAC=乙ACB=/.ABC=60°,

???四邊形ABDC為圓的內(nèi)接四邊形，

???乙CDE=ABAC=60°,

???DE=CD,

???△CDE為等邊三角形，

???CE=CD,ZDCE=ZE=60°,

Z.ACD=乙ACB+乙BOD=60°+乙BCD,

???乙BCE=乙BCD+乙DCE=60°+(BCD,

：.ZACD=ZBCE.

ZADC=ZABC=60°,

JZADC=ZE=60°.

在^ACD和^BCE中，

"CD=乙BCE

[CD=CE

/-ADC=乙E

：.AACD^ABCE(ASA),

二?AD=BE,

BE二BD+DE=BD+CD,

二?AD=BD+CD.

???AD--BD=CD.

3.【模型建立】

⑴如圖1,△ABC和^BDE都是等邊三角形，點(diǎn)O關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在BD邊上.

①求證:AE=CD;

②用等式寫出線段AD,BD,DF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖?,△ABC是直角三角形,AB=AC,CD，BD,垂足為D點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在BD邊上.用等式寫出

線段AD,BD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若AD=4V2fBD=3CD,求cosNAFB的值.

【答案】⑴①見解析;②AD=DF+BD,理由見解析；⑵V^AD=DF+BD,理由見解析；(3)y

【解析】(1)①證明:VAABC和^BDE都是等邊三角形，

..AB=BC,BE=BD,ZABC=ZEBD=60°,

JZABC-ZCBE=ZEBD-ZCBE,

.*.ZABE=ZCBD,

???AABB>ACBD(SAS).

AAE=CD.

VDF和DC關(guān)于AD對稱，

???DF=DC.

VAE=CD,

AAE=DF.

二?AD=AE+DE=DF+BD.

(2)但AD=DF+BD.理由如下:

過點(diǎn)B作BE±AD于點(diǎn)旦得NBED=90。,具體如下圖所示.

B

???DF和DC關(guān)于AD又寸稱，

JDF二DC,NADP=NADC.

VCD±BD,

JZADF=ZADC=45°,

???NEBD=45。

DE=—BD.

2

???AABC是直角三角形,AB=AO,

???/.ABC=^°fAB=^-BCf

：.ZABC—ZCBE=ZEBD—ZCBE,

JZABE=ZCBD,

sinNABE=sinNCBD,

AECD

ABBC

AAEBC=CDAB,

???AE=—CD.

2

AD=AE+DE=^CD+^BD=^DF+即V2AD=DF+BD.

(3)：BD=3CD=3DF,

/.V2AD=DF+3DF=4DF,

：AD=4V2

；.DF=DC=2,

；.BD=6.

過點(diǎn)A作AHEIBO于點(diǎn)H,具體如下圖所示.

H

r>

vAB=AC=AF,

：.HF=^BF=|(BD-DF)=2,BC=y/BD2+CD2=V62+22=2A/10

AF=AC=—BC=—x2V10=2V5.

22

HF2V5

???COSZ-AFB=—=~7==一.

AF2V55

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】全等三角形

4綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他

數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在△ABC和△4EF中，AB=AC,AE=AF,ABAC=^EAF=30。,連接BE,OF,延長

BE交CF于點(diǎn)D.則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：.

(2)類比探究:如圖2,在4ABC和4AEF中,AB=AC,AE=AF,/BAC=NEAF=120。,連接BE,CF,延長BE,FC交于點(diǎn)

D，請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及/BDC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸:如圖3,AABC和4AEF均為等腰直角三角形,NBAC=NEAF=90。,連接BE,CF,且點(diǎn)B,E.F在一條直

線上，過點(diǎn)A作AMLBF.垂足為點(diǎn)則BF,CF,AM之間的數(shù)量關(guān)系：；

【答案】(l)BE=CF,;30

⑵BE=CF,/BDC=60。,證明見解析.

(3)BF=CF+2AM

【解析】(l)：/BAC=NEAF=30。，

ZBAE=ZCAF,

又；AB=AC,AE=AF,

BAE+ACAF,

??.BE=CF,ZABE=ZACF

設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O.

ZAOD=ZACF+ZBDC=ZABE+ZBAO

ZBDC=ZBAO=ZBAC=30°,

故答案為:BE=CF,30.

