【專題五：平面向量】

一：考綱要求

1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念：

了解向量的實(shí)際背景。

理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義。

理解向量的幾何表示。

2.向量的線性運(yùn)算：

掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。

掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義。

了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。

3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示：

了解平面向量的基本定理及其意義。

掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。

會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算。

理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

4.平面向量的數(shù)量積：

理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。

能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

5.向量的應(yīng)用：

會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。

會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題。

--考情分析

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

1.向量的概念與線性運(yùn)算:理解向2022年題型與分值

量的概念，掌握向量的加法、減法

和數(shù)乘運(yùn)算，以及它們的幾何意義新高考I卷：第3題，5分。題型穩(wěn)定：平面向量在高考中主要以選擇

和運(yùn)算律。能夠運(yùn)用向量的線性運(yùn)新高考II卷：第4題，5分。題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會在解答題

算解決相關(guān)的幾何問題，如判斷向全國甲卷理數(shù)：第13題，5分。中作為工具出現(xiàn)。

量共線、三點(diǎn)共線等。全國甲卷文數(shù)：第13題，5分。分值固定：大部分試卷中平面向量的分值

2.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示：全國乙卷理數(shù)：第3題，5分。為5分，在一些試卷中可能會有涉及向量

了解平面向量基本定理，掌握平面全國乙卷文數(shù)：第9題，5分。的綜合題，分值會有所增加，如2023年全

向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。會國乙卷理數(shù)第19題，向量作為條件參與，

用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法部分分值涉及向量。

2023年

與數(shù)乘運(yùn)算，理解用坐標(biāo)表示的平

面向量共線的條件，能夠通過向量新高考I卷：第3題，5分。

的坐標(biāo)運(yùn)算解決向量的平行、垂直新課標(biāo)I卷：第5題，5分?？键c(diǎn)分布

等問題。新課標(biāo)n卷：第9題，5分。

高頻考點(diǎn)

3.平面向量的數(shù)量積：理解平面向全國甲卷理數(shù)：第11題，5分。

數(shù)量積運(yùn)算：三年來在多套試卷中均

量數(shù)量積的含義及其物理意義，了全國甲卷文數(shù)：第10題，5分。

有考查，如2022年全國甲卷理數(shù)、2023

解平面向量的數(shù)量積與向量投影的全國乙卷理數(shù):第19題，12分（向

年全國乙卷文數(shù)、2024年北京卷等。常涉

關(guān)系。掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，量作為條件參與，部分分值涉及向

及數(shù)量積的定義、運(yùn)算律及應(yīng)用，如利用

會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，能量）。

數(shù)量積求向量的模、夾角，判斷向量的垂

運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，全國乙卷文數(shù)：第6題，5分。

直關(guān)系等。

會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂北京卷：第9題，5分。

求模問題：20222024年都有相關(guān)考

直關(guān)系，還能利用數(shù)量積解決與向天津卷：第13題，5分（雙空題,

題，如2023年新課標(biāo)全國H卷、2024年

量模長、夾角相關(guān)的問題，以及一平面向量部分占一定分值）。

新課標(biāo)全國n卷、2023年北京卷等。求向

些幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系問題。

量模的問題常與向量的數(shù)量積、向量的坐

4.向量的應(yīng)用：會用向量方法解決

標(biāo)運(yùn)算等知識結(jié)合，通過將向量模的平方

某些簡單的平面幾何問題，如證明2024年

轉(zhuǎn)化為向量的平方進(jìn)行求解。

平行、垂直、求線段長度、夾角等;

新高考I卷：第3題，5分。求夾角問題：2023年全國甲卷文數(shù)和

會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題

新課標(biāo)I卷：第3題，5分。理數(shù)、2022年新高考全國II卷等都有考

與其他一些實(shí)際問題，體現(xiàn)向量的

新課標(biāo)II卷：第4題，5分。查。一般根據(jù)向量的數(shù)量積公式

工具性作用。

全國甲卷理數(shù)：第17題，5分。a-b=|6|cos。來求解向量的夾角氏

全國甲卷文數(shù)：第17題，5分。

需要先求出向量的數(shù)量積和向量的模。

北京卷：第10題，5分。

中頻考點(diǎn)

