第40講一元二次不等式

考試要求1.從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式與相應(yīng)

的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系（B級(jí)要求）；2.求解一元二次不等式（C級(jí)要求）.

I基陽診斷能地歸教材；夯實(shí)基礎(chǔ);1i

診斷自測

1.（教材改編）不等式X2—3X—10>0的解集是.

解析解方程x2—?》-10=0得xi=-2,X2=5,

由于j=x2—3%—10的圖象開口向上，所以%2—3%—10>0的解集為（-8,—

2）U（5,+8）.

答案（一8,-2）U（5,+8）

v—I—1

2.（揚(yáng)州市2018屆高三上學(xué)期期中）不等式Ji丁<2的解集為.

元―|—Y

解析--1<2,即1［—三<0等價(jià)于（1—x）x<0,

二.不等式的解集是（一8,0）U（1,+°°）.

答案（一8,0）U（l,+8）

3.（教材改編）若關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是（一看貝Ia+b=

解析Vxi=-X2=g是方程加+加；+2=0的兩個(gè)根,

b、、八

廠/2=0,

a——12,

解得?—14.

匕a+.b]+,2=0八,[b=-2,

答案一14

4.（必修5P78例3改編）某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，日銷售量式單位：件）與貨價(jià)p（單位:

元/件）之間的關(guān)系為p=160—2x,生產(chǎn)x件所需成本C=500+30x元.若使得日

獲利不少于1300元，則該廠日產(chǎn)量所要滿足的條件是.

解析由題意得（160—2x）?龍一（500+30x）21300,解得20WxW45.

答案［20,45］

5.(必修5P80習(xí)題8改編)若不等式x2—2x+F-2>0對于任意的xG[2,+8)恒

成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是..

解析由x2—2x+產(chǎn)―2>0,得廬>一X2+2X+2,設(shè)<x)=-x2+2x+2,找x)=一

(%—1)2+3,當(dāng)X>2,可求得/(X)max=2,則F4%)max=2,所以左或左<一爽

答案(一8,一也)U(6，+°°)

知識(shí)梳理

1.“三個(gè)二次”的關(guān)系

判別式

/>0J=0/<0

/=b2~4ac

AbK/

二次函數(shù)丁=加+

bx+c(a>0)的圖象xN/XX

2OxA=x2x

OMX

2

一元二次方程ax有兩個(gè)相等實(shí)根XI

有兩個(gè)相異實(shí)根

=

bxc0(〃>0)_b沒有實(shí)數(shù)根

XI,X2(X1<X2)=皿二一五

的根

一元二次不等式(-8,-務(wù)U

(一8,X1)U(X2,

ax1-\~bx~\-c>0(<2>0)R

+°°)(—梟+°°)

的解集v2a7

一元二次不等式

ax2-\~bx~\-c<0(6z>0)(XI,九2)00

的解集

2.常用結(jié)論

(%—tz)(x-Z?)>0或(x—a)(x—。)<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x—a)-(x-b)>0[x\x<a或x>b}

(x—d)-(x—b)<00[j^b<x<a]

口訣：大于取兩邊，小于取中間.

3.分式不等式的等價(jià)變形

(l)^lr>0(<0)??.g(x)>0(<0).

f(%)

(2)『方三O(WO)=/a>g(x)》O(WO)且g(x)*O.

以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.

考點(diǎn)突破1「分類講練，似例求法覆

考點(diǎn)一一元二次不等式及分式不等式的解法

【例1】解下列關(guān)于x的不等式.

01%+1-

(1)—6f—5x+1<0;(2)W3.

解(1)原不等式轉(zhuǎn)化為6f+5x—1>0,方程6f+5%—1=0的解為%2=

T.根據(jù)尸61十5X—1的圖象，可得原不等式的解集為]x|x<T,或

v—I—12光—1

(2)原不等式變形為冷一3W0,即1―20,

所以原不等式的解集為]木斗或x<°[.

規(guī)律方法(1)可通過解相應(yīng)一元二次方程的根，再畫出相應(yīng)二次函數(shù)的圖象，

求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有兩種方法：方法一是轉(zhuǎn)化變形為

%—ClX—CL

:7<0(。<與或者：;>0(a<6)的形式，方法二是針對分母的正負(fù)進(jìn)行討論；如第

x>0,x<0,

⑵題，就可以轉(zhuǎn)化成<、x+lW3x或者‘再分別求解.

、九十133%,

考點(diǎn)二含參不等式解法

【例2】(1)解關(guān)于％的不等式：x2—(。+1)%+。<0.

(2)解關(guān)于x的不等式：ax1~(a+l)x+1<0.

解⑴由％2—(〃+1)元+〃=0,得(尤—d)(x—1)=0,

12=1,

①當(dāng)a>\時(shí)，x2—(〃+1)X+〃<0的解集為{X[1<X<Q},

②當(dāng)a—1時(shí)，A2—(〃+1)%+。<0的解集為0,

③當(dāng)a<\時(shí)，x2—(a+l)x+〃<0的解集為{X[Q<X<1}.

(2)若〃=0,原不等式等價(jià)于一元+1<0,解得Q1.