(2)結(jié)論:BE=CF,/BDC=60。；

證明：：ZBAC=ZEAF=120°,

/.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即/BAE=/CAF.

X\,AB=AC,AE=AF,

.,.△BAE^ACAF

/.BE=CF,ZAEB=ZAFC

ZEAF=120°,AE=AF,

ZAEF=ZAFE=30°,

.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+30°-(ZAFC-30°)=60°,

(3)BF=OF+2AM，理由如下，

ZBAC=ZEAF=90°,

ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即/BAE=/OAF,

又AABC和4AEF均為等額直角三角形

；.AB=AC,AE=AF,

.,.△BAE^ACAF(SAS),

/.BE=CF,

在RSAEF中,AM_LBF,

AM=^EF=EM=MF,

：.BF=BE+EF=OF+2AM;

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】等腰三角形

5(1)已知：如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，以AD為邊作等邊

AADE.連接CE.

求證：

⑴①BD=CE;

②/DCE=120°;

⑵如圖，在△ABC中,NBAC=9(F,AC=AB點(diǎn)D為BC上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C圓合)以AD為邊作等腰Rt

△ADE,NDAE=90。(頂點(diǎn)A、D、E按逆時針方向排列)，連接CE,類比題

⑴請你猜想：

①NDCE的度數(shù)；

②線段BD、CD、DE之間的關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖,在(2)的條件下，若D點(diǎn)在BC的延長線上運(yùn)動，以AD為邊作等腰RtAADE,

NDAE=90。(頂點(diǎn)A、D、E按逆時針方向排列)，連接CE;

①則題(2)的結(jié)論還成立嗎?請直接寫出，不需論證；

②連結(jié)BE若BE=10,BC=6,直接寫出AE的長.

【答案】(1)①見解析;②見解析；

<2)0120°;@BD2+CD2=DE2,理由見解析；

(3)①結(jié)論還成立，理由見解析；②V34

【解析】

【分析】

⑴①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出NBAC=NDAE=6(F,AB=AC,AD=AE,進(jìn)而就可以得出4ABD^AACE,

即可得出結(jié)論；

②由△ABD<AACE以及等邊三角形的性質(zhì)，得出NACE=NB=60。,則

ZDCE=ZACE+ZACB=120°;

(2)先判定△ABD之Z\ACE(SAS)彳導(dǎo)出NACE=/B=45o,BD=OE,在R3DCE中，根據(jù)勾股定理得出CE2+C

D2=即可得到BD2+CD2=DE2;

(3)①運(yùn)用⑵中的方法得出BD2+CD2=。產(chǎn)；②根據(jù)R3BCE中,BE=10,BO=6,求得CE=8,進(jìn)而得出CD=8-6=2,

在RtADCE中，求得DE=68,最后根據(jù)4ADE是等腰直角三角形，即可得出AB的長.

(1)@VAABC和4ADE是等邊三角形,AB=AO,AD=AE,NACB=NB=6(F,/BAC=NDAE=60。,；.ZBAC-ZD

AB^AC

{器如''：J3D■OB'?，ABD△ACE,ZACE=

ZB=60°,；.ZDCE=ZACE+ZACB=60°+60°=120°;

(2)①；/BAC=/DAE=90。,../BAC-/DAC=/DAE-/DAC,即

AB=AC

ZBAD=ZCAE,ISAABD與△ACE中，{/BAD=zCEAAABD^AACE(SAS)

AD=AE

ZACE=ZB=45°.BD=CE,/.ZACE+ZACB=ZB+ZACB=90°,

乙BCE=90°,即/DCE=90°,②BD2+CD2=DE2,理曲：NDCE=90°,.?.在RtADCE

中,由勾股定理可得：CE2+CD2=DE2,-：BD=CE,BD2+CD2=DE2;

(3)①(2)中的結(jié)論還成立.理由:：NBAC=/DAE=90。,..

NBAC+NDAC=NDAE+/DAC,即/BAD=/CAE〃AABD與4ACE中，

CABCDC,ZCAE.ABCAC,ZABD,ZACD=ZZBCADE=ZACDE=CB.ZADE=CB=CB.

