專題02平面向量綜合（精選50題）

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題型01基本概念及簡單的線性運算

題型02平行與垂直

題型03基底

題型04投影向量

題型05模長及其應(yīng)用

題型06夾角及其應(yīng)用

題型07數(shù)量積及其應(yīng)用

題型08范圍綜合

題型09解答題綜合

優(yōu)選提升題

?01基本概念及簡單的線性運算

1.（23-24高一下?湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考?期中）（荏-麗卜（正-爐卜（）

A.DEB.EDC.CED.EC

【答案】A

【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】利用向量的加法減法運算即可求解.

【詳解】^^=AB-AC-W+BE=CB-CD+BE=DB+BE=DE.

故選：A.

2.（23-24高一下?湖南邵陽縣第二高級中學(xué)?期中）在正六邊形ABCD跖中，AF+ED+FE=（）

A.ACB.AFC.AED.AD

【答案】D

【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)平面向量加法法則及運算律計算可得.

【詳解】因為赤+訪+而=通+而+應(yīng)5=國5,故D正確.

顯然知片*，AD^AF,AD^AE，故A、B、C均錯誤.

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AF

3.(23-24高一下?湖南株洲深口區(qū)第三中學(xué)?期中)旗+前一而等于()

A.DCB.DBC.ADD.AB

【答案】A

【來源】湖南省株洲市深口區(qū)第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】利用平面向量加法、減法的運算法則可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)平面向量運算法則可得荏+團-礪=*-而=芯+南=覺.

故選：A

4.(23-24高一下?湖南邵陽縣第二高級中學(xué)?期中)已知向量乙=。,1),^=(1,-2),則萬+6=()

A.(0,3)B.(2,-1)

C.(1,0)D.1

【答案】B

【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)平面向量加法的坐標運算法則計算可得.

【詳解】因為4=0,1)，6=(1,一2),

所以1+5=(1,1)+(1,—2)=(2,T).

故選：B

5.(23-24高一下?湖南邵陽邵東創(chuàng)新高級中學(xué)?期中)若向量麗=(5,6),CA=(2,3),則反=(

A.(-3,-3)B.(7,9)

C.(3,3)D.(-6,-10)

【答案】C

【來源】湖南省邵陽市邵東市創(chuàng)新高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

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【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則及線性運算的坐標表示計算可得.

【詳解】因為麗=（5,6）,04=（2,3），

所以配=麗+/=麗_①=（5,6）-（2,3）=（3,3）.

故選：C

6.（23-24高一下?湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體?期中）（多選）下列說法正確的是（）

A.單位向量都相等

B.非零向量苕和5滿足同=同=卜-2，則2與的夾角為60。

C.在四邊形ABCD中，AB=DC,則四邊形ABCD是平行四邊形

D.若歸，號是平面內(nèi)所有向量的一個基底，貝1]{1-也可以作為平面向量的基底

【答案】BC

【來源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)單位向量、向量減法的幾何意義、向量相等、基底等知識確定正確答案.

【詳解】對于A,單位向量的模都是1,但方向是任意的，所以不一定相等，故A錯誤；

對于B,非零向量N和石滿足同第=卜-司,則以同,忖,卜-5|為三邊的三角形是正三角形，

所以日與。-5的夾角為60。，故B正確；

對于C,因為4民CD是不共線的點，AB=DC,即模相等且方向相同，所以四邊形ABCD對邊平

行且相等，故四邊形A3。是平行四邊形，故C正確；

對于D,1-￡=-（￡-，），則為共線向量，不可以作為平面向量的基底，故D錯誤，

故選：BC.

7.（23-24高一下?湖南邵陽縣第二高級中學(xué)?期中）（多選）下列結(jié)論不正確的是（）

A.且同明是1石的充要條件

B.對于任意向量都有6癡

C.若7B=o,則Z與分中至少有一個為0

D.兩個非零向量Z與否夾角的范圍是[0,可

【答案】AC

【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】利用向量共線的意義判斷AB；舉例說明判斷C；利用向量夾角的定義判斷D.

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【詳解】對于A,￡〃1且間=M，當％,B方向相反時，a=-b，即Z〃石旦同=M不是Z=B的充要

條件，A錯誤；

對于B,零向量與任意向量共線，B正確；

對于C,當時，a-b—O>C錯誤；

對于D,兩個非零向量2與B夾角的范圍是［0,句，D正確.