若a<0,原不等式等價(jià)于(x—()(x—1)>0,

解得"I或*>L

若a>0,原不等式等價(jià)于(x一1)(x—1)<0.

①當(dāng)。=1時(shí)，：=1，，一］(x—1)<0無解；

②當(dāng)a>l時(shí),(<1，解得

③當(dāng)0<。<1時(shí)，解/一：)(%—1)<0,

得1<%2.

a

綜上所述，當(dāng)。<0時(shí)，解集為{x|x<(或x>l};

當(dāng)。=0時(shí)，解集為{小>1};

當(dāng)0<?<1時(shí)，解集為卜

當(dāng)。=1時(shí)，解集為。；

當(dāng)a>l時(shí)，解集為卜;<x<j.

規(guī)律方法含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，

對參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論；

(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是

二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；

⑶對方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.

【訓(xùn)練11⑴求不等式12d一axA/gcR)的解集.

(2)解關(guān)于x的不等式kx2-2x+k<0(k^R).

解(D'TZx2—QX>〃，「?12%2—OX—。2>0,

即(4元+〃)(3元一〃)>0,令(4x+。)(3%—〃)=0,

得Xl=-/a

X2=3-

①當(dāng)a>0時(shí)，W，解集為klx_系或

②當(dāng)。=0時(shí)，f>0,解集為｛x|x6R,且x#0｝；

③當(dāng)a<0時(shí)，一點(diǎn)冶，解集為]小號(hào)或&

綜上所述，當(dāng)。>0時(shí)，不等式的解集為

卜或X>§；

當(dāng)。=0時(shí)，不等式的解集為｛xlxeR,且xWO｝；

當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為或x>—&

(2)①當(dāng)^=0時(shí)，不等式的解為x>0.

②當(dāng)左>0時(shí)，若4=4—4->0,即0<女<1時(shí)，

丁竺三的鏟、八1rl一產(chǎn)」」+3—標(biāo)

不善式的解為卜<x<卜；

若/WO,即左》1時(shí)，不等式無解.

③當(dāng)左<0時(shí)，若/=4—4嚴(yán)>0,即T(左<0時(shí)，不等式的解為?或

K

1—"\11—F

X>,

若/<0,即左V—1時(shí)，不等式的解集為R；

若/=0,即左=—1時(shí)，不等式的解集為｛x|xW―1｝.

綜上所述，上>1時(shí)，不等式的解集為。；

0〈左〈1時(shí)，不等式的解集為

[l-yfl—lc1+弋1—刊

lx|k<x<kJ;

左=0時(shí)，不等式的解集為｛x|x>0｝；

當(dāng)一1(左<0時(shí)，不等式的解集為

,1+^/1—Zc21—^/1—

k，^k

左=—1時(shí)，不等式的解集為｛x|xW-1｝;

左<—1時(shí)，不等式的解集為R.

考點(diǎn)三三個(gè)二次的關(guān)系

【例3】已知函數(shù)Hx)=2/+加;+c(0,cGR)的值域?yàn)椋?,+8),若關(guān)于x的不

等式的解集為(〃，n+10),求實(shí)數(shù)m的值.

解因?yàn)楹瘮?shù)八%)："+笈+c(0,c@R)的值域?yàn)椋?,+8),

所以/=/一8C=0,所以c=3

O

因?yàn)椴坏仁?x)〈機(jī)的解集為(〃，幾+10),

cb2

所以2加，

2x+fcr+4o<

即相的解集為(〃，

Zr+Zzx+Oi—<0n+10),

02

設(shè)方程+相=0的兩根為XI,%2,

O

2

EIIbbm

則XI十九2=一］,X1X2=~^—^,

所以|%1~X2\—AJ（X1+X2）2—4X1X2

解得m=50.

規(guī)律方法(1)一元二次不等式解的兩個(gè)邊界就是一元二次方程的根，二次函數(shù)

的零點(diǎn)，也就是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)若%1,%2為ax1+bx+c=

I---------------\(b\2,—4QC

0(aW0)兩根，則|XLX2|=^f7x?+x2)2—4x1X2=A/—~—4X-=-^—r-.---=

Y\aja1。1

l?l-

考點(diǎn)四一元二次不等式的應(yīng)用

【例4】某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降

Q

低X成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加“成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).

(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y,試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)，并寫出定

義域；

(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.

解(1)由題意得y=100。一總,100(1+梟：；

因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以100(1一司一80N0.

即xW2,

所以y=Hx)=40(10—x)(25+4x),

定義域?yàn)椋?,2］.

(2)由題意得40(10—x)(25+4x)》10260,

..八113

化簡得30x+13W0,解得］WxW不

所以x的取值范圍是(，2.

規(guī)律方法求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟

(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.

(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立

相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義.

(4)回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果.

【訓(xùn)練2】甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求

KW10),每小時(shí)可獲得的利潤是100(5尤+1—：)元.

⑴要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；

(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？

并求最大利潤.

解(1)根據(jù)題意得

200(5%+1—3)三3000,

3

整理得

5%—14—x

即5X1—14%—3三0,

又IWXWIO,可解得3WxW10.