ZACE+ZACB=ZABC+ZACB=90°,?.ZBCE=90°=ZECD,Z.RtADCE中，

CE2+CD2=DE2,：.BD2+CD2=DE2??VRtABCE中,BE=10,BC=6,.

:..口Q-OH-O.DCE中，zw-aw+-與中_"68,；.△ADE是等腰直角三角形,.

=^=V34.

V2

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾

股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】全等三角形

6AABO和4ADE都是等邊三角形.

⑴將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD,CE并延長相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合)，有PA+PB=PC(或

PA+PC=PB)成立請證明.

(2)WAADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣

的數(shù)量關(guān)系?并加以證明；

(3)WAADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣

的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論，不需要證明.

【答案】⑴證明見解析

(2)圖②結(jié)論：PB=PA+PC,證明見解析

⑶圖③結(jié)論:PA+PB=PC

【解析】

【分析】

⑴由△ABC是等邊三角形，得AB=AC,再因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)A重合，所以PB=AB,PC=AC,PA=O,即可得出結(jié)論；

(2)在BP上截取BF=CP,連接AF,證明△BADMCAE(SAS)彳導(dǎo)NABD=NACE,再證明△CAPNABAF(SAS),

得/CAP=/BAF,AF=AP,然后證明^AFP是等邊三角形，得PF=AP,即可得出結(jié)論；

(3)在CP上截取CF=BP，連接AF,證明△BAD^^CAE(SAS)，得NABD=NACE,再證明△BAP之ACAFISAS)

彳導(dǎo)出/CAF=/BAP,AP=AF,然后證明小AFP是等邊三角形彳導(dǎo)PF=AP,即可得出結(jié)論:PA+PB=PF+CF=PC.

(1)

證明：:△ABC是等邊三角形，

；.AB=AC,

:點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，

.PB=AB,PC=AC,PA=O,

PA+PB=PC或PA+PC=PB;

(2)

解:圖②結(jié)論:PB=PA+PC

證明:在BP上截取BF=CP,連接AF,

E

???AABC和^ADE都是等邊三角形，

???AB=AC,AD=AE,ZBAO=ZDAE=60°

???NBAC+NCAD=NDAE+NCAD;

???NBAD=NCAE,

AABAD^ACAE(SAS),

???ZABD=ZACE,

VAC=AB,CP=BF,

.,.△CAP^ABAF(SAS),

ZCAP=ZBAF,AF=AP,

???ZCAP+ZOAF=ZBAF+ZCAF,

???ZFAP=ZBAC=60°,

「.△AFP是等邊三角形，

???PF=AP,

???PA+PC=PF+BF=PB;

(3)

解:圖③結(jié)論:PA+PB=PC,

理曲在CP上截取CF=BP,連接AF,

:△ABC和^ADE都是等邊三角形，

.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°

JNBAC+NBAE=NDAE+NBAE,

ZBAD=ZCAE,

:?△BAD之ZXCAE(SAS),

ZABD=ZACE,

VAB=AC,BP=CF,

AABAP^ACAF(SAS),

JZCAF=ZBAP,AP=AF,

NBAF+NBAP=NBAF+NCAF,

JZFAP=ZBAC=60°,

.?.△AFP是等邊三角形，

：PF=AP,

；.PA+PB=PF+CF=PC,

即PA+PB=PC.

【點(diǎn)睛】

本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】全等三角形

7兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等

的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若4ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC,DE分別是底邊.求證:BD=CE;

⑵解決問題:如圖2若小ACB和aDCE均為等腰直角三角形,NACB=/DCE=90。,點(diǎn)A,D,E在同一條直線上，

CM為4DCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷/AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)ZDCE=90°;AE=AD+DE=BE+2CM

【解析】

【分析】

⑴先判斷出/BAD=/CAE,進(jìn)而利用SAS判斷出△BAD0z\CAE,即可得出結(jié)論；

(2)同(I)的方法判斷出△BAD且ACAH得出AD=BE,NADC=/BEC,最后用角的差.即可得出結(jié)論

(1)

證明：ADE是頂角相等的等腰三角形，

/.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,

ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

ZBAD=ZCAE.