上海卷：第13題，5分。

平行垂直問題：如2024年上海夏季高

天津卷：第14題，5分（涉及平

考、2024年新課標(biāo)全國I卷、2022年全國

面向量取值范圍問題）。

甲卷文數(shù)等。主要通過向量平行或垂直的

條件來建立方程求解參數(shù)，若&=（七,%）,

b=（x2,y2）,則a8的充要條件是

石%一々乂=0；的充要條件是

+%%=0■>

平面向量取值與范圍問題：2024年天

津高考、2023年全國乙卷理數(shù)、2022年新

高考北京、天津、浙江數(shù)學(xué)高考等有涉及。

此類問題通常需要結(jié)合平面向量的運(yùn)算、

幾何圖形的性質(zhì)以及函數(shù)、不等式等知識

來求解。

低頻考點(diǎn)

平面向量基本定理及其應(yīng)用：2022年

新高考全國I卷有考查。主要是用已知的

兩個(gè)不共線的向量作為基底來表示平面上

的其他向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到平行四邊

形或三角形中，利用平面圖形的幾何特征

建立關(guān)系。

命題趨勢

注重基礎(chǔ)：向量題考得比較基礎(chǔ)，突出向

量的幾何運(yùn)算或代數(shù)運(yùn)算，不側(cè)重于與其

他知識交匯，難度不大，有利于考查向量

的基本運(yùn)算，符合課標(biāo)要求。

強(qiáng)調(diào)應(yīng)用：向量是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在平

面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等問題中常

作為工具出現(xiàn)，用來解決長度、距離、垂

直、平行等問題，體現(xiàn)出數(shù)與形的完美結(jié)

合。

綜合創(chuàng)新：可能會出現(xiàn)一些與其他知識綜

合的問題，或者在向量的背景下進(jìn)行創(chuàng)新,

考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)新思維。

三：考點(diǎn)梳理

【題型一：平面向量的概念與線性運(yùn)算】

【知識點(diǎn)講解】

平面向量的概念

1.向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量

的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。

2.向量的模：向量的大小叫做向量的模，記作|初。模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它表示向量的長度。

3.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作6。零向量的方向是任意的。

a

4.單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量。與非零向量&同向的單位向量為一。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。

6.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。相等向量經(jīng)過平移后可以完全重合。

平面向量的線性運(yùn)算

1.向量的加法

三角形法則：已知非零向量a,b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作A3=a，BC=b，則向量叫做。

與匕的和，記作即4+役=48+3。=4。。

平行四邊形法則：已知兩個(gè)不共線向量。，方，以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)向量。4=。，03=6為鄰

邊作平行四邊形$0ACB$,則以。為起點(diǎn)的對角線反就是。與方的和，記作a+6。

運(yùn)算律：向量加法滿足交換律a+Z?=b+a和結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)o

2.向量的減法

相反向量：與向量&長度相等、方向相反的向量，叫做d的相反向量，記作-a。a+(-a)=0。

減法法則：a-b=a+(-b)?通常用三角形法則來求向量的減法，即已知a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

。，作OA=a，OB=b，則=a—b

3.向量的數(shù)乘

定義：實(shí)數(shù)2與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作Xa。當(dāng)2>0時(shí)，2a與a方

向相同；當(dāng)2<0時(shí)，2a與d方向相反；當(dāng)2=0時(shí)，九“=0.12al=1幾11。1，

運(yùn)算律：設(shè)彳，〃為實(shí)數(shù)，則有4(〃a)=(2〃)a,(幾+〃)。=/ta+〃a,A(a+b)=Aa+Ab?

線性運(yùn)算結(jié)論

1.三點(diǎn)共線結(jié)論：若存在實(shí)數(shù);I,使得=則A，B，。三點(diǎn)共線。反之，若A，B，C三點(diǎn)

共線，則存在實(shí)數(shù)X,使得入B=XAC(AC/0)。

2.向量線性運(yùn)算與中點(diǎn)關(guān)系：若M是線段$八8$的中點(diǎn)，則。M=3(。4+。8),其中。為平面內(nèi)任意一

點(diǎn)。

3.向量線性運(yùn)算與重心關(guān)系：在AA5C中，G為重心，則GA+G3+GC=0。反之，若GA+GB+GC=0,

則G為A43C的重心。

【考向一：平面向量的相關(guān)概念】

例題精選【高考真題+模擬精選】

ab

【例題1】(2324高一下?廣東江門?階段練習(xí))設(shè)是非零向量，則時(shí)=忖是。=26成立的()

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結(jié)合共線向量，單位向量，以及充分，必要條件的概念判斷即可.

