勾股定理全章必考題型總結(jié)【4個知識點14個題型】

【知識點1勾股定理】

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.對任意的直角三角形,如果它的兩條直角邊長

分別為a,b,斜邊長為c,那么一定有心』￡，這種關(guān)系我們稱為勾股定理.

2.數(shù)學(xué)語言：如右圖所示，ZU2C是直角三角形，其中較短的直角邊。叫作勾，較長的直角邊6叫做股，斜

邊c叫做弦.

【題型1勾股定理解三角形】

【例1】如圖，在Rt448C中，ZACB=90°,AC=S,BC=6,CD為邊上的高，則CD的長為()

1224

A.2B.5C.-D.-

【變式1】如圖，在△48C中、AB=7cm,BC=5cm,AC=4V2cm,則△48C的面積為(

A.28cm2B.14cm2C.10V2cm2D.14V2cm2

【變式2】如圖，在RtZX/OB和RtZkCOD中，AB=CD=25,OB=1,AC=4.

(1)求OC的長；

(2)求3。的長.

【變式3】如圖，Rta/BC中，NC=90°,^C=V10+V2,5C=V10-V2,求:

(1)RtZk48C的面積；

(2)斜邊N5的長；

(3)求邊上的高CD的長.

C

【知識點2勾股定理的驗證】

勾股定理的驗證主要通過拼圖法完成，這種方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想、圖形拼補為手段，各部分面積

之間的關(guān)系為依據(jù)來實現(xiàn)的.利用面積相等證明勾股定理是最常見的一種方法，常見的幾種證明方法如下

（1）弦圖證明

外弦圖

2

S正方取EFCK=C=（a_bf+4X；Q6

S正方#“BC0=（。-6）2=<?+4X5

???a2+b2=c1???a2+b2=c2

（2）“總統(tǒng)”法（半弦圖）

222

如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形：S^iABCD=（"+'）"）=2/"+上???a+b=c

【題型2勾股定理的驗證】

【例1】勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中能證

明勾股定理的是（）

①②③④

A.②③B.①②③C.①②③④D.②③④

［例2］如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.已知大正方形面積為49,

小正方形面積為4,若用無，y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列四個說法：①/+/=49；②x

-y=2；③x+y=9；④孫+4=49；其中說法正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【變式2】我國漢代的數(shù)學(xué)家趙爽用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的證明.如圖，從圖1變換到圖2,

B.4x-ab+(b—a)2—c2

111r

C.](Q+b)2=2x~ab+—c2

1r11r

D.—(a+h)2=2x(—ah+—c2)

【變式2】下面圖形中可以用來驗證勾股定理的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【變式3】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽

弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,

較短直角邊長為6,若（。+6）2=22,大正方形的面積為17,則小正方形的邊長為（）

C.V6D.2V3

【知識點3勾股定理的逆定理】

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長b、C滿足d+浜『2,那么這個三角形是直角三角形，且邊長C所對的角為直角.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是不是直角三角形

（1）先比較三角形三邊長的大小，找到最長邊：

（2）計算兩條較短邊的平方和與最長邊的平方；

（3）比較二者是否相等；

（4）若相等，則這個三角形是直角三角形，且最長邊所對的角是直角；若不相等，則這個三角形不是直角

三角形.

【題型3判斷一個三角形是直角三角形的條件】

【例1】在下列條件：①-ZB=90°；（3）AB：AC：BC=\-.3：V10；④

G4C+5C）（.AC-BC）=/爐中，能確定△48C是直角三角形的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【例2】在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有/、8兩個格點，試取格點C,使得A/BC是直角三角形，則這樣的格

點C的個數(shù)是（）

A.4B.6C.8D.10

【變式1】若a,b,c為△NBC的三邊，下列條件中：①NB=N4-NC；②/=(b+c)(b-c)；③

//：NB：ZC=3：4：5；④a：b：c=l：V2：遮，則能判定△/BC是直角三角形的個數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2】下列由三條線段a、6、c構(gòu)成的三角形：①a=2nm,b—m--n2,C—rn2+n2(m>n>Q),②a

=2"+l,6=2"2+2〃+l,c=2力2+2〃(〃>0),(^)a=3k,b=4k,c—5k(k)0),VK：y/~c—1：

V3：2,其中能構(gòu)成直角三角形的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式3】如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，已知線段a,6和點尸，且線段的端點和點尸都在格點上，在網(wǎng)

格中找一格點。，使線段a,b,尸。恰好能構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的格點。有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【題型4勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

【例1】如圖，ZADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=\3m,BC=12m.