在4BAD和4CAE中，

AB=AC

{^BAD=^CAE,

AD=AE

：.ABAD^ACAE(SAS),

；.BD=CE.

(2)

解:ZAEB=90°,AE=BE+2CM.

理由如下:由(1)的方法得,△ACDaABCE,

AD=BE,NADC=/BEC,

?.?△ODE是等腰直角三角形，

.,.ZCDE=ZOED=45°,

ZADC=180°-ZCDE=135°,

ZBEC=ZADC=135°,

.-.乙AEB=乙BEC-/-CED=135°-45°=90°.

：CD=CE,CM_LDE,

；.DM=ME、

???乙DCE=90°,

；.DM=ME=CM,

；.DE=2CM.

AE=AD+DE=BE+2CM.

【點(diǎn)睛】

此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性

質(zhì)，判斷出△ACD0ABCE是解本題的關(guān)鍵.

8如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在4ABC的內(nèi)部,連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,

得到線段AE,連接BD,DE,CE.

(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明.

⑵延長ED交直線BC于點(diǎn)F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數(shù)量關(guān)系為-

3(F)C

圖2

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED=EC時，猜想/BAD的度數(shù)，并說明理由.

圖3

【答案】⑴BD=O已證明見解析

(2)①BE=AE+CE

②NBAD=45。,理由見解析

【解析】(1)：AABC是等邊三角形，

,AB=AC,ZBAC=60°.

:線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AE,

..AD=AE,ZDAE=60°,

,ZBAC=ZDAE,

,.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即/BAD=NCAE.

在4ABD和4ACE中.

AB=AC

(^BAD=^CAE,

AD=AE

..AABD^AACE(SAS),

..BD=CE.

(2)?BE=AE+CE,

理由：\?線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AE,

??.△ADE是等邊三角形，

；.AD=DE=AE,

由⑴得BD=CE.

BE=DE+BD=AE+CE.

②過點(diǎn)A作AGXEF于點(diǎn)G,連接AF,如下圖.

AADE是等邊三角形,AGLDE,

.-.Z.DAG=-ADAE=30°,

2，

???-=cosZ-DAG——.

AD2

AABC是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BO的中點(diǎn)，

???BF=CF,AF1BC/BAF=|z.BXC=30°,

AFATV3

???——=cosZ-BAF=—,

AB2

c“r*iacAGAF

???/-BAF=Z.DAG,—=—

ADAB

/-BAY+Z-DAF=/-DAG+Z-DAF

即/BAD二NFAG,

AABAD^AFAG,

ZADB=ZAGF=90°.

VBD=CE,CE=DE=AD,

ABD=AD,

即小ABD是等腰直角三角形,

/BAD=45°

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定綜合

9如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且BE=DF,連接EF交邊A

D于點(diǎn)G.過點(diǎn)A作AN_LEF,垂足為點(diǎn)M，交邊OD于點(diǎn)N.若BE=5,CN=8則線段AN的長為

【答案】4V34

【解析】如圖.連接AE,AF,EN,

:四邊形ABCD為正方形，

AB=AD=BC=CD,ZABE=ZBCD=ZADF=90°,

；BE=DF,

AABE^AADF(SAS),

/.ZBAE=ZDAF,AE=AF,

ZEAF=ZBAD=90°,

.?.△EAF為等腰直角三角形，

VANXEF,

/.EM=FM,ZEAM=ZFAM=45°,

.?.△AEM絲△AFM(SAS),△EMN^AFMN(SAS).

；.EN=FN,

設(shè)DN=x,

VBE=DF=5,ON=8,

；.CD=CN+DN=x+8,

；.EN=FN=DN+DF=x+5,CE=BC-BE=CD-BE=x+8-5=x+3在R3ECN中，由勾股定理可得：

CN2+CE2=EN2,

aB2+(x+3)2=(x+5>,

解得:x=12,

DN=12,AD=BC=BE+CE=5+x+3=20,

???AN=y/AD2+DN2=V202+122=4V34.

故答案為：4V34

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】正方形與全等綜合

10如圖1,在RSABC中,/BAC=90。，AB=AC,口為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

連接CE,BD的延長線與CE交于點(diǎn)F.

(1)求證:BD=CE,BD_LCE.