【詳解】對于非零向量〃力，

ab

由同=同可知向量共線，但不一定是a=26，所以充分性不成立；

ab

由a=26，可知向量a,6共線同向，則冏=何，所以必要性成立，

ab

所以設(shè)。涉是非零向量，則時(shí)="是4=26成立的必要不充分條件，

故選：C.

【例題2】（2425高一下?海南三亞?階段練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.若。與6共線，6與c共線，則4與e共線

a

B.與向量a共線的單位向量為何

C.若a/巧，則存在唯一的實(shí)數(shù)2,使"助

D.OA=O

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共線的定義判斷ABC,結(jié)合數(shù)乘的定義判斷D.

【詳解】對于A,若6=0,貝IU與4不一定共線，故A錯(cuò)誤；

,a

對于B,與向量。共線的單位向量為土?xí)r，故B錯(cuò)誤；

對于C,若6=0，。彳0，則不存在唯一的實(shí)數(shù)2,使4=M，故C錯(cuò)誤;

對于D,0。=0，D正確.

故選：D

相似練習(xí)

【相似題1】多選題.（2022.海南?模擬預(yù)測）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.向量可以用有向線段表示

B.非零向量a與非零向量6共線，則a與6的方向相同或相反

C.向量AB與向量。。共線，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上

D.如果a//6,那么M=W

【答案】CD

【分析】由向量的表示、共線向量的概念以及向量的模的定義逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可求解.

【詳解】對于A,可以用有向線段表示向量，故A不符合題意；

對于B,非零向量.與非零向量b共線即平行，貝?與匕的方向相同或相反，故B不符合題意;

對于C,例如在平行四邊形ABCD中，向量與向量共線,

但A,B,C,。四點(diǎn)不在一條直線上，故C符合題意;

對于D,如果6=2"0,那么./"，但忖=31忖，故D符合題意.

故選：CD.

【相似題2］多選題（2425高一下?貴州遵義?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.我們把既有大小又有方向的量叫作向量B.單位向量是相等向量

C.零向量與任意向量平行D.向量的?？梢员容^大小

【答案】ACD

【分析】根據(jù)向量的定義以及單位向量，零向量的定義，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對于A,我們把既有大小又有方向的量叫作向量，A正確，

對于B,單位向量是長度為1的向量，方向不確定，故不一定是相等向量，B錯(cuò)誤,

對于C,零向量與任意向量平行，C正確，

對于D,向量的模長是實(shí)數(shù)，故可以比較大小，D正確.

故選：ACD

【考向二：平面向量的線性運(yùn)算】

例題精選

【例題1】（2025?貴州銅仁?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則

()

A.BE^--AB+-ADB.BE=-AB--AD

3333

C.BE^-AB--ADD.BE=--AB+-AD

3333

【答案】A

【分析】由向量的加減法，和數(shù)乘運(yùn)算法則直接求解即可.

【詳解】因?yàn)镋是對角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

2

所以AE=§AC,

r\r\1。

貝!J52=5A+AE=5A+4AC=—A5+4（AB+AO）二—±A3+4A。.

33、‘33

故選：A

21

【例題2】（2025?吉林長春?二模）在VABC中，AO=§AC,點(diǎn)E在8。上，^AE=xBA+-BC,貝也=（）

A.--B.--C.--D.--

3567

【答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算將AE用A8與仞表示出來，再利用向量共線定理的推理即可得解.

23

【詳解】因?yàn)?所以AC=；A￡>,

1

+-(AC-AB)=-AC-1x+-

33I3；

=|x|Ar>-L+1jAB=|Ar)-L+|jAB,

因?yàn)槔,D三點(diǎn)共線，所以解得x=1.

