吉林省四平市第一高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)

試卷

本試卷分客觀題和主觀題兩部分，共19題，共150分，共2頁(yè).考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)

束后，只交答題卡.

第I卷客觀題

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分)

1.在等差數(shù)列｛4｝中，%+%=12,則"=()

A.36B.24C.17D.16

【答案】A

【解析】

【分析】由等差數(shù)列求和公式及性質(zhì)即可求解；

【詳解】Se=6("；4)=3(%+%)=36,

故選：A

2.已知在等比數(shù)列｛%｝中，〃2+44=1，。6+〃8=9，則)%=()

3311

A.-B.----C.----D.—

4444

【答案】A

【解析】

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可得答案.

【詳解】因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以4+%=(%+%)/=/=9,所以d=3,

所以號(hào)+a4=U+%=l，解得%=g，

q~34

故選：A.

3.lim〃x°+Vx)—=()

Vx->02Vx

A.1/U)B./U)C.2f'(x0)D.~f'(x0)

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

［詳解］lim/(/+Vx)-/(%-Vx)=Umf(x°+Vx)-/(/)+/(/)-/(%-Vx)

V%fO2VxVxfO2Vx

.I,,于5+Vx)-/(x0)1./(x0)-/(x0-Vx)_/'(x。)f'(x0)_

—一iiin-------------------------1—inn------------------------------------1------------/(x)

2v.oVx2v-v^oVx22n

故選：B.

4.在數(shù)列｛4｝中，4=2,且。.+i=/一,〃eN",則4023=()

A.2B.-1C.；D.1

【答案】A

【解析】

【分析】計(jì)算可得數(shù)列的周期，即可得解.

11,

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，?2------=1刀=一1；

1-q1-2

111

當(dāng)〃=2時(shí)，?3=-----J/1、=7，

1一。21-(-1)2

11:2

當(dāng)"=3時(shí)，"41一%］_，,

—2

故數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，故。2023=。1+2022=4=2.

故選：A.

5.在下列函數(shù)中，求導(dǎo)錯(cuò)誤的是()

A./(%)=x2-1,/r(x)=2xB.g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+—

-7/\X+27\x+1

c-g)=h，h(x)=--rD.^(%)=xsinx+cosx,0(x)=xcosx

【答案】B

【解析】

【分析】分別求得每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷.

【詳解】廣3=(巧'_1，=2'；

g，(x)=x'lnx+x(lnxj=lnx+x-—=lnx+1；

x

\(x+2)e,-(x+2乂e')x+1

h(x｝=-----------1------—=------：

e'(x)=x'sinx+x(sinx)+(cosx)=sinx+xcosx=sinx=xcosx.

故求導(dǎo)錯(cuò)誤的是B.

故選：B.

6.某醫(yī)院購(gòu)買一臺(tái)大型醫(yī)療機(jī)器價(jià)格為。萬(wàn)元，實(shí)行分期付款，每期付款6萬(wàn)元，每期為一個(gè)月，共付12

次，如果月利率為5%。，每月復(fù)利一次，則)滿足()

A.12b=aB.126=a(1+5%。)"

C.12Z?=a(l+5%o)D.fl<12/?<?(l+5%o)12

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得川1+1.005+1.0052++1.005")=a(l+0.005r，結(jié)合放縮即可得解.

【詳解】/?(1+1.005+1.0052++1.005")=a(l+0.005r，

由1+1.005+1.0052++1005”>12，故12人<4(1+5%。)？，

_跳1+1.005+LOOS?++1.005")_(1+1.005+1.0052++1005”]

”(1+0.005)12I1.00512J，

,1+1.005+1,0052++1.0051112xl,00512

由----------------B--------------<----------l=12，

1.005121.00512

故a<126,即有a<12b<a(l+5%o)N

故選：D.

7.已知S"為數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，囚=1,an+l+2Sn=2n+l,則S2024=()

A.2021B,2022C.2023D.2024

【答案】D

【解析】

【分析】利用4=s,—Sa，得=2,當(dāng)〃=1時(shí)，由4=1即可推出a“即可得解.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，4+251=2+1,因?yàn)镾1=q=l,所以出=1.

當(dāng)“22時(shí)，由a〃+i+2S”=2"+1得+2S“_]=2n-l,

兩式相減可得??+i-??+2a”=2,即4+?！?1=2.

因?yàn)椤?=1，所以。3=1，。4=1，,，%=1，

可得S"=%+。2++?！?〃，所以4^2024=2024.

故選：D.