(1)試判斷以點/,B,C為頂點的三角形的形狀，并說明理由；

(2)求該圖的面積.

D

B

【變式1】如圖，在四邊形/BCD中，ZA=60°,AB=AD=2,BC=2瓜CD=4.求N/DC的度數(shù).

【變式2】如圖，在△48C中，。是8c的中點，DELBC交AB于點、E,且臺殍-/￡2=/°2.

(1)求證：ZA=90°；

(2)若/C=3,BD=25,求/￡的長.

【變式3】如圖，在△4BC中，AD,NE分別是高和角平分線.

(1)若NA4C=86°,ZC=32°,求乙D4Er的度數(shù)；

(2)若48=15,AC=20,AD=12,求證：/8/C是直角.

【知識點4勾股數(shù)】

L定義：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

2.滿足條件：①三個數(shù)都是正整數(shù)；②兩個較小整數(shù)的平方和等于最大整數(shù)的平方.

3.勾股數(shù)的整數(shù)倍仍為勾股數(shù)，如3,4,5的2倍6,8,10仍為勾股數(shù).

4.常見形式：①序-1,2n,"2+1("為大于1的整數(shù))；②4%4序一1,4層+1(〃為正整數(shù))等.

【題型5勾股數(shù)】

［例1］下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有()

①5,12,13；

②0.3,0.4,0.5；

③4,7,5；

④1,2,V3.

A.1組B.2組C.3組D.4組

【例2】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如表格中.則當(dāng)。

=24時，b+c的值為()

a68101214???

b815243548…

c1017263750???

A.162B.200C.242D.288

【變式1】有下列說法：

①：0.6,0.8,1不是勾股數(shù)，，三邊長分別為0.6,0.8,1的三角形不是直角三角形；

②：三邊長分別為1,2,而的三角形是直角三角形，...I,2,店是勾股數(shù)；

③若整數(shù)整數(shù)6,整數(shù)c分別是直角三角形的三邊長，則0.1a,0.16,0.1c必定不是勾股數(shù).

其中錯誤的有()

A.3個B.2個C.1個D.0個

【變式2】當(dāng)直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時，我們稱這三個正整數(shù)為勾股數(shù).

(1)若a,b為一個直角三角形的兩條直角邊長，c為斜邊長，a,b,c為勾股數(shù)，且°="+7,c=〃+8,

"為正整數(shù)，求6的值(用含〃的式子表示)，并直接寫出符合題意的最小的6值.

(2)當(dāng)〃是大于1的整數(shù)時，判斷2","2-1,"2+1是否是勾股數(shù)，并說明理由.

【變式3】以3,4,5為邊長的三角形是直角三角形，稱3,4,5為勾股數(shù)組，記為(3,4,5),類似地,

還可得到下列勾股數(shù)組：(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.

(1)根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律，寫出第六組勾股數(shù)；

(2)用含〃("22且"為整數(shù))的數(shù)學(xué)等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律，并證明.

【題型6勾股定理與方程思想】

【例1】如圖，在RtZ\/2C中，ZC=90°.在邊2c上有一點P,連接NP,且P4=PB,若/C=2,CB=

5,求P幺的長.

C

/

AB

【變式1】如圖，等腰三角形/2C中N8=/C,CDLAB,且CD=4sz,BD=3cm.

(1)求的長;

(2)求△/BC的面積.

ZC=90°,AC=8,BC=6,。為NC上一點，若8。是//BC的角平

分線，求線段的長.

【變式3】如圖，在等腰△/8C中，AB=AC=W,8c=12,/D為△48C的中線，F(xiàn)E垂直平分/C交

于點G,則/G=

【題型7勾股定理與分類討論思想】

【例1】已知△/8C中，ZA=45°,AB=4V2,BC=5,貝UNC=.

【變式1】在Rt448C中，ZACB=90°,AC=8,8c=6,點D為射線8c上一點，當(dāng)是以8。為

腰的等腰三角形時，CD的長為.

【變式2】在△4BC中，48=15,NC=13,2c上的高40長為12,則△/8C的面積為.

【變式3】在等邊△/8C中，點。在8C的延長線上，BC=6,CD=2,點￡在直線NC上，連接

BE.當(dāng)3E=4D時，/￡的長為.