故選：AC

敗型8平行與垂直

8.（23-24高一下?湖南常德第一中學(xué)?期中）若A（x,-1）,3（1,3）,C（2,5）三點共線，則x的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【來源】湖南省常德市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】利用平面向量三點共線的坐標表示計算即可.

【詳解】易知荏=（1—x,4）,z=（2-彳,6）,

—?—?1—%=彳（2—%）2

又A3,C三點共線，所以A8=/L4Cn““=；，尤=一1.

故選:B

9.（23-24高一下糊南株洲泳口區(qū)第三中學(xué)?期中）已知￡=（2,-1）,b=（\,x）,S.a!b,貝也=.

【答案】2

【來源】湖南省株洲市深口區(qū)第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示，使其數(shù)量積為0即可求得結(jié)果.

【詳解】由Z=（2,-l）,b=（l,x）,且乙B可得Z1=2xlr=0，

解得x=2.

故答案為：2

10.（23-24高一下?湖南三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考?期中）已知平面向量苕=。,-2）與方=（2+x,-8）共線,

則問=（）

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A.2B.4C.26D.475

【答案】D

【來源】湖南省三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】首先由平面向量共線的坐標表示求出x=2,再由模長公式求答案即可.

【詳解】因為萬=。,一2）與石=（2+蒼一8）共線，所以—2（2+x）=-8,解得x=2,

故『=’4?+（一8『=46,

故選：D.

11.（23-24高一下?湖南衡陽衡陽縣第二中學(xué)?期中）已知向量M=（1,2）,5=（X,-2）,Ralb，則實數(shù)x

等于（）

A.-7B.9C.4D.-4

【答案】C

【來源】湖南省衡陽市衡陽縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

【分析】由Z1.B，可得Z%=Lx+2*（-2）=0,解出x即可.

【詳解】因為向量Z=（l,2）,B=（x,—2）,Kalb，

所以。?B=LX+2X（-2）=0,即X-4=0,

所以x=4.

故選：C.

12.（23-24高一下?湖南邵陽縣第二高級中學(xué)?期中）已知向量4=（4,-2）,b=（6,x）,若實數(shù)

x=.

【答案】12

【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】依題意可得漳0=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.

【詳解】因為商=（4,一2）,3=（6,力，且商/石，

所以苕.萬=0,即苕4=4x6—2尤=0，解得x=12.

故答案為：12

13.（23-24高一下?湖南部分學(xué)校?期中）已知向量￡=。+4,4）3=（41）.若則人；

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若貝鼠=.

【答案】|4-2

【來源】湖南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】運用向量平行垂直的坐標結(jié)論可解.

【詳解】由于a=(力+4,4),石=(4,1),則￡〃石時，2+4=42,解得2=g；

則時，彳(2+4)+4=0,解得九=一2.

4

故答案為：—;—2.

14.(23-24高一下?湖南岳陽縣第一中學(xué)、汨羅第一中學(xué))已知向量口B不共線，向量

c=a+6b,d=—2a+xb,c//d,則苫=()

11

A.-B.-12C.——D.12

33

【答案】B

【來源】湖南省岳陽縣第一中學(xué)、汨羅市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期五月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】由向量共線定理知，c=Ad，再根據(jù)平面向量基本定理，對應(yīng)系數(shù)相等即可求得x.

【詳解】因為日，萬不共線，c=a+6b,d=-2a+xb,c//d,

所以c=/ld，即N+6萬=2(-2萬+x5),BP1=-22,6=Ax,解得x=—12.

故選：B.

15.(23-24高一下?湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體?期中)已知點A(4,3),3(1,-1),則與向量謖共線的單位向量

為()

A.(―3,T)B.(3,4)或(—3,—4)

【答案】D

【來源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】求得益=(-3,-4),|西=5,利用±儡，可求與向量而共線的單位向量.

【詳解】4(4,3),3(1,-1),.?.通=(-3,-4),|同=5,.?.與通共線的單位向量為士彳司,

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故選：D.