8.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)是％=1,前，項(xiàng)和為S“，且S“+i=2S“+3"+l(〃eN*)，設(shè)

c—1

c?=log2(a?+3),若存在常數(shù)左，使不等式左.(〃:.)。(〃eN*)恒成立，則左的最小值為

()

1111

A.-B.—C.—D.—

9162536

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式可得到4+1=2。“+3,構(gòu)造等比數(shù)列求出a“=2"+i-3,繼而求出g,再利用

c-1

基本不等式求得/”、的最大值,則可得答案.

【詳解】當(dāng)心2時(shí)，由S〃M=2S〃+3"+1可得S〃=2S“」+3加2,

兩式相減得:4+1=2%+3,即a,.+3=2(。〃+3),

而q+3=4,%+4=S,=2S]+4,=5,故4+3=2(q+3),

所以｛?！?3｝是以4+3=4為首項(xiàng)，4=2為公比的等比數(shù)列，

則a“+3=4x2""=2"+i_3,

故cn=log2(an+3)=log22"i=〃+1,

c“T―n_1

所以(n+16)c〃5+16)5+1)九+3+*，

n

而〃eN*,〃+3?8,當(dāng)且僅當(dāng)“=4時(shí)取等號(hào)，

n

―「I1.1

故(〃+16)c「〃+3+"-25,當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時(shí)取等號(hào)，

n

7、%—1

所以若存在常數(shù)3使不等式727「(冏eN*)恒成立，

則左的最小值為工，

25

故選：C

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的

得0分)

9.設(shè)等差數(shù)列｛??｝,｛b,,｝的前n項(xiàng)和分別為Sn，T「若寧=，則滿足jeZ的"的值可能為()

A.2B.4C.12D.14

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由？=二產(chǎn)'代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

bn"bX+b？2n"-S"T2n-X

((7/1+51

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝,｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為s“，Tn,且寸=—7^5-，

刖%=卬+*=邑1=7(2“-1)+51=14〃+44

bn(2〃-1)+32“+2n+1

因?yàn)?eZ,則“+1=1,3,5,15,

b”

所以“=0,2,4,14,且〃eN*，則〃=0舍，

所以〃的可能值為2,4,14.

故選：ABD

10.已知數(shù)列｛3"-%〃｝的前〃項(xiàng)和為〃.3",貝I()

A.an=2n+\

B.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為21+n

C.數(shù)列也-10｝的前〃項(xiàng)和的最小值為-16

D.數(shù)列<---，的前〃項(xiàng)和小于工

〔4%J6

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、裂項(xiàng)相消法逐

一判斷即可.

【詳解】因?yàn)椋?"-%“｝的前”項(xiàng)和為〃.3",

所以有3°。]+31%+3~%++3"Ia“=n-3",顯然q=3,

顯然當(dāng)〃上2,〃eN*時(shí)，有3°/+3%2+32/++3"-2%T=(〃—1).3"T,

兩個(gè)式子相減，得3〃-%“=〃-3"—(〃—I)，"'

化簡(jiǎn)，得4=2〃+1,顯然q=3適合該通項(xiàng)公式，因此選項(xiàng)A正確；

因?yàn)閍“+i—%=2,所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

于是數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為(3+2<+1)“="+2n,所以選項(xiàng)B不正確;

令2=q-10=2"-9,由"N0n〃N4.5,從第五項(xiàng)起，該數(shù)列每一項(xiàng)為正數(shù),

因此數(shù)列TO｝的前〃項(xiàng)和的最小值為4+&+4+%=—7+(—5)+(—3)+(—1)=-16,因此選項(xiàng)C

正確；

11_lf1_______

（2n+l）（2n+3）2（2〃+12n+3）

44+1

所以數(shù)列<------>的前〃項(xiàng)和為7■(彳一二+1-三+

[44+1J213557+白.$匕,

因此選項(xiàng)D正確,

故選：ACD

11.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為3，則下列結(jié)論正確的是()

3

A.若qn則a”最大值為

4〃+2576T1

B,若數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列，且q,a2,每成等比數(shù)列，則其公比4=1或4=4

C.若誓>1,則數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

D.若5“=一〃2+9〃+1,則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

【答案】AB

【解析】

1

【分析】由〃"二—結(jié)合單調(diào)性即可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷B；通過(guò)舉

n

例可判斷C；由S“=-/+9〃+1可求4，即可判斷D.

n1

【詳解】對(duì)于A,a-=4/r+25=7T25-

n

可得。2>%,

25

設(shè)函數(shù)〃%）=4%+—,x>0,

所以當(dāng)xe0,g時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)xe1,+ooBt,函數(shù)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)“23且時(shí)，所以4〉％什1，

3

所以a“的最大值為一，故A正確；

61

對(duì)于B,q，a2,4成等比數(shù)列，設(shè)公比為4，

所以。2=qq,。6=4/，

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以=5（。2-4），

所以弓才一4=5（44—.），解得q=l或q=4,故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)4=-〃時(shí)，S±L=-（"+1）=ZL±1〉],

an-nn

但數(shù)列｛“”｝為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，當(dāng)”=1時(shí)，%=S]=9,

22

當(dāng)“22時(shí)，a?=5?-S?_1=-n+9n+l-[-（77-l）+9（72-l）+l]=-2n+10,

當(dāng)〃=1時(shí)上式不成立，

9,71=1

所以4=cICc，所以數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤?