【題型8勾股定理與全等】

【例1】如圖，在△4BC中，/ABC=9Q°,N/=30°,CD平分N4CB,3E_LCD交/C于點E,若BE=

3,則CD的長為()

B

D,

AEC

A.V3B.3C.2V3D.3V3

【例2】在RtZ\Z5C中，ZA=90°,N/8C的角平分線交4c于點與點。為BC中點，連接DE,ABED

【變式1】如圖，四邊形45CD中，點￡是對角線4C上一點，連接BE,若/BAD=NCED=60°,

AB=BD,DE：EC=2：3,AC=6,BE=—^—,BELAC,則△BEC的面積=_______.

A

【變式2】如圖，在四邊形N8CD中，AD=CD,ZADC=120°,ZCBA=60°,8c=4,AB=10,則對

角線AD的長是____.

A

c

【變式3】如圖，在四邊形45C。中，ZABC^90°,CELBC,交線段AD于點E,4FLBD于點F,若

3

BC=-AD,CE=DE,AB=BE,BF'=6則線段。尸的長為____.

A

【題型9勾股樹衍生圖與規(guī)律問題】

【例1】如圖①叫做一個基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹.讓圖①中兩個小正方形各自長出一個

新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹.從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖

③）.這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第五代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)為（）

【變式1】有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形（如圖1）,且

三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2,如此繼續(xù)“生長”下去,

則“生長”第人次后所有正方形的面積和為（）

圖1圖2

A.kB.k+\C.左2D.（4+1）2

【變式2】如圖，。尸=1,過點尸作PPJO尸且勿1=1,得0尸1=應(yīng);再過點P1作尸心，。夕1且尸1尸2=

1,得。尸2=遮；又過點尸2作B尸3，。尸2且尸2P3=1，得0P3=2……依此法繼續(xù)作下去，得?！?024=

()

P3

A.V2022B.V2023C.V2024D.V2025

【變式3】如圖所示，是由北京國際數(shù)學(xué)家大會的會徽演化而成的圖案，其主體部分是由一連串的等腰直角

三角形依次連接而成，其中/吊41/2=/屁42/3="，=/吊4/"+1=90°，（一為正整數(shù)），若M點的坐

標(biāo)是（-1,2）,A\的坐標(biāo)是（0,2）,則，8的坐標(biāo)為（）

【題型10勾股樹衍生圖與面積問題】

【例1】勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一.如圖，以Rt44BC（N/CB=90°）的各邊向外作正方

形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作Si，

左下不重疊部分的面積記作S2,若&=3,則S2的值是（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【變式1】如圖是勾股樹衍生圖案，它由若干個正方形和直角三角形構(gòu)成，Sl，S2,S3,S4分別表示其對應(yīng)

正方形的面積，若已知上方左右兩端的兩個正方形的面積分別是64,9,則&-a+&-$4的值為.

【變式2】勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)明之一.如圖1,以直角三角形N5C的各邊為邊分別向外作正方

形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，三個陰影部分面積分別記為用,

$2,S3,若已知&=2,$2=4,$3=6,則兩個較小正方形紙片的重疊部分(四邊形。EFG)的面積為.

圖1圖2

【變式3】如圖1,以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩個正方形按圖2的方式放置在大

正方形內(nèi)，已知四邊形CDEG的面積為4,則圖中陰影部分面積為.

【題型11勾股定理與新定義三角形】

【例1】如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”，

(1)如圖△N8C中，AB=AC=&,BC=2,求證：△N8C是“美麗三角形”；

(2)在Rt44BC中，ZC=90°,AC=2曲,若△48C是“美麗三角形”，求8C的長.

A

BC

【變式1】定義：如果一個三角形中有兩個內(nèi)角a,0滿足a+2B=90°,那我們稱這個三角形為“近直角三

角形”.

(1)若△NBC是近直角三角形，NB>90°,NC=50°,則//=.

(2)在RtZ\48C中，/A4c=90°,AB=3,/C=4,若CD是/NC3的平分線.

①求證：△3OC為近直角三角形.

②求3。的長.

【變式2］定義：我們把三角形某邊上的中點到這條邊上的高的距離稱為三角形某邊的“中偏度值”.

