初三元旦競賽考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.一元二次方程$x^2-3x=0$的根是（）A.$x=3$B.$x_1=0$，$x_2=3$C.$x=0$D.$x_1=0$，$x_2=-3$2.拋物線$y=2(x-3)^2+4$的頂點坐標是（）A.$(3,4)$B.$(-3,4)$C.$(3,-4)$D.$(-3,-4)$3.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，若$\sinA=\frac{3}{5}$，則$\cosB$的值是（）A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$4.已知$\odotO$的半徑為$5$，點$P$到圓心$O$的距離為$3$，則點$P$與$\odotO$的位置關系是（）A.點$P$在$\odotO$外B.點$P$在$\odotO$上C.點$P$在$\odotO$內(nèi)D.無法確定5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形6.若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k$為常數(shù)，$k\neq0$）的圖象經(jīng)過點$(-2,3)$，則$k$的值是（）A.$-6$B.$6$C.$-5$D.$5$7.一個不透明的袋子中裝有$4$個紅球、$3$個白球，每個球除顏色外都相同。從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率是（）A.$\frac{4}{7}$B.$\frac{3}{7}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{4}$8.已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象如圖所示，則下列結論：①$abc\gt0$；②$b^2-4ac\gt0$；③$2a+b=0$；④$a+b+c\lt0$。其中正確的個數(shù)是（）A.$1$個B.$2$個C.$3$個D.$4$個9.如圖，$\triangleABC$內(nèi)接于$\odotO$，若$\angleA=40^{\circ}$，則$\angleBOC$的度數(shù)為（）A.$20^{\circ}$B.$40^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$80^{\circ}$10.用配方法解方程$x^2-6x+5=0$，配方后所得的方程是（）A.$(x-3)^2=-4$B.$(x+3)^2=-4$C.$(x-3)^2=4$D.$(x+3)^2=4$答案：1.B2.A3.B4.C5.C6.A7.A8.C9.D10.C二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下運算正確的是（）A.$a^2\cdota^3=a^5$B.$(a^2)^3=a^6$C.$a^6\diva^2=a^3$D.$(ab)^3=a^3b^3$2.下列方程中，是一元二次方程的有（）A.$x^2-2x=0$B.$x+1=0$C.$x^2+\frac{1}{x}=0$D.$x(x-1)=x^2$3.關于二次函數(shù)$y=2(x-1)^2+3$，下列說法正確的是（）A.圖象的開口向上B.圖象的對稱軸為直線$x=1$C.函數(shù)的最大值為$3$D.當$x\gt1$時，$y$隨$x$的增大而增大4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體可能是（）A.三棱柱B.三棱錐C.圓柱D.長方體5.以下事件中，是隨機事件的有（）A.明天會下雨B.打開電視，正在播放廣告C.三角形內(nèi)角和是$180^{\circ}$D.擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數(shù)是$8$6.已知點$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函數(shù)$y=\frac{2}{x}$的圖象上，若$x_1\ltx_2\lt0$，則下列結論正確的是（）A.$y_1\lty_2$B.$y_1\gty_2$C.$y_1=y_2$D.無法確定$y_1$與$y_2$的大小關系7.如圖，在$\odotO$中，弦$AB=CD$，則下列結論正確的是（）A.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$B.$\angleAOB=\angleCOD$C.$OE=OF$（$OE\perpAB$，$OF\perpCD$，垂足分別為$E$、$F$）D.$AB\parallelCD$8.下列因式分解正確的是（）A.$x^2-4=(x+2)(x-2)$B.$x^2+2x+1=(x+1)^2$C.$x^2-2x-1=(x-1)^2$D.$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$9.若關于$x$的一元二次方程$x^2-2x+m=0$有兩個不相等的實數(shù)根，則$m$的值可以是（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.$2$10.如圖，在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，以點$C$為圓心，$r$為半徑作圓，當$\odotC$與直線$AB$相切時，$r$的值為（）A.$\frac{12}{5}$B.$2$C.$\frac{5}{2}$D.$\frac{15}{4}$答案：1.ABD2.A3.ABD4.A5.AB6.B7.ABC8.ABD9.AC10.A三、判斷題（每題2分，共20分）1.二次函數(shù)$y=x^2$的圖象開口向下。（）2.方程$x^2-4=0$的解是$x=2$。（）3.圓內(nèi)接四邊形的對角互補。（）4.若$\sinA=\frac{1}{2}$，則$\angleA=30^{\circ}$。（）5.所有的正多邊形都是軸對稱圖形。（）6.反比例函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的圖象在第一、三象限。（）7.用公式法解方程$2x^2-3x-1=0$時，$b^2-4ac=17$。（）8.一個三角形的三條中位線長分別為$3$、$4$、$5$，則原三角形的面積為$24$。（）9.若點$P(-2,a)$與點$Q(b,3)$關于原點對稱，則$a+b=-1$。（）10.圓錐的底面半徑為$3$，母線長為$5$，則圓錐的側面積為$15\pi$。（）答案：1.×2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.解方程：$x^2-4x-5=0$。答案：分解因式得$(x-5)(x+1)=0$，則$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。2.計算：$\sin60^{\circ}+\vert-\sqrt{3}\vert-\sqrt{12}+(\frac{1}{2})^{-1}$。答案：$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\vert-\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2=2-\frac{\sqrt{3}}{2}$。3.已知二次函數(shù)$y=x^2+bx+c$的圖象經(jīng)過點$(1,0)$和$(0,-3)$，求該二次函數(shù)的解析式。答案：把$(1,0)$和$(0,-3)$代入$y=x^2+bx+c$得$\begin{cases}1+b+c=0\\c=-3\end{cases}$，把$c=-3$代入$1+b+c=0$得$b=2$，所以解析式為$y=x^2+2x-3$。4.如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2$，$DB=3$，$DE=4$，求$BC$的長。答案：因為$DE\parallelBC$，所以$\triangleADE\sim\triangleABC$，則$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$AB=AD+DB=5$，即$\frac{2}{5}=\frac{4}{BC}$，解得$BC=10$。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論一元二次方程$mx^2-2x+1=0$（$m\neq0$）根的情況。答案：$\Delta=(-2)^2-4m=4-4m$。當$\Delta\gt0$，即$4-4m\gt0$，$m\lt1$且$m\neq0$時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當$\Delta=0$，即$m=1$時，方程有兩個相等實數(shù)根；當$\Delta\lt0$，即$m\gt1$時，方程無實數(shù)根。2.已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$與一次函數(shù)$y=x+1$的圖象有一個交點的橫坐標為$2$，討論這兩個函數(shù)圖象交點的情況。答案：把$x=2$代入$y=x+1$得$y=3$，將$(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$得$k=6$，則反比例函數(shù)為$y=\frac{6}{x}$。聯(lián)立方程$\begin{cases}y=\frac{6}{x}\\y=x+1\end{cases}$，得$x^2+x-6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-3$，即交點為$(2,3)$和$(-3,-2)$。3.如圖，在$\odotO$中，$AB$是直徑，$AC$是弦，過點$C$作$\odotO$的切線$CD$交$AB$的延長線于點$D$，若$\angleA=30^{\circ}$，討論線段$BD$與$OB$的數(shù)量關系。答案：連接$OC$，因為$CD$是切線，所以$\angleOCD=90^{\circ}$。$\angleA=30^{\circ}$，則$\angl