故選：C

【例題3】（2024?四川?一模）如圖，在VA3C中,點(diǎn)D,E■分別在AB,AC邊上，且2O=D4,AE=3EC,點(diǎn)尸

為。石中點(diǎn)，則3b=（）

31

B.-BA+-BC

42

3333

C.-BA+-BCD.-BA+-BC

8884

【答案】C

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由點(diǎn)尸為DE中點(diǎn)得：BF=^BD+^BE,因?yàn)閙=04,所以30=384,

111O

因?yàn)?石=5C+C石=5C——AC=BC——(BC-BA\=-BA+-BC,

44、744

1111(31A33

所以3/=—3。+—3E=—3A+——BC+—BA\=-BA+-BC.

2242(44J88

故選：C

相似練習(xí)

【相似題1］（2024?廣東?模擬預(yù)測汨知等邊VA5C的邊長為1,點(diǎn)D,E分別為AB,5c的中點(diǎn)，若。產(chǎn)=3斯，

則AF=（）

1315

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2426

11uun31011

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】A

【分析】?。鸄C,AB｝為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】在VABC中，取｛AC,叫為基底，

因?yàn)辄c(diǎn)2E分別為A5IC的中點(diǎn)，DF=3EF，

所以所

24

111Q

所以A/=AE+￡F=S(A3+AC)+ZAC=2A3+WAC.

故選：A.

【相似題2](2024?四川德陽?模擬預(yù)測)在4ABe中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=；BC,E為AD的中

點(diǎn)，貝UAC=()

A.2AB+6AEB.6AB+2AEC.-2AB+6AED.6AB-2AE

【答案】C

【分析】由BC=33。及向量的加減運(yùn)算即可解.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)锽C=38O,所以AC_A3=3（AZ）_AB）,

得AC=3A￡?-2A8,

^AC=3x2AE-2AB,

^AC=-2AB+6AE,

故選：C

［相似題3］(2024.重慶?模擬預(yù)測汨知點(diǎn)G是VABC的重心，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，若GM=AAB+〃AC,

則%+〃=()

A.—B.-C.—D.

126612

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡GM=4AB+〃AC,求得4",進(jìn)而求得正確答案.

［詳解［GM=-BM=-(AM-AB^=-{-AC-AB\=--AB+-AC,

所以a=_:，〃=)"+〃=一：.

366

故選：C

【考向三：平面向量的共線定理】

例題精選【高考真題+模擬精選】

【例題1】(2025?湖南?模擬預(yù)測)如圖，在一ABC中，點(diǎn)O是線段5C上靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)。的直

線分別交直線AB、AC于點(diǎn)Af、N.設(shè)=AC=nAN>則2〃z+”的值為（）

【答案】C

21

【分析】根據(jù)CO=2O5，結(jié)合平面向量的減法可得出AO=1A3+§AC,結(jié)合A3=冽AM,AC=nAN^

21

可得出A0=§加利用M、N、。三點(diǎn)共線，可求出2〃z+”的值.

【詳解】連接A0,因?yàn)辄c(diǎn)。是線段BC上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，則CO=2O8，

即AO—AC=2（A5—AO）,所以，AO=-AB+-AC,

v733

21

又因?yàn)?AC=nAN，則AO=§機(jī)AM,

因?yàn)?、N、。三點(diǎn)共線，沒MO=kMN，則AO-AM=M^-AM），

所以，AO=[i-k）AM+kAN,且AM、AN不共線，

2121

所以，-m=l—k,—n=k,故一—n=1—k+k=1,因此，2m+〃=3.

3333

故選：C.

【例題2】（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知向量4/不共線，AB=Aa+b,AC=a+]ub,其中2>0,〃>0,

若ABC三點(diǎn)共線，則4+4〃的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)锳B,C三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)上使A8=比4。，BPAa+b=k（a+jub）,

又向量4,6不共線，所以==

[1="k

由；1>0,〃>0,所以>1+4〃22,4初=4,

當(dāng)且僅當(dāng)彳=4〃=2時(shí)，取等號，

即;1+4〃的最小值為4.