16.(23-24高一下?湖南邵陽邵東創(chuàng)新高級中學(xué)?期中舊知M,N,P,。是平面內(nèi)四個互不相同的

點，2,5為不共線向量，MN=a+5b，NP=-2(5-4^),PQ=3(a-b),貝U()

A.M,N,P三點共線B.N,P,。三點共線

C.M,P,。三點共線D.M,N,。三點共線

【答案】D

【來源】湖南省邵陽市邵東市創(chuàng)新高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)共線定理即可判斷各項.

【詳解】對于A,令/麗=而，即傘+5月)=-2①-4各)，則有

所以不存在f,使得，麗=而，A錯誤;

-2/7=3

對于B,令nNP=PQ,即一2〃(N-45)=3(萬一5),則有

8M=-3)

所以不存在“使得〃標=①，B錯誤

對于C,MP=MN+NP=-a+13b)^mMP=~PQ,即加(-1+13方)=3(苕-5),

f—ffi—3

則有n°,所以不存在相，使得疝淳=①,c錯誤；

\13m=-3

對于D,NQ=NP+PQ=a+5b,所以麗=而，又直線MN,N。有公共點N,故M,N,。三

點共線，D正確.

故選:D

17.(23-24高一下?湖南常德德善高級中學(xué)?期中)(多選)已知向量￡=(2,1)高=(1,-1),"=(*2,-“)，

其中〃%”均為正數(shù)，且苗一為//",下列說法正確的是()

A.Z與B的夾角為鈍角

B.向量￡在方方向上的投影向量為2

2

C.2根+〃=4

D.瓶〃的最大值為2

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【答案】BCD

【來源】湖南省常德市德善高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的性質(zhì)分析可得A錯誤；由投影向量公式計算得B正確；由向量

平行的表示方法得-"=2（加-2）,變形得2〃z+〃=4,可得C正確；由C的結(jié)論：2根+〃=4,結(jié)合

基本不等式性質(zhì)分析可得〃利的最大值，可得D正確.

【詳解】對于A：a=（2,1）,^=（1,-1）,則7B=2-l=l>0，

所以Z與B的夾角不為鈍角，故A錯誤；

abr（夜）廣b

對于氏則辦在B方向上的投影向量為用為=1萬萬y=耳，故B正確；

對于C：由題意。一石=（1,2）,c=（m-2,-n）,

若（a-B）〃c,得一〃二2（機一2）,即2m+幾=4,故C正確;

對于D：/Z帆+〃=4,根,〃均為正數(shù)，則有機〃=g（2w〃）4m口受1=2,

fm=l

當且僅當2機="時，即\時取等號，即冽"的最大值為2,故D正確.

["=2

故選：BCD.

泉型03

18.（23-24高一下?湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考?期中）下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)

所有向量的基底的是（）

A.4=（0,0）,司=（6,6）B.4=（1,3）,e2=（3,9）

C.M=（2,6）,e2=（4,9）D.ex=（1,-1）,e2=（-3,3）

【答案】C

【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】由平面向量基底的條件：不共線的非零向量，然后結(jié)合向量平行的坐標表示檢驗各選項.

【詳解】因為零向量不能作為基底，所以A錯誤.

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因為Ix9=3x3,所以I=(1,3)與1=(3,9)共線,B錯誤.

因為2x9w6x4,所以號=(2,6)與馬=(4,9)不共線，可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底,

C正確.

因為lx3=(—l)x(—3),所以《=(1,一1)與⑥=(—3,3)共線,D錯誤.

故選：C

19.(23-24高一下?湖南邵陽縣第二高級中學(xué)?期中)(多選)下列各組向量中，能作為基底的是()

A.el=(-1,-1),e2=(0.0)B.令=(1,1),6=(2,2)

C.q=(-3,4),e2D.G=(2,4),e2=(-1,2)

【答案】CD

【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】只需判斷兩個向量不共線即可.

【詳解】對于A：因為4=(-1,-1),"=(0,0),則1//%,所以不能作為一組基底，故A錯誤；

對于B：因為d=(1,1),瑟=(2,2),所以￡=21，即，〃晟，所以不能作為一組基底，故B錯誤；

對于C：因為一3x1-野H4X0所以冢=(_3,4)與￡一］不共線，

所以］=(-3,4)與￡=-1］可以作為一組基底，故C正確；

對于D：因為2X2H4X(-1),所以力=(2,4)與￡=(-1,2)不共線,

所以1=(2,4)與4=(-1,2)可以作為一組基底，故D正確.

