第21講立體幾何截面問題10類

【題型一】做截面的基本功：補全截面方法

【典例分析】

在長方體ABCD-AiBiCQi中，AB=AAi=2,AD=3,點E、F分別是AB、AAi的中點，點E、F、Qe平面a,

直線AiDiC平面a=P,則直線BP與直線CDi所成角的余弦值是

【變式演練】

1.如圖，在正方體ABCD-A4G口中，M、N、尸分別是棱G。、的中點，則經(jīng)過〃、N、P的平

面與正方體A8CD-A4G2相交形成的截面是一個（）

A.三角形B.平面四邊形C.平面五邊形D.平面六邊形

2.如圖，在正方體ABC。-A4GR中，E是棱cq的中點，則過三點A、DI、E的截面過（）

D\C.

A.AB中點B.BC中點C.CD中點D.BB1中點

3.如圖正方體ABCD-A4GR，棱長為1，尸為8C中點，。為線段CG上的動點，過A、P、Q的平面截該正

方體所得的截面記為。.若&=彳&1,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.當時，。為四邊形B.當4時，。為等腰梯形

D.當4=1時，。的面積為好

C.當力時，。為六邊形

2

【題型二】截面形狀的判斷

【典例分析】

一個三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且

球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側(cè)棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（）

【變式演練】

1.如圖，正四棱錐尸-的高為12,AB=6五,E,尸分別為R4,PC的中點，過點B,E,F的截

面交PD于點截面將四棱錐分成上下兩個部分，規(guī)定而為主視圖方向，則幾何體CZMB-WWE

的俯視圖為（）

2

2.用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（）

A.直角三角形B.直角梯形C.正五邊形D.正六邊形

3.在正方體AG中，M為中點，N為BC中點、,P為線段CG上一動點（不含C）過M、N、P與正方體

的截面記為a,則下面三個判斷，其中正確判斷的序號有.

CP1

①當尸為CG中點時，截面a為六邊形；②當文＜5時，截面。為五邊形；

③當截面1為四邊形時，它一定是等腰梯形；

【題型三】平行關(guān)系確定截面

【典例分析】

在三棱錐A-38中，AB=CD=a,截面MNPQ與A3,8都平行，則截面MNPQ的周長等于（）

A.2aB.4?C.aD.無法確定

【變式演練】

1.在正方體ABC。-4與&2中，與AC平行，且過正方體三個頂點的截面是和.

2.若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面a平行的棱有（）

A.0條B.1條

C.2條D.4條

3.如圖是一個以AAISCI為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為AABC.已知A4I=4,BB\=2,

CG=3.在邊AB上是否存在一點0,使得0C〃平面AiBiG.

3

A

C

【題型四】垂直關(guān)系確定的截面

【典例分析】

己知正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）ABC-AAG的體積為6月，AB=2石，￡＞是4G的中點，點尸是

線段AD上的動點，過且與AP垂直的截面a與AP交于點E,則三棱錐尸-3CE的體積的最小值為

5

C.2D.

2

【變式演練】

1.如圖，ABCD-AB'C'D為正方體，任作平面a與對角線AC'垂直，使得a與正方體的每個面都有公共點,

記這樣得到的截面多邊形的面積為S,周長為/,則（）

A.S為定值，/不為定值B.S不為定值，/為定值C.S與/均為定值D.S與/均不為定值

2.正方體ABC。-的棱長為4,已知AG，平面a,AC、u§,則關(guān)于a、4截此正方體所得截面的

判斷正確的是（）

A.a截得的截面形狀可能為正三角形B.AA與截面a所成角的余弦值為必

3

C.1截得的截面形狀可能為正六邊形D.4截得的截面形狀可能為正方形

3.已知正方體A3s-A4G2的棱長為2,M為A%的中點，平面a過點R且與CM垂直，貝|（）

A.CM±BDB.89〃平面a

9

C.平面平面。D.平面a截正方體所得的截面面積%

4

【題型五】求截面周長

【典例分析】

如圖，在正方體中，AB=4,E為棱BC的中點，/為棱4。的四等分點（靠近點S）,

過點A,E,歹作該正方體的截面，則該截面的周長是.