-2n+10,n>2

故選：AB.

第n卷主觀題

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)q=4的等比數(shù)列，且4%,%-2%成等差數(shù)列，則其公比q等于.

【答案】±1

【解析】

【分析】由4%,%，-2%成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的定義結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)列出方程，求出q即

可.

【詳解】a5,-2%成等差數(shù)列,

2a5=4q-2a3,BPa5=2q—a3,

???W=8-4/,

_2=0,

；?d=i或d=-2(舍).

q=±l.

故答案為：±1.

13.在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱

為該數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛an｝是等和數(shù)列，且4=-2,%)22=8，則這個(gè)數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為.

【答案】6066

【解析】

【分析】寫成｛4｝的通項(xiàng)公式，求出公和，再分組求和.

【詳解】設(shè)等和數(shù)列的公和為江

因?yàn)椋?-2,所以。2=m+2,%=-2,%=加+2,。5=一2，…，

_'2,偽奇數(shù)

為偶數(shù)’

又。2022=加+2=8,所以加=6,

所以S2022=(〃1+%)+(%+%)+L+(<72021+tz2022)=1011X6=6066.

故答案：6066

14.對(duì)于有窮數(shù)列｛4｝,從數(shù)列｛4｝中選取第4項(xiàng)、第％項(xiàng)、L、第3項(xiàng)(力<?2<<北)，順次排列構(gòu)成

數(shù)列｛4｝,其中4=唳,1〈左＜m,則稱新數(shù)列｛4｝為｛4｝的一個(gè)子列，稱｛4｝各項(xiàng)之和為｛an｝的一個(gè)

子列和.規(guī)定：數(shù)列｛4｝的任意一項(xiàng)都是｛4｝的子列.則數(shù)列1,2,4,8,16,32的所有子列和的和為

【答案】2016

【解析】

【分析】求出和式中原數(shù)列中各項(xiàng)出現(xiàn)的次數(shù)即可得解.

【詳解】數(shù)列L2,4,8,16,32中的每一項(xiàng)，含有一個(gè)項(xiàng)的子列有C；個(gè)，含有兩個(gè)項(xiàng)的子列有C；個(gè)，

含有三個(gè)項(xiàng)的子列有C；個(gè)，含有四個(gè)項(xiàng)的子列有C；個(gè)，含有五個(gè)項(xiàng)的子列有C：個(gè)，含有六個(gè)項(xiàng)的子列

有C；個(gè)，

因此和式中，數(shù)列1,2,4,8,16,32中的每一項(xiàng)，都出現(xiàn)?；+(2；+€：；+€：；+€：；+(^=25=32次，

所以所求和為(1+2+4+8+16+32)x32=63x32=2016.

故答案為:2016

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用組合計(jì)數(shù)問(wèn)題求出給定數(shù)列的每一項(xiàng)在和式中出現(xiàn)的次數(shù)是求得和的關(guān)鍵.

四、解答題(本題共5道題，共77分)

15.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，已知名=24,與=33.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和5小

(3)當(dāng)〃為何值時(shí)，Sn最大？并求S“的最大值.

【答案】(1)—7〃+45

(2)Sn=--n+—n

n22

(3)當(dāng)〃=6時(shí)，S〃最大,且S〃的最大值為123

【解析】

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,依題意得到關(guān)于4、d的方程組，解得4、d,即可求出通項(xiàng)

公式；

(2)根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得；

(3)令?！啊?求出所對(duì)應(yīng)的〃的取值范圍，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由4=24,與=33,

q1+2d=24(-.——/

所以In%+竽d=33'解得[

〃1=38

所以見=4+(〃-1)2=—7幾+45；

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可得q=38,an=-7H+45,

所以S.=；([+%,)"=38+45—7〃7、83

--------------xn=——n~H------n

2

【小問(wèn)3詳解】

令4=-7〃+45〉0,解得"一,

45

令=-7”+45<0,解得心亍，

72Q

又〃eN*,所以當(dāng)”=6時(shí)，5.最大，(S,J=—x62+—x6=123.

〃\n/max22

16.已知函數(shù)/(6=倒一2爐.