(1)如圖，在RtZk4BC中，NACB=90°,/C=4,BC=3,求△/8C中N2邊的“中偏度值”；

(2)在△N5C中，/C=13,AB=15,8C邊上的高4D=12,求△48C中2C邊的“中偏度值”.

【變式3】我們新定義一種二角形：兩邊的平方和等于第二邊平方的2倍的二角形叫黑神話悟空二角形.

(1)①根據(jù)“黑神話悟空三角形”的定義，請判斷：等邊三角形一定(選填“是”或“不是”)

黑神話悟空三角形；

②若三角形的三邊長分別是4,4舊，4V5,則該三角形(選填“是”或“不是”)黑神話悟空三

角形；

(2)若Rt44BC是黑神話悟空三角形，/C=90°,AC=342,求48的長.

【題型12勾股定理與立體圖形最短路徑問題】

【例1】如圖，教室墻面4D斯與地面/BCD垂直，點尸在墻面上，若尸/=米，48=2米，點P到

NF的距離是4米，一只螞蟻要從點尸爬到點2,它的最短行程是(）米.

D.6

【例2】如圖，長方體的長為20c機，寬為15c冽，高為10c加，點5離點。為6c冽，一只螞蟻如果要沿著長

方體的表面從點4爬到點8去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）

C.2A/194c冽D.4V41cm

5

【變式1】如圖，圓柱底面半徑為一cm,高為24c機，點4,5分別是圓柱兩底面圓周上的點，且4,5在同

7T

一條豎直直線上，用一根棉線從N點順著圓柱側(cè)面繞3圈到8點，則這根棉線的長度最短為（）

A.2y[41cmB.26cmC.30cmD.

【變式2】如圖是一個二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為60c加、30cm,10cm./和8是臺階兩個

相對的端點，在2點有一只螞蟻，想到/點去覓食，那么它爬行的最短路程是（)

C.100cmD.140cm

【變式3】有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長4D=80（?,高/2=50c加，水深/￡=40”?,

在水面上緊貼內(nèi)壁的G處有一塊面包屑，G在水面線斯上，且PG=3（k7M,一只螞蟻想從魚缸外的/

點沿魚缸壁爬進魚缸內(nèi)的G處吃面包屑.螞蟻爬行的最短路線為（）cm.

c.50V2+10D.10V61

【題型13勾股定理與幾何最值問題】

【例1】如圖，在中，AB=3,NBAC=3Q°,AC=2,點。是△48C內(nèi)一點，則點。到△48C三

個頂點的距離和的最小值是

【例2】在△N3C中，/2=10,BC=6,NC=8,點。在線段5c上從點C向點2移動，同時，點E在線

段上由點/向點8移動，當(dāng)點。與點8重合時運動停止，已知它們的運動速度相同，連接ND,

CE,則AD+CE的最小值為.

【變式1】如圖，在中，ZBAC=90°,AB=3,NC=5,點。是/C邊上的動點，點E是8c邊

上的動點，且保持CD=2E,則(AE+BD)2的最小值為

【變式2】在△NBC中，ZABC=60°,BC=8,NC=10,點。、E在4B、NC邊上，且ND=CE,貝!JCD+BE

的最小值

【變式3】在△4BC中，NBAC=90°,AB=5,AC^~,D,￡分別為射線8c與射線NC上的兩動點,

且BD=4E,連接N。，BE,則NO+AE■最小值為.

【題型14勾股定理的實際應(yīng)用】

【例1】中國高鐵己經(jīng)進入飛速發(fā)展的階段，草原明珠一一美麗的赤峰坡也如愿開通高鐵，如圖，高鐵線路

"N和臨潢大街PQ在點P處交匯，且NQPN=30°,在4處有一所中學(xué).4P=120米.此時有一輛高

速列車在MN上沿7W方向以每秒6米的速度行駛，假設(shè)高速列車行駛時周圍70米以內(nèi)有噪音影

響.（參考數(shù)值：相=3.61,VI布=11.40）

（1）學(xué)校是否會受到影響？請說明理由.

（2）如果受到影響，則影響時間是多長？

Q

【例2】港珠澳大橋是一座連接香港，廣東珠海和澳門的跨海大橋，總長55而2,現(xiàn)有一艘游輪即將靠岸,

當(dāng)游輪到達5點后熄滅發(fā)動機，在離水面高度為5加的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開始時繩子

的長為13m.（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）

（1）若工作人員以1.5/w/s的速度收繩.4s后船移動到點。的