第第頁2025年中考數學總復習《動態(tài)幾何問題》專項檢測卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．P，Q兩點分別從A，C同時出發(fā)，點P沿折線A→B→C向終點C運動，在AB上的速度為每秒4個單位長度，在BC上的速度為每秒2個單位長度；點Q以每秒3個單位長度的速度沿線段CA向終點A運動．過點P作PD⊥AC于點D，以PD，DQ為鄰邊作矩形PDQE．設運動時間為x秒，矩形PDQE和△ABC重疊部分的圖形面積為y(1)當點Q和點D重合時，x=；(2)求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；(3)在運動過程中，連接PQ，取PQ中點O，連接OC，直接寫出OC的最小值．2．已知：如圖，AB是AB⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是弧AC上一動點，AG，DC的延長線交于點P．連接BC．

(1)若∠DGF=115°，求∠BCD的度數；(2)若AB=4，∠B=60°，求3．如圖①是一種折疊式晾衣架．晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖②所示，已知晾衣臂OA=OB=120cm，支撐腳OC=OD=120cm，展開角∠COD=60°，晾衣臂支架PQ=MN=80cm(1)當晾衣臂OA與支撐腳OD垂直時，求點A距離地面的高度；(2)當晾衣臂OB從水平狀態(tài)繞點O旋轉到OB′（D、O、B′在同一條直線上）時，點N也隨之旋轉到OB′上的點N4．在矩形ABCD中，點E是CD邊上一點，將△ADE沿AE折疊，使點D恰好落在BC邊上的點F處．(1)如圖1，若tan∠EFC=34(2)如圖2，在線段BF上取一點G，使AG平分∠BAF，延長AG，EF交于點H，若FG=BG+CF，求AB:BC5．（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AB邊上任意一點，則CD（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點M、點N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值；（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是AB邊上一點，且AE=2，點F是BC邊上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為點G，連接AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值？若存在，求出四邊形AGCD面積的最小值；若不存在，請說明理由．6．[問題探索]如圖1，P是等邊△ABC內一點，AP=3，BP=5，CP=4，求∠APC的度數．[方法引導]（1）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉60°到△AP1C①請按此方法完成解題過程；②直接寫出△BPC的面積是_____．[拓展延伸]（2）如圖3，P是△ABC內一點，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠BPC=120°，且PB=23，PC=4，求PA7．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點O是邊AC上的一個動點，過點O作OD⊥AB于D，在線段AC上取OE=OD，連結ED，作EP⊥ED，交射線AB于點P，交射線CB于點F．(1)求證：△ADE∽△AEP；(2)設OA=x，AP=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量取值范圍；(3)當BF=2時，求線段AP的長．8．【發(fā)現問題】在數學活動課上，同學們研究兩個正三角形位置關系時，發(fā)現某些連線之間總存在某種特定的關系．【問題探究】如圖1，在正△ABC和正△DEF中，點A和點E重合，點C與點F重合，所以，AD=BE,AD∥【類比分析】（1）如圖2，點E在AB上，點C與點F重合，求證：AD=BE,AD∥【學以致用】（2）點E在AB上，連接EF，以EF為邊向上作正△DEF,AB=12,BE=2AE．①如圖3，點F在AC上，當點D、E在AC異側，AE=AD,求AFCF②點F在AC上，當點D、E在AC同側，AE=kAD，請利用備用圖，畫出圖形，求AFCF【拓展應用】（3）在（2）的前提下，如圖4，點F在BC上，直接寫出AD的最小值．9．如圖1，在圓內接四邊形ABCD中，AD，BC的延長線交于點E，連結BO并延長交AD于點G，連結BD．已知BD=AB，∠CDE=3∠CBD，DE=154，