故選：B

【例題3】（2022?四川綿陽二模）已知平面向量d,。不共線，AB=4a+6b，BC=-a+3b，CD=a+3b，

則（）

A.A,B,D三點(diǎn)共線B.A,5c三點(diǎn)共線

C.氏C,。三點(diǎn)共線D.A,C,O三點(diǎn)共線

【答案】D

【分析】運(yùn)用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點(diǎn)共線.

【詳解】對于A,BD=BC+CD=-a+3b+a+3b=6b，與AB不共線，A不正確；

對于B,AB=4a+6b-BC=-a+3b.則AB與M不共線，B不正確；

對于C,BC=-a+3b，CD=a+3b，則與CO不共線，C不正確；

對于D,AC=AB+BC=^a+6b-a+3b=3a+9b=3CD,

即AC//CO,又線段AC與CO有公共點(diǎn)C,所以A,C,。三點(diǎn)共線，D正確.

故選：D.

相似練習(xí)—

【相似題1】（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）已知°,6是兩個(gè)不共線的向量，命題甲：向量〃與a-28共線;

命題乙：1=-1，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用向量共線定理即可判斷.

【詳解】對于命題甲，可設(shè)柩+6=4。-2匕），即s+b=Xa_226，

[t=A,1

則一方所以=彳=-5；

對于命題乙，，=-§時(shí)，ta+b=——^a—2b^,則有向量勿+Z;與〃-2》共線.

故甲是乙的充要條件.

故選：C.

【相似題2】（2024.河北衡水.模擬預(yù)測）在VABC中，。是3C的中點(diǎn)，直線/分別與A氏AC交于點(diǎn)

_4___

M,E,N,且A3=§AM,AE=2ED,AC=AANf貝iM=（）

A.-B.-C.-D.-

5342

【答案】B

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，利用AM,AN表示AE，結(jié)合向量三點(diǎn)共線的定理列式運(yùn)算求解.

【詳解】由AE=2即，得AE=gAO=g（A8+AC）=；（gAM+XANj=[AM+gAN.

425

因?yàn)镸,E,N共線，所以2+（=1,解得％=

故選：B.

【相似題3X2024.陜西西安?一模）在VABC中，點(diǎn)O是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段3D上一點(diǎn)，且CO=ZM，

2

AP=-AB+AAC,貝i]/L=（）

【答案】A

2

【分析】依題意可得AC=2An，即可得到AP=§AB+22AO,再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到

2

-+22=1,解得即可.

【詳解】因?yàn)镃Z)=D4，所以AO=gAC,即AC=2AD，

2-2

又4P=—AB+XAC,所以AP=-AB+2；L4￡>,

33

因?yàn)辄c(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，即6、P、。三點(diǎn)共線，

2I

所以：+2彳=1,解得2=：.

36

故選：A

【題型二：平面向量的基本定理以及坐標(biāo)表示】

【知識點(diǎn)講解】

平面向量基本定理

1.定理內(nèi)容：如果,，02是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量d,有且

只有一對實(shí)數(shù)4，%,使其中，不共線的向量6，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有

向量的一組基底。

。理解要點(diǎn)：平面內(nèi)任何向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和，并且這種

分解是唯一的。這為向量的運(yùn)算和解決幾何問題提供了有力工具。

2.定理的意義：平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它將向量的研究從圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，

使得我們可以通過數(shù)的運(yùn)算來研究向量問題，把幾何問題代數(shù)化，從而簡化問題的解決過程。

平面向量的坐標(biāo)表示

1.向量的坐標(biāo)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與左軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量1,j作為

基底。對于平面內(nèi)的一個(gè)向量4,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)％,y,使得

a=xi+yj,這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由4,V唯一確定，我們把有序數(shù)對(羽丁)叫做向量

d的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中％叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做&在y軸上的坐標(biāo)。

。特殊向量坐標(biāo)：零向量0=(0,0),單位向量，=(1,0),/=(0,1)。

2.向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：若AU，%),B(x2,y2),則AB=(%—%,%—%)。即向量A月的坐標(biāo)等

于終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo)。

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=(b=(x2,y2),則a+b=(菁+%2，%+%)。

2.向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=(%,%),/?=(%,%)，則a—b=(七一9,%-%)。

3.向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(%,%),4是實(shí)數(shù)，則4。=(元。

4.向量平行的坐標(biāo)表示:設(shè)。=(七,必)，6=(%2，%)，：其中6/0,則成出的充要條件是占%-工2%=0.