【變式演練】

1.正三棱柱ABC-AbBiG中，所有棱長均為2,點、E,尸分別為棱4G的中點，若過點A,E,尸作一

截面，則截面的周長為（）

C.2y/5+y/l3D.2A/5+—

2

2.己知在棱長為6的正方體ABCDAiSGDi中，點E,F分別是棱CiA,BiCi的中點，過A,E,尸三點作

該正方體的截面，則截面的周長為.

3.已知直三棱柱A8C-A與G的側(cè)棱長為2,ABLBC,AB=BC=2.過A3、8片的中點后、R作平面a與

平面MGC垂直，則所得截面周長為（）

A.272+76B.V2+2A/6C.+"D.30+2痣

【題型六】求截面面積

【典例分析】

已知正四棱柱AB8-A4CQ中，BE=：BBi=2,4AB=3AA,,則該四棱柱被過點A，C,E的平面截得

的截面面積為.

【變式演練】

1.正方體A3。-A4CQ的棱長為2,E是棱的中點，則平面AGE截該正方體所得的截面面積為（）

5

A.5B.2A/5C.476D.2a

2.在棱長為。的正方體A3CZ）-中，E為AA的中點，則過8、4、E三點的平面截正方體

ABC。-A4GR所得的截面面積為（）

A3癡〃B.2/C.里2D.反

8842

3.已知正方體A3。-4瓦。田的棱長為2,點P在線段圖上，且耳尸=2PC,平面。經(jīng)過點AP，G，則正

方體ABCD-A^QD,被平面a截得的截面為,其面積為.

【題型七】球截面

【典例分析】

正三棱錐P-ABC中，0PA=AB=40，點E在棱24上，且PE=3E4,已知點P、A、B、C都在球。的

表面上，過點E作球。的截面a,則。截球。所得截面面積的最小值為.

【變式演練】

1.己知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，四個頂點在球。的球面上，平面1經(jīng)過棱AB,AC,AD的中點，

S,

若平面a截三棱錐A-3CD和球。所得的截面面積分別為加，邑，則，=（）

A.mB.9C.—D.—

87r167r8兀64?

2.某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點都在半徑為3的球。上,

當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球0的截面面積是（）

A.〃B.4萬C.8萬D.9〃

3.已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球,BC=3,AB=273,

點E在線段8。上，且B￡）=38E.過點E作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

A.2萬B.3兀C.4〃D.5%

6

【題型八】截面分體積

【典例分析】

已知正四棱柱中AG、4A的交點為。I，AC、8。的交點為。2，連接。。2，點。為。的中點.過點。且

與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和亞，則正四棱柱

ABCD-A.B^D,的體積為.

【變式演練】

1.正方體ABC。-A耳G2中，E,尸分別是棱用G，G2的中點，則正方體被截面夜郎分成兩部分的體積

之比為.

2.如圖所示，在長方體ABCD-AB'C'D中，用截面截下一個棱錐C-40。則棱錐C-ADD的體積與剩余

部分的體積之比為（）

A.1：5B.1：4C.1：3D.1：2

3.三棱錐ABC中，E、F、G、〃分別是棱ZM、DB、BC、AC的中點，截面EPGH將三棱錐分成兩個幾

何體：AB-EFGH,CD-EFGH,其體積分別為匕、匕，則乂：匕=（）

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）

【典例分析】

如圖，一個底面半徑為尺的圓柱被與其底面所成角為。（0°＜。＜90。）的平面所截，截面是一個橢圓，當。為

30。時，這個橢圓的離心率為（）

7

D-T

【變式演練】

i.古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截

圓錐，當圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，

在底面半徑和高均為1的圓錐中，AB、8是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，E是母線尸3的中點，尸是

線段EO的中點，已知過8與石的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該曲線為

,是該曲線上的兩點且MN〃CD,若MN經(jīng)過點/，則|MN|=.

