數學模型

數學建模及其應用視角下的概率與數列相結合問題——2026屆新高考數學熱點精準復習

2025/6/7

數學家華羅庚說過“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，無處不用到數學?！?/p>

中科院數學院士吳文俊也說“數學，尤其是數學模型，存在于萬事萬物之中，可以說‘萬物皆模型’?！?.情境導入，鏈接高考2025/6/7

方程是一種數學模型

研究宏觀世界的相對論2025/6/7

方程是一種數學模型

研究微觀世界的量子力學2025/6/7

不等式是一種數學模型示例1：你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？(1)某路段限速40km/h.(2)某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.

(節(jié)選自必修第一冊37頁)解：對于(1)，設在該路段行駛的汽車得速度為Vkm/h，“限度40km/h”就是V的大小不能超過40，于是0＜V≤40.對于(2)，由題意，得2025/6/7

函數是一種數學模型示例2：當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？(節(jié)選自必修第一冊113頁)解：設生物死亡年數為

，死亡生物體內碳14含量為

，則2025/6/7

概率也是一種數學模型示例3：甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，且均為相互獨立的投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率均為0.5．第n次投籃的人是甲的概率記做Pn，請你嘗試尋找與Pn相關的遞推關系.(節(jié)選自2023年新高考全國I卷第21題，有改動、刪減.)2025/6/7什么是數學模型？什么是數學建模？

簡單來說，數學模型就是變量之間的關系式.

數學建模，就是建立數學模型的過程.2025/6/72.剖析習題，經典再現(xiàn).

例1：

籃球比賽中，為了訓練隊員之間的團隊合作意識，經常會進行三人傳球練習.現(xiàn)已知A、B、C三人之間相互做傳球訓練，且均為相互獨立的進行傳球，第1次由A將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求經過n次傳球后球在A手中的概率Pn.(結果用n表示)

(選自選擇性必修三91頁第10題，稍作改編.)2025/6/7

建模步驟1：在解決數學問題時，我們可以先計算一些特殊情況，獲取一些具體的數據，為下一步分析數據做準備.

01-算一算問題1：請大家動手采用列舉法計算P1、P2、P3、P42025/6/7

02-找一找問題2：你能在問題1的基礎上，找到P2與P1，P3與P2，

P4與P3之間關系滿足的共同規(guī)律嗎？

這里可以類比在學習數列時尋找前后項規(guī)律的一些方法.

初步進行數學抽象，從具體的數據中抽象出一些具體的規(guī)律.2025/6/7

03-推一推追問1：你能在問題2的基礎上，推廣到一般情況嗎？

第n次球回到A手中等價于前一次不在A手中，且下一次回到A手中.建模步驟2：設計變量，尋找變量之間的數學關系式(關系式即模型).

追問3：現(xiàn)在你能說一說這個數學表達式

背后的邏輯推理過程嗎？

追問2：這里的1-Pn-1在概率上代表什么？

在這個問題中的實際意義是什么？2025/6/7第1次傳球第2次傳球第n-1次傳球第n次傳球狀態(tài)流程圖在A手中在B或C手中

下一次可以傳回A手中

下一次不可能傳回A手中全概率公式模型的實際應用2025/6/7

04-寫一寫問題3：現(xiàn)在你能在前面分析的基礎上，自己將這個問題改寫成一道

數列題嗎？

這就是轉化與化歸的數學思想，將未知的問題變?yōu)槲覀兪熘膯栴}.2025/6/7

建模步驟3：模型求解，解決問題.典型構造，共同回顧.待定系數，拆分構造2025/6/7數學建模的一般步驟

理解問題、獲取數據轉化問題、求解模型設計變量優(yōu)化模型、反饋結果建立模型

建模的核心是數學抽象

邏輯推理

分析數據、尋找關系2025/6/705-練一練

甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，且均為相互獨立的投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率均為0.5．

第n次投籃的人是甲的概率記作Pn，請你嘗試尋找與Pn相關的遞推關系.

(節(jié)選自2023年新高考全國I卷第21題，有改動、刪減.)

現(xiàn)在請大家按照剛才我們研究問題的思路，讓我們小組合作共同完成這個問題，先進行問題轉化，畫出流程圖，再抽象出數學模型.2025/6/7第1次投籃第n-1次投籃第n次投籃狀態(tài)流程圖乙投籃甲投籃

甲投中，下一次繼續(xù)甲投籃

乙未投中，下一次換甲投籃自然語言數學語言邏輯對應第2次投籃2025/6/7

邏輯推理

數學抽象，建立模型

模型求解2025/6/73.教材背景，改編重組.