重要結(jié)論

1.平面向量基本定理的唯一性：若a=4q+402，Ha=Me]+〃202，則4=4且4=〃2。這進(jìn)

一步強(qiáng)調(diào)了平面向量在一組基底下分解的唯一性，有助于我們在解決向量問題時(shí)準(zhǔn)確運(yùn)用定理。

2.向量坐標(biāo)運(yùn)算與幾何意義的聯(lián)系：向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)果與向量的幾何性質(zhì)緊密相關(guān)。例如，向量模長

的坐標(biāo)公式為|a|=J、+y2(設(shè)，這是通過勾股定理從向量坐標(biāo)得到向量模長的計(jì)算方法，

體現(xiàn)了向量坐標(biāo)與幾何長度的聯(lián)系。又如，向量的夾角公式cos6=1^=甘寧(設(shè)

a=(Xi，M),b=(x2,y2)),將向量的夾角問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，從而能方便地通過坐標(biāo)來求解向量間的

夾角。

3.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若4和必)，B(x2,y2),則線段$AB$的中點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(三產(chǎn)，豆產(chǎn))。這一公

式可由向量的加法和中點(diǎn)的向量表示推導(dǎo)得出，在解決涉及線段中點(diǎn)的幾何問題和向量問題中經(jīng)常用到。

【考向一：平面向量的基本定理應(yīng)用】

例題精選【高考真題+模擬精選】

【例題11(2024?上海浦東新?三模)給定平面上的一組向量G、%則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的

基底的是()

A.2,+62和61-62B.6+3%和/+3q

C.36一弓和羽一6弓D.q和,+/

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】對A：不存在實(shí)數(shù)2,使得2q+e2=X（e-ej,

故2%+/和9-弓不共線，可作基底；

對B：不存在實(shí)數(shù)彳，使得q+3e2=X但+3烏），

故6+3,和/+3,不共線，可作基底；

對C：對3,-4和24-66,因?yàn)閑；是不共線的兩個(gè)非零向量，

且存在實(shí)數(shù)-2,使得2e2-6q=-2（3e「ej,

故犯-4和24-6,共線，不可作基底；

對D：不存在實(shí)數(shù)4，使得4=%令+q），故G和q+e；不共線，可作基底.

故選：C.

【例題2]（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知VABC中，點(diǎn)O,E滿足8D=OC，AE=2EC,^BD=a<DE=b，

則A2=（）

A.a-3bB.-a+3bC.5a-3bD,-5a+3b

【答案】A

【分析】根據(jù)題設(shè)條件和向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】如圖，由=得DC=a，貝=，EC=DC-DE=a-b>

又AE=2EC，所以AC=3EC=3（a-6）,

貝I]AB=AC+C8=3"6）+（-2a）=a-36,

故選：A.

【例題3】（2022?河南鄭州?三模）在VABC中，。是BC上一點(diǎn)，BO=2DC,M是線段AO上一點(diǎn)，BM

=tBA+-BC,貝曠=（）

4

【答案】D

【分析】先根據(jù)已知向量關(guān)系得出AM,再應(yīng)用待定系數(shù)法求參即可.

1?

【詳解】BD=2DC,AD-AB=2（AC-AD）,AD=-AB+-AC.

AM=AB+BM=AB-tAB+^（AC-AB）=^-t^AB+^AC,

17

由M是線段AD上一點(diǎn)，^AM=AAD=-2AB+-AAC,其中0W4W1,

1,373

—z=----1,

所以3;:4解得＜

-2=-,

[348

故選：D.

相似練習(xí)—

【相似題1】（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）設(shè)平面向量￡=（4,2）,6=（加,1）,若.與b不能作為平面向量的一

組基底，則“力=（）

A.2B.10C.-6D.0

【答案】B

【分析】由條件，結(jié)合基底的定義列方程可求〃?，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求a.6

【詳解】因?yàn)閍與6不能作為平面向量的一組基底，

所以a//b，又。=（4,2）,/?=（m,l）,

所以4-2m=0,故〃?=2,

所以6=（2,1）,

所以。.6=4x2+2x1=10.