(1)求證：∠GBD=∠CBD．(2)求OG與GD的長．(3)如圖2，F是BO中點，動點P在FG上從點F向終點G勻速運動，同時動點Q在AE上從點E向終點A勻速運動．當點Q在點D處時，點P在點O處，設QE=x，PG=y．①求y關于x的表達式．②連結PQ，當直線PQ與△BCD的某一邊所在的直線垂直時，記垂足為點M，直接寫出QM的值．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，動點P從點A出發(fā)，沿射線AB以每秒1個單位長度的速度運動，當點P不與點B重合時，將線段PB繞點P旋轉得到線段PQ，使點Q與點C始終在AB同側，且∠BPQ=∠A，連接BQ，CQ．設點P

(1)AB的長為_________．(2)用含t的代數式表示PQ的長．(3)當CQ∥AB時，求t的值．(4)當以點C，P，B，Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．11．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發(fā)沿折線段BA?AD?DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD?DA?AB于點E．點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒(t>0)．

（1）當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；（2）當點P運動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC；（3）設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．12．如圖1，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為A8,0和B0,6，點P為x軸負半軸上的一個動點，畫△ABP的外接圓，圓心為M，連結BM并延長交OM于點C，連結圖1

圖2(1)當點P位置如圖1所示，求證：∠OBP=∠ABC．(2)當⊙M直徑為15時，求點P的坐標．(3)如圖2，連結OC，請直接寫出OC的最小值．13．如圖，在菱形ABCD中，BC=10，E是邊BC上一點，過點E作EH⊥BD，垂足為點H，點G在邊AD上，且GD=CE，連接GE，分別交BD、CH于點M、N．

(1)已知sin∠DBC=①當EC=4時，求△BCH的面積：②當CH=HM+1時，求CE的值；(2)延長AH交邊BC于點P，當設CE=x，請用含x的代數式表示HPCN14．如圖（1），在△ABC中，AC=92，∠C=45°，tanB=3，動點G從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BC方向運動，過點G作GE⊥BC，交折線BAC于點E，以GE為斜邊向右作Rt△GEF，使得sin∠EGF=35，設點(1)當點E為AB的中點時，t的值為；(2)當點F恰好落在AC上時，如圖（2），求t的值；(3)如圖（3），當點G從點B出發(fā)時，點Q同時從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿CB方向運動，當點Q到達點B時，點Q、G同時停止運動．在運動過程中，過點Q作QM⊥BC交射線CA于點M，以QM為一邊向左作△QMN，使得△QMN∽△EGF，當△QMN和△EGF分別有一條邊恰好在同一直線上時，請直接寫出t的值．15．綜合與實踐課上、數學老師讓同學們通過折紙進行探究活動．【動手操作】如圖1，將平行四邊形紙片ABCD沿過頂點A的直線折疊，使得點D落在BC邊上的點G處，折痕交CD于點E，再沿著過點G的直線折疊，使得點B落在AG邊上的點H處，折痕交AB于點F．將紙片展平，畫出對應點G，H及折痕AE，FG，連接FH，AG，EG．【初步探究】（1）確定FG和AE的位置關系及線段AF和DE的數量關系．求知小組經過一番思考和研討后，發(fā)現FG∥由折疊，可知∠DAE=∠GAE=12∠DAG又由平行四邊形的性質，可知DA∥BC，∴∴①______．∴FG∥先測量AF和DE的長度，猜想其關系為②______．奮進小組經過一番思考和研討后，發(fā)現在尋找AF和DE的數量關系時，方法不一：方法一：證明△AHF≌△GCE，得到AF=GE，再由方法二：過點G作AB的平行線交AE于點N，構造平行四邊形AFGN，然后證GN=GE可得結論補充上述過程中橫線上的內容：①______；②______．【類比探究】（2）如圖2，將平行四邊形紙片ABCD特殊化為矩形紙片ABCD，重復上述操作．請判斷FG和AE的位置關系及AF和DE的數量關系是否發(fā)生變化，并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=4，按上述操作折疊并展開后，過點G作GM∥CD交AE于點M，連接HM．當△GHM為直角三角形時，直接寫出16．如圖1，經過點C0,?4且對稱軸為直線x=?32的拋物線是由拋物線y=x2平移得到的，并與x軸分別交于A，B