故選：CD

題型外投影向量

20.(23-24高一下?湖南湖湘教育三新探索協(xié)作體?期中)在正方形ABCD中，尸是BC的中點，AP與

2。交于點。，則而在而上的投影向量是()

A.ABB.-ABC.-ABD.—AB

33

【答案】D

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【來源】湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)相似三角形和投影向量的定義即可得到答案.

【詳解】如圖，

PQBP1

團P是2C的中點，則ABPQSADAQ,貝°==

AQDA2

22

則4。=14尸，過點。作。于點a,則

2___.

所以AQ在通上的投影向量是3AB,

故選：D.

21.（23-24高一下?湖南常德沅澧共同體?期中）已知在VABC中，角A,3,C的對邊分別為電仇。，

c=10,6=6,A=120。，/為VABC的內(nèi)心，"為與在同向的單位向量，則亙在在上的投影向量為

（用工表示）

【答案】5"

【來源】湖南省常德市沅澧共同體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】利用余弦定理求出。，設(shè)VA3C的內(nèi)切圓/切3C于點。，即可求出CD,再根據(jù)數(shù)量積的

運算律求出守最后根據(jù)投影向量的定義計算可得.

【詳解】由余弦定理/=Z>2+C2-2^CCOSA=62+102-2X6X10X^-1^=196,

所以4=14,

設(shè)VABC的內(nèi)切圓/切BC于點O,即則C￡）="鋁=5,

所以守.屈=（前+而）.屈=前.屈+源麗=5*14=70,

cj.c月

所以守在無上的投影向量為二5/

故答案為：5e-

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虬理05模長及其應(yīng)用

22.(23-24高一下?湖南長沙明德中學(xué)?期中)已知向量商=(1,2)石=(-3j),且丁〃石,則卜+同=()

A.aB.75C.710D.2y/5

【答案】D

【來源】湖南省長沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標表示求出力進而求出。+5,可求解其模長.

【詳解】由?！啊?(1,2),5=(-3,。，得lxf=-3x2,解得t=-6,

所以1=(-3,-6),則U+B=(_2T),

故k+=A/4+16=2小.

故選：D

23.(23-24高一下?湖南岳陽縣第一中學(xué)、汨羅第一中學(xué)?)已知向量2=(1,2)萬=(1,#，若&/B，則

彳=;若?,今=：,則忸卜.

【答案】-^/-0.5叵

23

【來源】湖南省岳陽縣第一中學(xué)、汨羅市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期五月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】由垂直向量的坐標表示可求出力的值；再由向量的夾角公式可得3萬+82-3=0,解方程

可得出答案.

【詳解】若M/人貝BZ=lxl+2x2=0,所以2=一；.

/jr&,b1+24^2

若?f，則麗=瓦赤出=了，

得3萬+84—3=（4+3）（32-1）=0,

所以2=—3(舍去)或九=；，故忖

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故答案為：4'—?

23

24.(23-24高一下?湖南湖湘教育三新探索協(xié)作體?期中)(多選)已知非零向量不，B滿足

西司二網(wǎng)同=卜—5卜則()

-TT

A.a,5的夾角為]

B.付+力卜向

C.若厲=7，OB=b>則△OAB的外接圓半徑長為同

D.若間=1,向量巳滿足伍-可打-石卜。，則同的最大值是岑+g

【答案】BCD

【來源】湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】令1萬1=々>0),利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的性質(zhì)計算判斷ABD；利用正弦定理求出

△OAB外接圓半徑判斷C.

【詳解】非零向量扇石滿足石|菊=6|方|=|1一5|,設(shè)舊解>>0),則|方-引=后,

對于A,由百出|=舊-5|,得3戶=容+5。-2無5,解得無5=-/廣，

COS<a,fc>=---y-=--,而〈第&￡[0,兀I，則〈第B〉=J,A錯誤；

\a\\b\23

對于B,\a+b\=^(a+b)2=y]a2+b22a-b=t=\a\，B正確；

21\BA\_\a-b\___-

對于c,由選項A知，ZAOB=—,則△OAB的外接圓半徑"=5sin/49B=c.2兀='=13,C

32sin——

3

正確；

對于D,顯然|五|=|b\=\a+b|=l,ab=-g,由9一萬>9一行)二0,

21

得7_0+B).H+7B=0,則--\=\(^+b)^c\<\a+b\\c\=\c\f當且僅當工//口+加時取等號，

于是;,解得史二1■qz區(qū)也坦，因此兇的最大值是9+LD正確.