(1)若曲線y=/(x)在其上一點(diǎn)。處的切線與直線y=4x—1平行，求。的坐標(biāo);

(2)求曲線y=/(x)的過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的切線的方程.

(232、

【答案】(1)(2,0)

(2)y=0或x+y=0.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平行關(guān)系確定切線斜率，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)。橫坐標(biāo)，代入

函數(shù)得縱坐標(biāo)，從而得到切點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率，從而設(shè)出切線方程，再根據(jù)過(guò)原點(diǎn)，代入原點(diǎn)坐

標(biāo)得出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再回代得到切線方程.

【小問(wèn)1詳解】

/f(x)=3x2-4x,

設(shè)Q（a,/（a））,因?yàn)橹本€y=4x—1的斜率為4,

所以/'（〃）=3/—4〃=4,

解得〃=—2或2.

3

UT/。）=5

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為［-彳）或（2,0）.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)切點(diǎn)為（飛，％），則%=其-2需'/'（%）=3片—4%，

所以在該點(diǎn)處的切線方程為y—（另—2%：）=（3尤;-4x0）（x-x0）.

因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以0-（無(wú)；—2需）=（3年—4%）（0—%），

解得毛=0或1.

又因F（o）=o,r（i）=-i,

所以切線方程為y=0或x+y=0.

17.已知數(shù)列4=1），2+2='eg產(chǎn)（"eN*）,數(shù)列｛&｝滿足cn=an-bn.

（1）求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛1｝的前〃項(xiàng)和S“.

【答案】（1）b,=3『2

/、c4+3〃

（2）5=44------

〃T

【解析】

【分析】（1）首先求l°g；為=",再代入即可求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可知c==a“也=（3〃—2）H,再利用錯(cuò)位相減法求和.

【小問(wèn)1詳解】

2

又2+2=31og]an=3n

'2

bn=3n-2.

【小問(wèn)2詳解】

n

由（1）知a=3〃-2,an

???。“=%幻=伽一2)1.,

?2i]）+4x]￡|+7X]￡|++（3“—2）x[：]①,

量3/+叱卜日++（"）xg]+（『）xg」

故①-②得gs,=lxg+3x[g]+3義[：]+

4+3〃

?0=4—

18.已知等差數(shù)列｛4｝中，%=3,公差dwO;等比數(shù)列出｝中，4=6，2是出和的的等差中項(xiàng)，與

是力和〃2的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛。,+4｝的前〃項(xiàng)和S,；

(3)記c“=an-&比較cn+1與cn的大小.

【答案】(1)an=2n-l,；

⑵3="+8—1J；

(3)c2>Cj,當(dāng)〃22時(shí)，c?+1<c?.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得到方程組，求出公差和公比，得到通項(xiàng)公式；

(2)利用分組求和法進(jìn)行求解；

3-2n

(3)作差法得到4+1-與=苗廠，從而得到Q>Ci，當(dāng)〃22時(shí)，g+i<g.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椤?-3,

b3=a2—d=3—d

依題意<26]=%+%=3+3+d,

2b2=%+a2=3—d+3

,,,6—d6+d,,277,口o

故偽=2e=2，由4=。也付/一24二0,

解得4=?；?,

因?yàn)閐wO,所以d=2,q=3-2=1,

故%=%+(〃-l)d=l+2(〃-1)=2n—1,

..,6—d—76+d..,....1

其中4T二一-一=2八=--一二4,故公比^二5,

所以勿=4-

【小問(wèn)2詳解】

a?+bn=2n-l+4-^

故S〃=%+4+%+“2++〃,+2=1+3++2YI—1+4+2++4?

”(1+2〃-1)

2

【小問(wèn)3詳解】

2n-l2n+l

Cn=a,，b"=2"—3'Cn+\=an+Ai+l=獷2?

2?+l2H-13—2〃

所以C"+l-c?=三三----2"-2，

當(dāng)n=1時(shí)，c2-q>0,當(dāng)〃22時(shí)，Cn+l-c?<0,

所以當(dāng)”22時(shí)，cn+l<cn.

19.已知數(shù)列｛4｝滿足叫用一（n+1）?！?〃（"+1）,且q=l.

（1）證明是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛數(shù)｝滿足2=2.2",求也｝的前〃項(xiàng)和S.；

（3）若存在使得不等式+++2（〃+25）2成立，求實(shí)數(shù)4的取值范

4%”2〃3冊(cè)4+1

圍.

【答案】（1）證明見解析，4=〃2

(2)S?=(ra-l)x2n+1+2

⑶T

【解析】

【分析】（1）對(duì)遞推式變形結(jié)合等差數(shù)列的概念即可證明，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可;

（2）由（1）知，=〃x2"