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；(2)如圖，在第三象限的拋物線上有一動點P，若滿足tan∠PCA=14(3)如圖2，點D，E為拋物線對稱軸上的兩動點，其縱坐標的積為?254，直線BD與BE分別交拋物線于點F，G，試確定直線17．在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于點A、B（A在B左側），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線l，點P是拋物線上位于點B(1)求∠ABC的度數；(2)若∠PBC=∠ACO，求點P的坐標；(3)已知點Pp,n，若點Qq,n在拋物線上，且①僅用無刻度的直尺在圖2中畫出點Q；②若PQ=2t，求p218．如圖，在平面直角坐標系中拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(A在B的左側），與y軸交于點C(0,6)其中AB=8，連接AC，BC(1)求該拋物線的表達式：(2)線段DE位于第一象限，且在線段BC上移動，EF∥y軸交拋物線于點F，連接DF．若DE=2，求△DEF的面積的最大值及此時點D(3)將該拋物線沿射線CB方向平移，使得新拋物線經過（2）中△DEF的面積取得最大值時對應的點D處，且與直線BC相交于另一點K．點P為新拋物線上的一個動點，當∠PDK=∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點P的坐標，并寫出求解點P的坐標的其中一種情況的過程．19．如圖，已知拋物線y=14x+?2+k．點A?1,2在拋物線的對稱軸上，B0,54是拋物線與y(1)直接寫出?，k的值；(2)如圖，若點D的坐標為3,m，點Q為y軸上一動點，直線QK與拋物線對稱軸垂直，垂足為點K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個最小值及點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖，連接AD，AC，若∠DAC=60°，求點D的坐標．20．如圖1，⊙M與x軸交于A(?2,0)、B(8,0)兩點，與y軸交于點C，拋物線y=ax2?6ax+b過

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，動點P從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度向點A運動，運動時間為t秒，連接PC、BC，當∠BCP=45°時，求△PCB外心坐標；(3)如圖3，過P作PQ⊥PC交直線BC于點Q，當CQ=3BQ時，求出t的值．參考答案1．（1）解：如圖1，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，∴AC=A∵PD⊥AC于點D，∴∠ADP=90°，∵AP=4x，CQ=3∴PD=12AP=2x當點D與點Q重合時，則23∴x=2故答案為：23（2）解：當點P與點B重合時，則4x=4，∴x=1；當點P與點C重合時，則2(x?1)=2，∴x=2，此時CQ=23，則點Q與點A當0<x<2則PD=2x，DQ=23∴y=2x2當23則EQ交AB于點R，∵PD=2x，DQ=33x?23∴RQ=AQ?tan∴y=1當1<x<2時，如圖3，則PE交AB于點M，QE交AB于點N，∵∠BPM=90°，∠B=60°，∴PM=BP?tan∵∠AQN=90°，∠A=30°，AQ=23∴QN=AQ?tan∴y=1綜上所述，y=?6（3）解：當點P在AB邊上時，作OF⊥AD于點F，則∠CFO=90°，OF∥∴△QOF∽△QPD，∵O是PQ的中點，∴OFPD∴OF=12×2x=x如圖4，點D在點Q的上方，則CF=3如圖5，點D在點Q的下方，則CF=3∴OC∴OC∴OC當點P在BC邊上，如圖6，CP=2?2x?1=4?2x，CQ=∴PQ∴PQ∴PQ∵∠PCQ=90°，O是PQ的中點，∴OC=1∴OC綜上所述，OC的最小值是2212．解：（1）連接OD，∵∠DGF=115°，∴∠AGD=65°，∴∠AOD=2∠AGD=130°，∵∠AOD+∠DOB=180°，∠DOB=2∠BCD，∴130°+2∠DCB=180°，∴∠BCD=25°；（2）連接OC，∵OB=OC，∠B=60∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，∵CD⊥AB，∴EC=OC?sin60°=3∴CD=2EC=23