22222

|c|+|c|-1>0

故選：BCD

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夾角及其應(yīng)用

25.（23-24高一下?湖南邵陽縣第二高級中學(xué)?期中）已知向量2,5滿足同=5,忖=6,a-b=6,則

【答案】A

【來源】湖南省邵陽縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】直接利用向量的夾角公式cosR，0=百［計算即可.

【詳解】因為同=5,網(wǎng)=6,萬Z=6,

所以儂〈/府一八"麗a-b==6=不1

故選：A.

26.（23-24高一下?湖南湖湘教育三新探索協(xié)作體?期中）已知是不共線的單位向量，。=1+2晟,

若同=J7,則［，k的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【來源】湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和定義得到關(guān)于cosd的方程，解出即可.

【詳解】由已知得同=同=1,設(shè).，耳的夾角為8（00<0<180°）,

又a=q+2e,,且|團=幣,

⑺2=7=（q+2e?）=同+4同+4^-e2=1+4+4xlxlxcos^

解得：cos6=1,貝I］6=60°.

故選：C.

27.（23-24高一下?湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考?期中）已知向量B滿足萬=（后,出|=3,

第13頁共34頁

1一

且五在B上的投影向量為則向量4與向量方的夾角為（）

兀兀7T2兀

A.—B.-C.-D.—

6343

【答案】B

【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】利用給定的投影向量求出7B，再利用夾角公式計算即得.

【詳解】由苕在5上的投影向量為g得/方=25,即翟=：,則無5=：方|2=3,

3|bIJI。IJ3

dB]

由2=（石,，4一兀）,得|5|=?兀+4—兀=2,因此cos〈萬,石〉=---z-=—,而〈瓦5〉￡[0,兀],

|列/?|2

所以〈a,b—〉=g7T.

故選：B

殿理。7數(shù)量積及其應(yīng)用

JT7T

28.（23-24高一下?湖南長沙雅禮中學(xué)?期中）在VABC中，AB=2,B=~,C=~,"（為3c邊的中

46

線，尸為AD的中點，則無？.配=.

【答案】1

【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】由正弦定理求得AC,用羽，葡表示其它向量后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算.

【詳解】如圖所示

2sin—

ACABJTTT

由正弦定理得???AB=2,B=—,C=—,:.AC=——生=2也,

sinsinC'.71

B46sin—

6

第14頁共34頁

:.AP-BC=^（AC+~AB）-（AC-AB）=^AC-AB^=\

故答案為：1.

ACABV2

------------.------.2

29.（23-24高一下?湖南常德沅澧共同體?期中）在VABC中,BAAC+AC=0,則

VABC的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.三邊均不相等的三角形

C.等邊三角形D.等腰（非直角）三角形

【答案】A

【來源】湖南省常德市沅澧共同體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】由數(shù)量積的運算律得到BC.AC=0,即可得到ZACB=1,再由數(shù)量積的定義求出/CAB=￡,

即可判斷.

【詳解】因為麗=0，即（3A+AC>AC=0,即前.恁=0,

TT

所以衣，衣，即AC，BC,則NACB=W，

num

ACAB

又評為表示與衣同向的單位向量，而表示與荏同向的單位向量,

AC網(wǎng)

71

所以I.1,I.1=1x1xcosZCAB=,又NCABe,所以=

AC\AB\24

71

所以NCBA=：,

4

所以VABC是等腰直角三角形.

故選：A

30.（23-24高一下?湖南常德德善高級中學(xué)?期中）在VABC中已知且

ABAC1m生，、

兩.鬲=2則△為（）

A.等腰AB.直角AC.等邊AD.三邊均不相等的A

【答案】C

【來源】湖南省常德市德善高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

第15頁共34頁

【分析】結(jié)合條件利用數(shù)量積的運算律得B=C,再根據(jù)數(shù)量積的定義求得A=方，即可判斷三角形

的形狀.

+=0,

【詳解】因為[備備1配=。,?WW

|AB|-|BC|-(-cosB)|AC|.|BC|-cosC八口口?

