第1頁/共1頁江蘇省2025年中職職教高考文化統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．本卷分為試卷和答題卡兩部分，考生必須在答題卡上作答，作答在試卷上無效．2．作答前務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號準(zhǔn)確清晰地填寫在試卷和答題卡的指定位置．3．考試結(jié)束時，須將試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列每小題中，選出一個正確答案，將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑）1.下列對象不能組成集合的是（）A.乖巧聽話的孩子 B.中國古代四大發(fā)明C.小于30的正整數(shù) D.26個小寫英文字母【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的特征，即可求解.【詳解】集合中的元素具有確定性、互異性、無序性．對于A：“乖巧聽話”沒有明確的、客觀的界定標(biāo)準(zhǔn)，不滿足元素的確定性，所以不能組成集合，所以A符合題意；對于B：“中國古代四大發(fā)明”(造紙術(shù)、印刷術(shù)、火藥、指南針)是明確的、確定的，可以組成集合，所以B不符合題意；對于C：“小于30的正整數(shù)”，這些數(shù)是明確可確定的，能組成集合，所以C不符合題意；對于D：“26個小寫英文字母”是確定的，也能組成集合，所以D不符合題意.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)為實數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)概念，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)為實數(shù)，所以虛部，即，所以復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：D.3.已知向量，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的線性運算的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】已知，則，又，所以.故選：．4.已知是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充要條件與必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時，比如，不能推出．當(dāng)成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”；所以“”是“”的必要而不充分條件，故選：B．5.已知，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式計算求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B.6.已知，則的值是（）A.15 B.21 C.30 D.42【答案】A【解析】【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)，求，再根據(jù)組合數(shù)公式求解即可.【詳解】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，因為，則．所以，可得.故選：．7.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的底面半徑是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐母線長為，底面半徑為，由圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為得出與的關(guān)系，再由側(cè)面積為即可求解.【詳解】設(shè)圓錐母線長為，底面半徑為．圓錐側(cè)面展開圖圓心角為即，其弧長等于底面圓周長，有，得．又圓錐側(cè)面積，將代入可得，解得.故選：C.8.已知平行四邊形，點在對角線上，，且，則等于（）A.3 B.4 C.6 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)和向量運算性質(zhì)，即可求出.【詳解】在平行四邊形中，對角線，又，，已知，則.故選：C.9.已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，則的最小值是（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】的最小值即焦點到漸近線的距離，根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程，利用點到直線的距離公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】對于雙曲線，這里，則，右焦點，漸近線方程為.最小值即焦點到漸近線的距離，取漸近線，即，則到該漸近線的距離，所以最小值為.故選：B.10.若實數(shù)滿足，其中，則的最小值是（）A. B. C.5 D.25【答案】C【解析】【分析】令，結(jié)合題意將變形成，利用均值不等式即可得解.【詳解】實數(shù)滿足，其中，令，則x=m?2，y=n+1已知，將變形為，展開可得：，對于，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值是5，故選：.二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11.函數(shù)的最小正周期是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性，即可求解.【詳解】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性可知，函數(shù)的最小正周期為．故答案為：.12.若數(shù)列的前項和為，則_____．【答案】27【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列前項和與通項的關(guān)系，分析求解即可.【詳解】由數(shù)列前項和與通項的關(guān)系可得：，因為，所以，所以．故答案為：.13.以圓的圓心為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____．【答案】【解析】【分析】先求出圓圓心坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【詳解】由圓的一般方程為，所以圓心為，所以拋物線的焦點為，故拋物線的焦點在軸負半軸，開口向左，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，所以，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.14.已知分別是正方體的邊上的點，若，則異面直線與所成的角等于_____.【答案】【解析】【分析】利用平面幾何證得，再利用平行線的傳遞性得到，從而得到為異面直線與所成的角（或其補角），再證得是等邊三角形，從而得解.【詳解】連接，因為在正方體中，，又，所以，故，因為在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，所以，則為異面直線與所成的角（或其補角），在正方體中，為其面對角線，易得，所以是等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角為.故答案為：.15.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有3個不同的解，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】函數(shù)解析式作出圖像結(jié)合題意即可得解.【詳解】如圖所示，根據(jù)題意作出圖像，令，顯然是單調(diào)函數(shù)，則方程變?yōu)椋袌D可知，當(dāng)時，方程有三個解，即方程有三個解，所以的取值范圍為.故答案為：.三、解答題（本大題共8小題，共90分）16.已知直線經(jīng)過點．（1）求實數(shù)的值；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點代入直線方程求實數(shù)的值；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解.【小問1詳解】因為直線經(jīng)過點，將點代入直線方程中，可得，即，解得．