3．（1）解：如圖②，作OE⊥CD交CD于E，AF⊥OE交OE反向延長線于F．∵OC=OD=120m，∠COD=60°，∴∠EOD=1在Rt△OED∵cos∠EOD=∴OE=603∵OA⊥OD，∴∠AOD=90°，∴∠FOA=60°，在Rt△AFO∵cos∠AOF=∴OF=60，∴EF=OE+OF=603∴點A距離地面的高度為603（2）解：如圖②，作MG⊥OB交OB于G．∵OC=OD，∠COD=60°，∴△OCD為等邊三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°．∵OB∥CD，∴∠BOC=∠OCD=60°，在Rt△MGO∵cos∠GOM=OGOM∴OG=20，GM=203在Rt△MNG∵NG∴NG=2013∴ON=NG+OG=2013如圖③，作MH⊥OD交OD于H．在Rt△MHO∵cos∠MOH=OHOM∴OH=20，HM=203在Rt△MH∵N′∴N′∴ON∵ON?ON∴點N在晾衣臂OB上滑動的距離為40cm．4．（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，由折疊的性質得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，AF=AD，∴tan設CE=3k，則CF=4k，∴DE=EF=5k，又∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴△ABF∽△FCE，∴AB∴8k4k∴BF=6k，∴BC=BF+CF=6k+4k=10k，∴AB（2）解：如解圖2，過點G作GM⊥AF于點M，∵FG=BG+CF，FG+BG+CF=BC∴FG=∵AD=AF，∴FG=∵∠MFG=∠BFA，∠FMG=∠FBA=90°，∴△MFG∽△BFA，∴GMAB設BG=x，∵AG平分∠BAF,?∴BG=MG=x，AB=AM=2x，設FM=y，則BF=2y，∵A∴(2x)2而AF=∴2x+4∴ABBC5．解：（1）過點C作CD⊥AB于D，如圖：根據垂線段最短可知此時CD最小，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4∴AB=A∵12∴CD=AC×BC故答案為：125（2）如圖，作出點C關于BD的對稱點E，過點E作EN⊥BC于N，交BD于M，連接CM，此時CM+MN=EM+MN=EN最??；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=3，∴BD=B∵CE⊥BD，∴1∴CF=BC×CD∵點C與點E關于BD對稱，∴CE=2CF=24在Rt△BCF中，cos∴sin在Rt△CEN中，EN=CE?∴CM+MN的最小值為9625（3）四邊形AGCD的面積存在最小值，最小值為152如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，∴AC=A∵AB=3，AE=2，∴點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方，設點G到AC的距離為?，∵S∴當四邊形AGCD的面積最小時，?最小，∵把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為點G，∴EG=BE=AB?AE=1，∴點G軌跡是以點E為圓心，1為半徑的圓在矩形ABCD內部的一部分上的點，∴EG⊥AC時，?最小，由折疊知∠EGF=∠ABC=90°，延長EG交AC于H，則EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin在Rt△AEH中，AE=2，sin∴EH=4∴?=EH?EG=8∴S6．解：（1）①把△BPC繞點C順時針旋轉60°到△AP1C∴CP=CP1=4，BP=AP1∴△PCP∴PP1=4∵AP=3，AP1=5∴△APP1是直角三角形，且∴∠APC=90°+60°=150°；②過點A作直線CP的垂線，垂足為D，∵∠APC=150°，∴∠APD=30°，∵AP=3，∴AD=1∵CP=4，∴S△APC=12×CP×AD=∴3+43S故答案為：（2）取PB的中點E，將線段BE繞點B順時針旋轉60°到BD，連接DE，DP，CD，∴△BDE是等邊三角形，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=1∴∠ABC=∠EBD=60°，∴∠ABP=∠CBD，BE=DE=PE=1∴點B、D、P在以BP為直徑的圓上，∴PD=232∴∠BPD=30°，∵∠BPC=120°，∴∠DPC=90°，∴CD=P∵BDPB=BC∴△ABP∽△CBD，∴DCPA∴PA=2CD=10．