即|In-------=-------+i--------J--------=0即cosBR=cosC,貝ffUli|BR=C

\AB\|AC|

~ABAC1-.-.1―?.

因為W-=上，即AB-AC=—|AB|?|AC|,

|AB||AC|22

---?----?1---?----?1jr

即|A8|-|AC|cosA=—|A3|?|AC|,化簡得到cosA=—，則4=一.

223

則三角形為等邊三角形.

故選：C.

畋生0g范圍綜合

31.（23-24高一下?湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體?期中）已知矩形ABCD的長AB=4,寬BC=3.點尸在線段BD

上運動（不與&D兩點重合），則定.麗的取值范圍是（）

A.（—16,9）B.（—9,16）C.[0,9）D.（—16,0]

【答案】A

【來源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】依題意，點P在線段3。上，^BP=nBD.PD=mBD,n=l-m,建立空間直角坐標系，根

據(jù)點坐標，表示出定.麗，根據(jù)（0,1）,求出答案.

【詳解】由題意得，點P在線段上，T^BP=itBD,PD=mBD,n=]-m,

且以A為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，

第16頁共34頁

則A（0,0）,3（4,0）,C（4,3）,0（0,3）,則而=（Y,3）,恁=（4,3）,

由AP=mAB+nAD=7〃（4,0）+〃（0,3）=（4〃z,3”）,

故玩=/_Q=（4_47”,3_3”），

所以定屈=Y（4-4〃2）+3（3-3〃）=9-25〃，

由于“€（0,1）,所以定?麗?-16,9）.

故選：A.

32.（23-24高一下?湖南長沙雅禮中學(xué)?期中）定義平面向量8在5上的投影為同cos&母.若平面向量

a,B滿足忸+閘=4,忸-5|=2,則萬在石上的投影的取值范圍是（）

1313

A.[1,2]B.[-,2]C.[-,2]D.

【答案】D

【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】利用數(shù)量積的運算律結(jié)合已知等式求出34,再利用向量的三角不等式求出Ib|的取值范圍，

然后利用給定定義求出范圍.

【詳解】由忸+同=4,惘叫=2,得〉心竺土互二^三互=土”一，

1111882

又||24+B|—|2萬一51區(qū)|（2萬+5）—（2萬—5）區(qū)12萬+5|+123一5|,BP2<|2ft|<6,

一a?b313

因此日在臺上的投影I初cos〈萬/〉=b=beL，f，

|b|2\b\22

13

所以苕在行上的投影的取值范圍是《，章.

故選：D

33.（23-24高一下?湖南慈利縣第一中學(xué)?期中）青花瓷（blueandwhiteporcelain）,又稱白地青花瓷，

常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花

瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二

中正六邊形的邊長為2,圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為1,若點M在正六邊形的邊上運動，

動點A,B在圓。上運動且關(guān)于圓心。對稱，則癡.礪的取值范圍是（）

第17頁共34頁

o

M

圖一圖二

A.[2,4]B.r4

C.[2,3]D.i3

【答案】C

【來源】湖南省慈利縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】連接A8,OM,則值?歷5=（而+兩M而+礪），利用向量數(shù)量積的運算律即可求解.

【詳解】連接如圖所示:

則以麗=（屈+網(wǎng).（破+珂=被2+被-OA+MOOB+OAOB

=|MO|2+W-(OA+OB)-I=|M^2-I,

根據(jù)圖形可知，當點M位于正六邊形各邊的中點時，有最小值為6,止匕時|加『-1=2,

當點M位于正六邊形的頂點時，有最大值為2,止匕時|初4「-1=3,

故24宓?礪43，即祝.府的取值范圍是[2,3],

故選：C

34.（23-24高一下?湖南湖湘教育三新探索協(xié)作體?期中）VABC的重心為O,過點。的直線與AB,BC

所在直線交于點E,F,若麗=-尤而，BF=yBC（x,y>0）,則孫的最小值為（）

224

A.-B.一C.一D.4

399

第18頁共34頁

【答案】c

【來源】湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】利用向量線性運算，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)及共線向量定理的推論得尤+'=39，再利用

基本不等式求解即得.