2.如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓

錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點耳，過橢圓上一點尸作圓錐的母線，分別與兩個球

相切于點M,N.由球和圓的幾何性質(zhì)可知，PN=PF、,尸加=尸好.已知兩球半徑分為別1和3,橢圓的離心率

為顯,則兩球的球心距離為.

2

8

3.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研

究，其中比利時數(shù)學家GerminH（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大

小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E,F,在截口曲線上任取

一點4過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C,B,由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC,AF=AB,

于是由8,C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口

曲線是以E,尸為焦點的橢圓.

如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P,則球在桌面上的投影是橢圓.已知A4

是橢圓的長軸，尸4垂直于桌面且與球相切，尸4=5,則橢圓的離心率為.

【題型十】截面最值

【典例分析】

DOEC

己知長方體4c2中，AB=BC=^,點E在線段CG上，才=彳（。＜彳《D,平面a過線段

的中點以及點4,E,若平面a截長方體所得截面為平行四邊形，則實數(shù)X的取值范圍是（）

9

1112

A.[0,1]B.C.D.

4'22'32

【變式演練】

1.在棱長為1的正方體ABCD-A4GB中，尸是線段8a上的點，過A1的平面a與直線尸。垂直，當尸在線

段BG上運動時，平面。截正方體所得的截面面積的最小值是（）

A.1B.-C."D.垃

42

2.在如圖所示的直三棱柱ABC-A4G中，M=4,ABLAC,過點4作平面a分別交棱AB,AC于點￡）,

E,且AF1DE，乙招尸=60。，則截面面積的最小值為（）

A.16A/3B.32^/3C.366D.4873

3.如圖所示，在長方ABC。-A與GR中，A8=3,AO=4,A4=5,點E是棱CG上的一個動點，若平面BER

交棱AA于點F,則四棱錐與-32犯尸的體積為,截面四邊形跳肛尸的周長的最小值為

【課后練習】

1（寧夏銀川市第六中學上學期第一次8月考）.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMV是正方形，則在下

列說法中，錯誤的為（）

10

A

B.AC//截面尸。跖V

C.AC±BDD.異面直線PM與3。所成的角為45。

2.如圖：△P48為圓錐的軸截面，AB=2,NR鉆=60。，點E為R4的中點，過點E作既與直線尸3平行又

與平面W垂直的截面,該平面與圓錐底面上的圓周交于F,G兩點，記直線E尸與圓錐底面所成的角為a,

記直線R4與截面所成的角為夕，則a與4的關(guān)系為（）

A.a<(3B.a=BC.?>/?D.以上都有可能

3.（北京數(shù)學高考）如圖，在正方體ABCD-ABCQ中，M.N、P、。分別是所在棱的中點，則下列結(jié)

論不正確的是（）

A.點G、，到平面MCV的距離相等B.PN與。M為異面直線

C.ZPNM=90°D.平面9V截該正方體的截面為正六邊形

4.（安徽省六安市第一中學上學期開學考）如圖，在四面體ABC。中，若截面PQWN是正方形且PQ〃AC,

則在下列說法中，錯誤的為（）

11

A.AC±BDB.AC〃截面PQMN

C.AC=BDD.異面直線PM與2。所成的角為45。

5.（北京市北京二中高三12月份月考）如圖，正方體48co-的棱長為1,尸為3C的中點，。為線

段C&上的動點，過點A,P,0的平面截該正方體所得的截面記為S.

131

①當0<CQ<m時，s為四邊形；②當CQ=a時，s與G2的交點火滿足GR="

③當W<CQ<1時，s為六邊形；④當02=1時，S的面積為好.

42

則下列選項正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.（百師聯(lián)盟高三上學期開學摸底聯(lián)考（全國1卷））如圖，在正方體A8CD-A4GA中，點尸為線段AG

上的動點（點P與A1,G不重合），則下列說法不正確的是（）

A.BD1CP

B.三棱錐的體積為定值

C.過P,C,2三點作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形