7．（1）證明：∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∵EP⊥ED，OD⊥AB，∴∠ADE=∠AEP∵∠A公共，∴△ADE∽△AEP（2）在Rt△ABC中，∵AB=8，BC=6∴AC=10，∴sinA=∵OE=OD=OA?sin∴AE=x+3AD=OA?由（1）得A∴8∴y=∵0<AE≤10，∴0<8∴0<x≤（3）當P在線段AB上∵tan由（1）知DE∴BF∴BP=2BF=4，∴AP=8?4=4當P在線段AB的延長線上同理可得BP=2BF=4，∴AP=8+4=12即AP=4或128．解：【類比分析】（1）∵△ABC,△CDE均為等邊三角形，∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，∵CE=CD,CB=CA，∴△ACD≌△BCESAS∴BE=AD,∠EBC=∠DAC=60°，∴∠DAC=∠ACB=60°，∴AD∥BC，【學以致用】（2）①如圖，過點F作FN∥BC交AB于N，∴∠ANF=∠B=∠C=∠AFN=60°，∴△AFN為等邊三角形，又∵△DEF為等邊三角形，由（1）中結論知：AD∥NF,AD=FN，∵AB=12,2AE=BE，∴AE=4,BE=8，∵AE=AD，∴EN=AE=4，∵△AFN為等邊三角形，∴AF=AN=EN+AE=8，∴CF=4，∴AFCF②如圖所示，過點E作EN∥BC交AC于N，則△AEN為等邊三角形，由（1）知：EN∥AD,AD=FN，∵AE=kAD，∴AD=4∴FN=4又∵△AEN為等邊三角形，∴AN=AE=4，∴AF=4?FN=4?4∴CF=AC?AF=12?4?∴AFCF【拓展應用】（3）如圖所示，過點E作EN∥AC交BC于N，連DN，∴∠BEN=∠BAC=∠ACB=∠BNE=∠B=60°，∴△BEN為等邊三角形，又∵△DEF為等邊三角形，∴由（1）結論知，DN∥AB，又∵BN=BE=8，∴N為定點，∴D在過N點且平行于AB的定直線上運動，由垂線段最短知，當AD⊥DN時，AD最小，作AM⊥DN交直線DN于點M，設直線DN交AC于點K，∵DN∥AB，∴ACAK∵BC=AC，∴AK=BN=8，∴AM=AK×sin∴當D與M重合時，AD最小為49．（1）證明：∵BD=AB，得BD=∴△ABD是等腰三角形，∴BG⊥AD，∠ABG=∠DBG，∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠CDE=∠ABC，∵∠CDE=3∠CBD，∴∠ABC=3∠CBD，∵∠ABC=∠ABG+∠DBG+∠CBD，∴2∠GBD+∠CBD=3∠CBD，∴2∠GBD=2∠CBD，∴∠GBD=∠CBD．（2）如圖，連接OD，∵OB=OD，∴∠OBD=ODB，∵∠GBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥∴OGGD∵∠OGD=90°，OD=5，∴OG=4，GD=3．（3）①由（1）得，OD∥∵F是BO中點，∴OF=5∴FP=BG?BF?PG=6.5?y，∵OD∥∴FPQE∴6.5?yx∴y=?2②a：如圖，當PQ⊥BC于點M，連結OD，∵BG⊥AD，∴∠PQG=∠PBM=∠GOD，∴tan∠PQG=∴PGQG=3∵y=?2解得x=555∴QM=4b：當PQ⊥BD于點M，∵BG⊥AD，∴∠PQG=∠GBD，∴tan∠PQG=∴PGQG∴y∵y=?2解得x=35∴QD=35∴MD=QD∴QM=3MD=3c：當PQ⊥CD于點M，在△QDM中，∠QDM>90°，∴∠QMD<90°，∴這種情況不存在．綜上所述，QM的值為11117或310．（1）解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6∴AB=A故答案為:10；（2）解：根據題意得：AP=t,PQ=BP，當點P在線段AB上時，PQ=BP=AB?AP=10?t；當點P在AB延長線上時，PQ=BP=AP?AB=t?10；綜上所述,PQ的長為10?t或t?10；（3）解：當點P在線段AB上時，∠BFQ=∠A，∴PQ∥BC，∵CQ∥AB,∴四邊形ACQP是平行四邊形，∴PQ=AC,