即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元，x的取值范圍是［3,10］.

⑵設(shè)利潤為y元，則

900?100(5尤+1-1

y=

7x

=9X104（5+5一宵

=9Xlo{-[1-1f+T2,

_3\；x6/12_

故當(dāng)x=6時(shí)，ymax=457500元.

即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤最大，最大

利潤為457500元.

I鰥時(shí)作業(yè)'分層訓(xùn)練，提升能力

一、必做題

1.（教材改編）不等式一3/+5無一4>0的解集為.

解析原不等式變形為3/—5x+4V0.

因?yàn)?=（—5）2—4X3X4=—23V0,

所以3X2—5x+4=0無解.

由函數(shù)y=3f-5x+4的圖象可知3/—5x+4<0的解集為0.

答案。

Y-1

2.（教材改編）不等式五不ywo的解集為.

(%—1)⑵+1)W0,

解析原不等式等價(jià)于<

、2x+lW0,

「1

一產(chǎn)后1,

即〈,即一;4W1.

產(chǎn)2，

故原不等式的解集為（一/1

答案「；，1

3.若集合A={xk*—ax+l<O}=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

解析由題意知。=0時(shí)，滿足條件.

[a>0,

當(dāng)aW0時(shí),由/=

(—a),—4aW0,

得0<aW4,所以0WaW4.

答案[0,4]

4.(2017?南京三模)記不等式r+x—GvO的解集為集合A,函數(shù)y=lg(x—a)的定義

域?yàn)榧螦若“x?A”是“xRB”的充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為..

解析由題意得A=(—3,2),B=(a,+°°),AQB,

—3.

答案(一8,-3]

5.若關(guān)于％的不等式X2—2〃%—8/<0(〃>0)的解集為(XI,⑼，且12一》=15,則Q

解析由%2—26zx—8a2<0,

得(%+2〃)(%—4〃)<0,因?yàn)閍>0,

所以不等式的解集為(一2m4a),

即%2=4Q,xi=-2a,由X2—xi=15,

得4a—(一2。)=15,解得。;怖.

答案|

6.已知不等式a——法—1巳0的解集是一斗，則不等式好一法一a<0的解集

是.

解析由題意知一g,一；是方程ax2—bx—1=0的根，

所以由根與系數(shù)的關(guān)系得一；+(一1j=§,—g)=—(?解得a=—6，6=5,

不等式x2—bx—a<0即為％2—5x+6<0,解集為(2,3).

答案(2,3)

7.某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬

元，七月份銷售額比六月份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增x%,九、十月

份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000

萬元，則x的最小值是.

解析由題意得，

3860+500+[500(1+%%)+500(1+x%)2]X27000,

化簡得(x%)2+3?x%—0.6420,

解得尤％N0.2,若X％W—3.2(舍去).，尤N20,即x的最小值為20.

答案20

8.若不等式一2W%2—2ox+aW—1有唯一解，則a的值為

解析若不等式一2Wx2—2以+aW—1有唯一解，則X2—2ax+a=—1有兩個(gè)相

等的實(shí)根，所以/=4/一4(a+l)=0,解得。=耳5

1±木

冬里-----丫—

口木2

f+x(xNO)，

9.已知人x)={7,:則不等式五/—x+l)<12的解集是.

—x+x(x<0).

解析由題意得當(dāng)x20時(shí)，火x)20,且火外單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時(shí)，兀0<0,且次x)

單調(diào)遞增，因?yàn)椤?+0=—。2+0,所以汽冷在R上單調(diào)遞增，又火3)=12,所以

?x2—x+l)<12^/(x2—x+1)勺(3)=/—x+1<3=>—l<x<2.

答案(一1，2)

10.已知關(guān)于X的不等式<1.

X—J1

(1)當(dāng)。=1時(shí)，解該不等式；

⑵當(dāng)。為任意實(shí)數(shù)時(shí)，解該不等式.

解(1)當(dāng)a=l時(shí)，不等式化為人一<1,化為一<0,

所以14<2,解集為{x|la<2}.

,(。+1)%—3/口。%—2

(2)由------------<1,得一-<0,

x-lX—1

即(方一2)(九-1)<0.

2

當(dāng)>1,即。=2時(shí)，解集為Q

當(dāng)即0v〃v2時(shí)，解集為］x|K?；

CL［口J

當(dāng)今1,即a>2時(shí)，解集為恁

當(dāng)。=0時(shí)，解集為{x|x〉l};

當(dāng)a<0時(shí)，解集為卜%?；騲>”.

二、選做題

11.解關(guān)于x的不等式ax2-(2a-\-l)x+2<0(6zR).

解原不等式可化為(a%—1)(%—2)<0.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可以化為a(x—2)(x—0<0,根據(jù)不等式的性質(zhì)，這個(gè)

不等式等價(jià)于(L2)1L%0.因?yàn)榉匠?x—2)(T)=0的兩個(gè)根分別是2,5

所以當(dāng)0<a只時(shí)，2<《，則原不等式的解集是]x|2<U；當(dāng)時(shí)，原不等

式的解集是。；

當(dāng)寸，*