拋骰子實驗是我們學習概率的重要媒介，下面讓我們繼續(xù)沿著數學建模的視角再來看老師對課本上拋骰子問題的改編.

例2：甲同學投擲一顆質地均勻的骰子，每次出現(xiàn)朝上點數小于3點得1分，否則得2分，反復投擲這顆骰子且每次投擲都是相互獨立的，將甲每次的得分累計記作n，你能計算出累計得分為n的概率Pn嗎？(出題背景源自必修第二冊和選擇性必修第三冊)2025/6/7數學建模報告

問題：甲同學投擲一顆質地均勻的骰子，每次出現(xiàn)朝上點數小于3點得1分，否則得2分，反復投擲這顆骰子且每次投擲都是相互獨立的，將甲每次的得分累計記作n，你能計算出累計得分為n的概率Pn嗎？建模的研究路徑：

計算特例，獲取數據

分析數據，設置變量

尋找關系，建立模型

轉化問題，求解模型

模型優(yōu)化，結果反饋2025/6/7一.建模前期準備問題1：每次投擲得1分和2分的概率分別是多少？P1，P2分別是多少？問題2：請你們畫一畫對應的流程圖，看能否找到和Pn+1相關的遞推關系式，說一說你找到的關系式背后的數學邏輯.關系式：

數學邏輯：問題3：你可以將這個問題改寫成你所熟知的一個數學問題嗎？累計得n+1分等價于在累計得n分基礎上再得1分，或者是在累計得n-1分基礎上再得2分.2025/6/7二.建模中期求解問題4：請你們仔細觀察關系式中的系數，類比前面的拆分方法，從而構造出你們所熟知的數列，小組嘗試看看吧.2025/6/7三.建模后期優(yōu)化問題5：我們能不能換個視角，類比最開始的傳球問題，從對立事件出發(fā)，得到一個新的數學關系式呢？說一說你的邏輯推理過程.關系式：

數學邏輯：我的收獲：

累計得不到n+1分等價于在累計得n分基礎上再得2分.2025/6/7

從自然走向理性，用數學丈量世界2025/6/74.課時小結，理清主線

同學們可以先說說在這節(jié)課上運用到了哪些知識以及數學思想方法，或者你自己還有什么困惑呢？2025/6/74.課時小結，理清主線

數學模型及應用知識線相互獨立事件、對立事件全概率公式的應用求通項公式思想線方程思想化歸思想尋找變量間的等式關系對問題進行轉化素養(yǎng)線數學抽象數學運算數學建模根據具體情境抽象出數學表達式運用合理的運算手段處理問題方程模型、數列模型、概率模型等從教材到高考數列與概率2025/6/75.探究作業(yè)，延伸拓展

(一)書面作業(yè)

1.完成前面例2的后續(xù)解答過程.

2.對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，

表示“甲藥的累計得分為

時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，請你說明關系式

的邏輯推理過程.(節(jié)選自2019年全國卷第21題，有改動、刪減.)(二)探究作業(yè)

前面的三人傳球問題，若改成4人傳球呢？5人呢？若是k人傳球呢？請你們小組合作嘗試解決這個問題，并與大家分享你們發(fā)現(xiàn)的一些結論.可以是PPT匯報或是數學小論文.

(三)項目式作業(yè)(問題背景源自2021年新高考全國II卷第4題)

我國的北斗導航衛(wèi)星系統(tǒng)由5顆地球靜止同步衛(wèi)星組成，請你們查詢相關的資料，結合所學習過的物理、立體幾何、函數知識，建立相關的模型，解決下面的問題.可查詢的網址：(北斗官網)(全國大學生建模官網)推薦的書籍：《中學數學建模思維導學》《數學建模競賽優(yōu)秀論文評析》(1)地球靜止同步衛(wèi)星發(fā)出的信號覆蓋地球表面積與哪些因素相關？哪些是主要因素，哪些是次要因素.(2)請你設計相關變量，畫出幾何圖形后再建立函數關系，求出1顆地球靜止同步衛(wèi)星發(fā)出

的信號覆蓋地球表面積的表達式.(3)2顆地球靜止同步衛(wèi)星發(fā)出的信號最多可以覆蓋地球表面積多少？(4)3顆地球靜止同步衛(wèi)星發(fā)出的信號能否覆蓋全球？說明理由.(5)要想實現(xiàn)全球定