此時10?t=8，解得：t=2；當點P在AB延長線上時，如圖，∵CQ∥AB，∠BPQ=∠A，∴四邊形CQPA為等腰梯形，∴PQ=AC，即t?10=8，解得：t=18；綜上所，t的值為2或18；

（4）解：由題意得：PQ⊥BC，如圖，當點P在線段AB上時，此時PQ為對稱軸，∴PQ垂直平分BC，

∴BP=CP，∴∠BCP=∠CBP，∴∠BCP+∠ACP=∠CBP+∠A=90°，∴∠ACP=∠A，∴CP=AP，∴AP=1此時t=5，如圖，當點P在AB延長線上時，此時PC垂直平分BQ，則∠CPE=1

作∠CAB的平分線AM交BC于點M，過點M作MN⊥AB于點N，過點C作CE⊥AB于點E，則∠CAM=∠CPE，∵AC⊥CB，∴CM=MN，∵AM=AM，∴Rt∴AN=AC=8，∴BN=2，在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2∴6?CM解得：CM=8∴tan∴tan∵S∴CE=24∴PE=72∴t?10+18解得：t=104綜上所述，t的值為5或104511．（1）解：t=(50+75+50)÷5=35（秒)時，點P到達終點C．此時，QC=35×3=105，∴BQ的長為135?105=30．（2）如圖1，若PQ∥DC，

又∵AD∥BC，∴四邊形PQCD為平行四邊形，∴PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50+75?5t=3t，解得t=125經檢驗，當t=1258時，有（3）①當點E在CD上運動時，如圖2．分別過點A、D作AF⊥BC于點F，DH⊥BC于點H，

則四邊形ADHF為矩形，且△ABF≌△DCH，從而FH=AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．又∵QC=3t，從而QE=QC?tan∴S=S②當點E在DA上運動時，如圖1．過點D作DH⊥BC于點H，

由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC?CH=3t?30．∴S=S（4）當點P在BA（包括點A)上，即0<t≤10時，如圖2．過點P作PG⊥BC于點G，則PG=PB?sin

又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQE總能成為直角三角形．②當點P、E都在AD（不包括點A但包括點D)上，即10<t≤25時，如圖1．

由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點P、E不能重合，即5t?50+3t?30≠75，解得t≠155③當點P在DC上（不包括點D但包括點C)，即25<t≤35時，如圖3．由ED>25×3?30=45，

可知，點P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會是直角．由∠PEQ<∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角．對于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有當點P與C重合，即t=35時，如圖4，∠PQE=90°，△PQE為直角三角形．

綜上所述，當△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0<t≤25且t≠1558或12．解：（1）∵BC為⊙M的直徑，∴∠BAC=∠BOP=90∴∠OBP+∠APB=∠ABC+∠ACB=90∵AB∴∠ACB=∠APB，∴∠OBP=∠ABC．（2）∵A8,0和B∴OB=6，OA=8，∵∠AOB=90∴在Rt△AOB由勾股定理得：O∴AB=O∵∠BAC=90°，在AB∴AC=B∵∠BOP=∠BAC=90°，∴△OBP∽△ABC∴OP∴OP=AC×OB∵點P在x軸負半軸