【小問2詳解】由（1）知，則可化為．因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有x2+3>02x+6>0綜上可知，不等式的解集為．17.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為2.（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】（1）（2）奇函數(shù)【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用奇函數(shù)的判定方法，結(jié)合指數(shù)的運算法則即可判斷.【小問1詳解】因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為，最大值為，所以，解得，所以.【小問2詳解】是奇函數(shù)，理由如下：由（1）知，則，其定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù).18.隨著科技的不斷進步，人形機器人被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域．某企業(yè)購買了4臺人形機器人從事某條流水線上的4項工作．假定4臺機器人分別為甲、乙、丙、丁，4項工作按流程依次為．給每臺機器人隨機分配1項工作，且每項工作僅由1臺機器人完成．求下列事件的概率：（1）甲恰好分配到D項工作；（2）乙和丙分配到的工作不相鄰；（3）甲沒有分配到G項工作，且丁沒有分配到D項工作．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的應(yīng)用求出基本事件總數(shù)，再求出事件A包含的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式(其中是基本事件總數(shù)，是事件A包含的基本事件數(shù))計算概率；（2）根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)的應(yīng)用，利用捆綁法先求出乙和丙分配到的工作相鄰的事件數(shù)，繼而求得乙和丙分配到的工作不相鄰的事件數(shù)，結(jié)合古典概率計算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)的應(yīng)用，先求得甲分配到項工作或丁分配到項工作的事件數(shù)，繼而求得甲沒有分配到G項工作，且丁沒有分配到D項工作的事件數(shù)，結(jié)合古典概率計算公式，即可求解.【小問1詳解】由題意，4臺機器人分配4項工作，總的分配方法數(shù)為種，若甲恰好分配到項工作，那么剩下3臺機器人分配剩下3項工作，方法數(shù)為種，根據(jù)古典概型概率公式，甲恰好分配到D項工作的概率；【小問2詳解】由題意，先求出乙和丙分配到的工作相鄰的事件數(shù)．把乙和丙看作一個整體(捆綁法)，與甲、丁全排列，有種排法，同時乙和丙之間有種排法，所以乙和丙分配到的工作相鄰的情況共有種；那么乙和丙分配到的工作不相鄰的事件數(shù)為種，根據(jù)古典概型概率公式，乙和丙分配到的工作不相鄰的概率為；【小問3詳解】由題意，甲分配到項工作共有種；丁分配到項工作有種；甲分配到項工作且丁分配到項工作，有種；所以甲分配到項工作或丁分配到項工作的事件數(shù)為種．所以甲沒有分配到項工作，且丁沒有分配到項工作的情況數(shù)為種．根據(jù)古典概型概率公式，甲沒有分配到G項工作，且丁沒有分配到D項工作的概率為．19.在中，角對應(yīng)的邊分別為，且滿足．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積和邊上的高．【答案】（1）（2）的面積為邊上的高為【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理，對式子化簡解得角C；（2）首先利用余弦定理解得a，進而求得的面積和邊上的高.【小問1詳解】在中，，所以已知，則．由正弦定理(為外接圓半徑)，可得．將其代入上式可得，化簡得，即，移項得．根據(jù)余弦定理，把代入可得．因為，所以．【小問2詳解】已知，由余弦定理，可得，即，整理為，因式分解得，解得或(邊長不能為負舍去)．可得．設(shè)邊上的高為，因為，又，即，解得．20.江蘇無錫成為2025年央視春晚的分會場后，旅游業(yè)迎來了新的機遇．為了促進旅游業(yè)的發(fā)展，當(dāng)?shù)啬尘皡^(qū)推出了一個特色文化展覽項目．該項目每天最多能接待的游客數(shù)為1500人，當(dāng)票價為50元時，當(dāng)天游客數(shù)達到上限．鑒于市場需求旺盛，景區(qū)欲提高票價，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的票價每提高5元，游客數(shù)將減少100人．該項目每天的維護成本（元）是當(dāng)天游客數(shù)的5倍，在不考慮其他因素的前提下，問：（1）當(dāng)天的游客數(shù)為1000人時，當(dāng)天的票價應(yīng)為多少元？（2）當(dāng)天的票價為多少元時，當(dāng)天的收益最大？并求最大收益．【答案】（1）75元（2）65元；72000元【解析】【分析】（1）我們可以根據(jù)票價和游客數(shù)的變化關(guān)系來計算當(dāng)游客數(shù)為1000人時的票價．（2）需要先建立收益與票價的函數(shù)關(guān)系，再通過函數(shù)性質(zhì)求出最大收益以及對應(yīng)的票價.【小問1詳解】當(dāng)天的游客數(shù)為1000人時，當(dāng)天的票價設(shè)為元．所以，解得，即當(dāng)天的游客數(shù)為1000人時，當(dāng)天的票價應(yīng)為75元．【小問2詳解】設(shè)票價為元，利潤為元．票價相對于50元的提高量為元，票價每提高5元，游客數(shù)減少100人，因此游客數(shù)減少量為人，游客數(shù)為人．收益為票價乘以游客數(shù)：，維護成本為游客數(shù)的5倍：成本，利潤收益減去成本：一成本，這是一個關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，其最大值出現(xiàn)在頂點處．頂點的橫坐標(biāo)為：元，計算最大利潤：此時，游客數(shù)人．即當(dāng)天的票價應(yīng)為65元時，最大收益為72000元．21.在斜三棱柱中，底面，四邊形為正方形.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定、面面垂直的判定證明即可；（2）根據(jù)等體積法以及棱錐的體積公式求解即可.【小問1詳解】因為平面平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以平面.【小問2詳解】連接，因為底面，所以，因為為斜三棱柱，所以為平行四邊形，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為，，所以，所以，則的體積為.22.已知等差數(shù)列的首項且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.（3）若數(shù)列滿足，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）（3）證明見解析，【解析】【分析】（）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可得解.（）根據(jù)，利用求和公式的定義列出式子即可得解.（）根據(jù)遞推關(guān)系得出，構(gòu)造輔助數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義及求和公式與等差數(shù)列的求和公式即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的首項，公差為，因為，則，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，【小問3詳解】因為，所以，令，則，又，所以，則數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，所以，23.已知橢圓的長軸長為4，且右準(zhǔn)線方程為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）設(shè)為橢圓的上頂點，、為橢圓上異于點的任意兩點，以線段為直徑的圓恒過點．證明：直徑過定點，并求定點坐標(biāo)．【答案】（1），（2）證明見解析，定點【解析】【分析】（1）由橢圓準(zhǔn)線方程列出式子解得，進而得到橢圓方程和離心率；（2）分情況設(shè)出