【詳解】由。為VA3C的重心，得BO延長線必過AC的中點

貝80=—BD=—BA—BC,由BE=—xAB,BF=yBC,得=—BF,BC=—BF,

333-xy

—.1—,1—,1—.1—.11

即30=—A4+—+丁8/，又￡,o,F三點共線，因此丁+丁=1,

333x3y3x3y

即尤+y=3孫，.又x>0,y>0,貝lj3孫=x+y22A,

4?

即孫當且僅當彳=>=§時取等號，

則孫的最小值是14.

故選：C

35.（23-24高一下?湖南長沙明德中學(xué)?期中）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個

頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三

角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知A?=2,尸為弧AC（含端點）上的一點，則麗.麗的范圍

為.

【答案】［0,2］

【來源】湖南省長沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

【分析】利用向量數(shù)量積的運算量，結(jié)合匹卜［1,日即可求解.

【詳解】取BC中點為0,

第19頁共34頁

A

P

]j[\]BPCP=PBPC=(Pd+OB\(Pd+OC)=^Pd+OB^(Pd-OB)

——>2——>2=

=PO-OB=PO-1'

其中易得網(wǎng)中,向，故而在e[0,2].

故答案為：[0,2].

36.（23-24高一下?湖南耒陽第一中學(xué)等多校聯(lián)考?期中）在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,

c.點M是VABC的內(nèi)心.若4衣.原=麗.而+而.五，貝1JcosA的最小值為,cos/3MC的

最小值為.

【答案】|一是

33

【來源】湖南省耒陽市第一中學(xué)等多校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】先由平面向量的數(shù)量積得4a*cosA=accos5+〃Z?cosC,再結(jié)合余弦定理即可求出cosA,

1JTA

于是由/創(chuàng)北=兀-/（8+0=耳+,結(jié)合半角公式和誘導(dǎo)公式即可推出85/3“。.

【詳解】由題可得4bccosA=occos8+必cosC,

貝I」由余弦定理得4成2+1-、h/—+cJ'+ab,

2bc2ac2ab

整理得/=:僅?+c2）,

所以由余弦定理cosA="+c一一/=匕己之"￡=j_,當且僅當b=c時，等號成立，

2bc6bc6bc3

立.2A1-cosA人（八兀、AA/3

22I2）23

因為點”是丫河。的內(nèi)心，故CM分別為/ASC,2AC5的角平分線，

第20頁共34頁

1jrA

所以N5MC=7i——(B+C)=—+—,

2'722

L."一(7iA、.A

則cosZBMC=cosI—+—I=-sin—,

因為0<sin4w"，所以-立w_sin4<0,即cosZBA/C的最小值為-也.

23323

故答案為：一昱.

33

37.(24-25高一上?湖南長沙望城區(qū)第二中學(xué)?期中)已知二次函數(shù)y=〃x)的圖像為開口向下的拋物

線，且對任意xeR都有尸(1-x)=尸(1+x).若向量1=(而,-1),5=(赤，-2),則滿足不等式

f(a-b)>/(-I)的機的取值范圍為.

【答案】0W機<1

【來源】湖南省長沙市望城區(qū)第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性，即可根據(jù)〃m+2)>/(-1)求解.

【詳解】由H1-X)=尸(1+外可知y=/(尤)的對稱軸為x=l,貝廳(-1)=〃3),

由于，=〃尤)的圖像為開口向下的拋物線，故y=在(-8,1)單調(diào)遞增，在(L+8)單調(diào)遞減,

乂a-B=/w+2，故/(6-5)>/(-I)得〃加+2)>/(-1),

m>0

因此解得0<m<1,

-1<777+2<3

故答案為：0W機<1

38.(23-24高一下糊南岳陽縣第一中學(xué)、汨羅第一中學(xué).)(多選)如圖，在梯形ABCD中，

AB//CD,ADLAB,CD=2,AD^4,AB=5,E,F分別在線段AD,AB±,且線段與線段BF的長度

B.CECF的最大值為18

41

C.屈?麗的最大值為-1D.△CEF的面積的最大值為M

O

【答案】BCD

第21頁共34頁

【來源】湖南省岳陽縣第一中學(xué)、汨羅市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期五月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【分析】利用坐標法，以A為原點建立坐標系，寫出相關(guān)點坐標，得到相關(guān)向量的坐標，利用向量

的坐標運算，再求解二次函數(shù)最值即可判斷各個選項.

【詳解】如圖，以點A為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)