∴點P的坐標為?3（3）如圖，設直線AC與y軸的交點為點E，∵∠BAC=∠BOA=90∴∠OAE=∠OBA=90當OC最小時，OC⊥AE，此時OC=OA?sin=OA?sin∴OC的最小值為3213．（1）解：①連接AC交BD于點O，

∵四邊形ABCD是菱形，∴OC⊥BO．在Rt△BOC中，BC=10，sin∴CO=BC?sin∴BO=B∵EH⊥BD，∴EH∥CO，∴BHBO=BE∴BH=24∴S△BHC②在菱形ABCD中，BC=CD=AD，∵GD=CE，∴GDAD∴EG∥CD，∴BEBC∴BE=EM，∵EH⊥BD，∴BH=MH，∵CH=HM+1，∴CH=BH+1，過點H作HR⊥BC，點R為垂足，

設HR=3a，∵sin∴BH=5a，∴BR=BH2?HR∴cos在Rt△HRC中，∠HRC=90°∴HR即(3a)2+(10?4a)∴BH=5a=11∵cos∴BE=5∴CE=10?BE=25（2）解：∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BH=BH，∴△ABH≌△CBHSAS∴∠BAH=∠BCN．取BE中點Q，連接HQ，

由（1）得：HM=BH，EG∥AB，∵H是BM的中點，Q是BE的中點，∴HQ是△BME的中位線，∴HQ∥EN∥AB，∴∠HQP=∠CEN，∠QHP=∠BAH=∠BCN，∴△HQP∽△CEN，∴HPCN又∵EH⊥BD，∴HQ=1∴HPCN14．解：（1）如圖（1），過點A作AD⊥BC于點D，在△ACD中，AC=92，∠C=45°∴AD=CD=2在Rt△ABD中，AD=9，tan∴BD=3，∵GE⊥BC，AD⊥BC，∴AD∵點E為AB的中點，∴BG=1∵動點G從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BC方向運動，點G的運動時間為t秒，∴t=3故答案為：32（2）如圖（2），過點A作AD⊥BC于點D，在△ACD中，AC=92，∠C=45°∴AD=CD=2在Rt△ABD中，AD=9，tan∴BD=3，∴BC=BD+CD=12，在Rt△BEG中，tanB=EG∴EG=3t，在Rt△EFG中，sin∴EF=9∴FG=E過點F作FH⊥BC于點H，則FH∥∴∠GFH=∠EGF，∴sin∴GH=3∵FH⊥BC，∠C=45°，∴CH=FH=F∵BC=BG+GH+CH=12，∴t+36∴t=300（3）∵△QMN∽△EGF，∴∠NMQ=∠FGE，∵QM⊥BC，∠C=45°，點Q同時從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿CB方向運動，∴MQ=CQ=2t，∴NQ=MQ?sin當EF、NQ共線時，如圖，連接FN，∵∠FGE+∠FGQ=90°=∠GQE+∠FGQ，∴∠FGE=∠GQE，∵sin∴cos∴tan∴tan∴GQ=4∵BC=BG+GQ+CQ=12，∴t+4t+2t=12，∴t=12當FG、MN共線時，如圖，∴∠GQN=∠EGF，∵sin∴sin∴cos∴GQ=5∵BC=BG+GQ+CQ=12，∴t+3∴t=8當EG、MQ共線時，BG+CQ=12，∴t+2t=12，∴t=4，綜上，t=127或t=815．解：（1）補充內容為：①∠GAE=∠FGH；②AF=DE．故答案為：①∠GAE=∠FGH；②AF=DE；（2）不發(fā)生變化．理由如下：由折疊的性質，可知∠DAE=∠GAE=12∠DAG又∵DA∥∴∠DAG=∠BGA．∴∠EAG=∠FGA．∴FG∥過點G作GN∥AB交AE于點如圖1所示，則GN∥∵AF∥GN，∴四邊形AFGN為平行四邊形．∴AF=GN．∵AB∥∴∠BAN=∠GNE=∠AED．∵將矩形紙片ABCD沿過頂點A的直線折疊，∴∠GEN=∠AED，∴∠GNE=∠GEN．∴GE=GN．由折疊的性質，可知GE=DE，∴AF=DE．（3）∵∠HGM=∠BAG，∴∠HGM不可能為直角．則可分∠MHG=90°和∠HMG=90°兩種情況討論．①當∠MHG=90°時，如圖2所示．∵∠FHG=∠B=90°，∴∠FHG=∠MHG=90°，∴F，H，M三點共線，即AG⊥FM．由（2）可知四邊形AFGM為平行四邊形，∴此時四邊形AFGM為菱形，∴∠FAH=∠MAH．又∵∠DAM=∠MAH，∴∠FAH=∠MAH=∠DAM=30°．∴∠FGB=30°，設AF=x，則FG=x，BF=4?x．在Rt△FBG中，BF=FG?即4?x=1解得x=8∴AF=8由（2）可知AF=DE，∴DE=8②當∠HMG=90°時，如圖3所示．設AF=x，則MG=x，BF=HF=4?x，∵HM⊥MG，GM∥CD∴HM∥又∵BC∥∴HM∥∴∠DAM=∠AMH．又∵∠DAM=∠MAH，∴∠MAH=∠AMH．∴MH=HA．∵∠FAH=∠HGM，∴tan∠FAH=即4?xAH又∵AH=HM，∴AH∵AH∴x(4?x)=x解得x=25?2或∴AF=25由（2）可知AF=DE，∴DE=25綜上所述，DE的長為83或216．解：（1）根據題意設拋物線解析式為：y=x+∵拋物線經過點C0,?4∴0+322∴拋物線解析式為：y=x+整理得：y=x令y=0，則有x+3解得：x1=?4，即A?4,0，B（2）連接OP，過A點作AG⊥BC于點G，過P點作PM⊥y軸于點M，作PN⊥x軸于點N，如圖，