故選：B.

【相似題2]（2025?山東?模擬預(yù)測）在VABC中，AB=2,AC=3,BD=DC,AE=2EB.若

AD+CE=AAB+JuAC,貝1|2+〃的值為（）

【答案】C

【分析】由。為2C的中點(diǎn)得到AO=:（A3+AC）,再由CE=|A5-AC,即可求解；

【詳解】因?yàn)?。=。。，所以。為2C的中點(diǎn)，所以AD=；（A3+AC）.

22

又A石=2m，所以=所以CE=C4+A石=]AB—AC,

1r\fi-t

所以AO+CE=5（A3+AC）+jA8-AC=kA8-5Aa

71?

所以丸=7,4=一彳，所以2+4二彳.

o23

故選：C

【相似題3】（2025?廣東廣州?一模）在平行四邊形ABC￡＞中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BC=4EC，點(diǎn)尸是線

段DE的中點(diǎn)，若4尸=248+〃AD,則〃=（）

573

BC

A.4-8-D.4-

【答案】C

【分析】由A方=—（AD+A￡）,及=+—即可求解.

2、）4

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)尸是線段DE的中點(diǎn),

所以A廠=g（AO+AE）,

————3———3一

XAE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD,

44

1^71

所以A尸=—（AD+A石）=—AD+—AB,

2、182

7

所以〃=$，

o

故選：c

【考向二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】

例題精選卜【高考真題+模擬精選】

【例題1】（2025?貴州遵義?模擬預(yù)測）已知向量w,0,〃在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，將歷繞著起點(diǎn)

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到向量。，若“="犯一"V,則"?+”=（）

【答案】A

【分析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求解即可;

【詳解】

由圖可得。=53，以A為原點(diǎn)，AC為了軸，AE為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1,

C（0,3）,A（0,0）,E（3,0）,B（3,l）,Z）（3,2）,G（5,-2）,

所以a=（2,_2）,"=AB=（3,l）,v=CD=（3,-l）,

因?yàn)?=〃肛—,即（3,1）=加（2,—2）—“（3,-1）=（3,1）=（2〃?一3”,—2〃?+〃），

3=2m-3n

3

1=-2m+nm=——

I2

所以加+〃二——.

故選：A.

【例題2](2425高一下?廣東廣州?階段練習(xí))己知點(diǎn)A(3,T)與B(-l,2),點(diǎn)P在直線AB上,且|AP|=21pBi

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(-5,8)B.(1,0)C.(7,-10)D.或(―5,8)

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)有AP=±2PB，設(shè)P(x，V)并應(yīng)用線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】令P(x，y),由點(diǎn)P在直線4B上，,尸|=2|依|,貝UAP=±2P8，

[x—3=-2—2xx=—

所以(x-3,y+4)=2(-l-x,2-y),則，,。，可得3,

卜+4=4-2y[=0

[x—3=2+2尤[x=—5

(x-3,y+4)=-2(-l-x,2-y),則可得，

[y+4=-4+2y[y=8

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為?或(-5,8).

故選：D

【例題3】(2425高一下?山東?階段練習(xí))已知向量AB=(—2,1),AC=(3,4),則gc=()

A.(1,5)B.(―1,一5)C.(~5,—3)D.(5,3)

【答案】D

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即得.

【詳解】由向量A5=(—2,1),AC=(3,4),得BC=AC-AB=(5,3).

故選：D

相似練習(xí)

【相似題1】(2425高一下?江蘇淮安?階段練習(xí))若向量。=(1,-百)，則與。方向相反的單位向量

a

【分析】先求出向量的模長，再求出一時(shí)即可.

【詳解】向量4=（1,-白），則同=2,

故與。方向相反的單位向量是-告=李?

回I22J

故答案為:

【相似題2】(2425高一下.湖北.階段練習(xí))已知A(-2,4),B(3,-l),C(-3,-4),且劣，,BC=b，CA=c，

若CM=3c，CN=-2b.

⑴求3a+b-2c；

(2)求滿足Q=成?+〃。的實(shí)數(shù)相，〃的值；

(3)求