⑵如圖2,連接AF,DC,已知NBDC=135。判斷AF與DC的位置關(guān)系,并說明理由、

【答案】⑴證明見解析

⑵AF//CD、證明見解析、

【解析】⑴如圖1,；線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

.*.AD=AE,ZDAE=90°,

ZBAC=90°,

,ZBAC=ZDAE,

,.ZBAD=ZCAE,

在仆ABD和4CAE中，

AB=AC

{ABAD=^CAE

AD=AE

：.AABD^ACAE(SAS),

..BD=CE.ZABD=ZACE,

又：/AOB=/COF,

ZBFC=ZBAC=90°,

.BD±CE.

(2攻口圖2,作AG_LBF于G,AH_LCE于H,

由(1)知4ABD^ACAE,

.\AG=AH,

又：AG_LBF,AH_LCE,

AAF平分/BFE,

XVZBFE=90°,

AAAFD=45",

???乙BDC=135°,

.-./.FDC=45°,

ZAFD=ZFDC.

11已知在△ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將△AOC繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角為鈍角)狷到△E

OF,連接AE,CF.

⑴如圖1,當(dāng)/BAC=90。且AB=AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)/BAC=90。且AIVAC時,⑴中的結(jié)論是否仍然成立?若成立.請寫出證明過程；若不成立，請說明理

由.

S2

⑶如圖3,延長AO到點(diǎn)D,使OD=OA,連接DE,當(dāng)AO=CF=5,BC=6時，求DE的長.

期3

【答案】(1)AE=CF

⑵成立；證明見解析.

【解析】⑴；AB=AC,NBAC=90。,。為BC中點(diǎn),

0A=OC=：1BC,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,△AOC^AEOF,

,OA=OE,OC=OF,ZAOC=ZEOF,

..OA=OC=OE=OF,

ZAOC+ZCOE=ZEOF+ZCOE,

即NAOE二NCOF,

在^AOB和^COF中

OA=OC

{^AOE=(COF,

OE=OF

△AOE之△COF(SAS),

???AE=CF.

(2)⑴中結(jié)論仍然成立；理由如下：

ZBAC=90°,O是BC中點(diǎn)，

?..OA=OC=抑1，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,△AOC之△EOF,

,.,OA=OE,OC=OF,ZAOC=ZEOF,

???OA=OC=OE=OF,ZAOC+ZOOE=ZEOF+ZCOE,

即NAOE=NCOF,

在^AOE和^COF中

OA=OC

{Z-AOE=乙COF,

OE=OF

：.AAOE^AOOF(SAS),

???AE=CF.

⑶由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,△AOC^AEOF,

OA=OE,OC=OF,ZAOC=ZEOF,

OA_OE

oc-OF'

丁ZAOC=ZEOF,

OA=OE,OO=OF,ZAOC=ZEOF,

OA_OE

oo-OF)

ZAOC=ZEOF,

???ZAOC+ZCOE=ZEOF+ZOOE,

即/AOE=/COF,

AAOE^ACOF,

AE_OA

CF-OC'

；AO=CF=5,BC=6,O是BC中點(diǎn),

OC=-BC=3,

2

tAE_5

一5一3，

25

???AAEL=一,

3

ZOAE=ZOEA,ZOED=ZODE,

:ZOAE+ZOEA+ZOED+ZODE=180°,

J2ZOEA+2ZOED=180°,

..ZOEA+ZOED=ZAED=90°,

VAD=OA+OD=10.

DE=s/AD2-AE2=J102-(y)2=苧

12.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,邊FG與正方

形ABCD的對角線AC相交于點(diǎn)H,連接DG.以下四個結(jié)論：

①NEAB=/GAD;

②△AFCS/\AGD;

@2AE2=AH-AC;

@DG±AC.

其中正確的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】：四邊形ABCD,四邊形AEFG者B是正方形，.?./EAG=/BAD=90o,NFAG=/AFG=/DAC=/ACB

=453=V2AG,AC=V2AD,

ZEAG-ZBAG=ZBAD-ZBAG,

/EAB=/DAG,故①正確；

???AF=aAG,AC=42AD,

:.空=近=處,

AGAD

???Z.FAG=/-CAD=45°,

JZFAC=ZDAG,

△FAC