設點P坐標為：x,x2+3x?4即有：PM=?x，PN=?x即有：ON=PM=?x，OM=PN=?x∵A?4,0，B1,0，∴AB=5，AO=4，BO=1，CO=4，∴AC=42，BC=17，∵在Rt△OBC中，tan又∵tan∠PCA=∴∠PCA=∠OCB，∴∠PCO=∠ACB，∵S△ABC∴AG=AB×OC∴sin∠ACG=如圖：

結合圖形可得：tan∠ACG=∴tan∠PCO=∴?xx解得：x=?18∴x2∴ON=PM=185，∵S△APC∴S△APC∴S△APC（3）恒過定點?4,1，理由如下：根據拋物線解析式為：y=x+32如圖2，設點D?32,a，∵B1,0∴設直線BD的解析式為：y=kx+t，∴k+t=0?32∴直線BD的解析式為：y=?2聯立：y=x整理可得方程：x2∴xB∵xB∴xF=?4?2∴F?4?同理可得：G?4?設直線FG的解析式為：y=qx+p，∴?4?25b解得：q=?2∴直線FG的解析式為：y=?整理為：y=?2當x=?4時，y=1，即直線FG恒過定點?4,1．17．（1）解：當x=0時，y=?x∴點C的坐標是0,3，∴OC=3，當y=0時，?x2+2x+3=0∴點A的坐標是?1,0，點B的坐標是3,0，∴OB=3,∴OB=OC,∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠ABC=45（2）解：延長BP與y軸相交于點M，作BN⊥AC于點N，∵AB=AO+OB=4，∴S△ABC∵AC=O∴S△ABC∴BN=6105∴NC=AC?AN=10∴tan∠BCN=∵∠BCN=∠OCB+∠ACO=45°+∠ACO，∠OBM=∠OBC+∠PBC=45°+∠PBC，∠PBC=∠ACO，∴∠OBM=∠NCB，

∴tan∠OBM=∴OM=6，∴M0,6設直線BP的解析式為y=kx+b，將M0,6，Bb=63k+b=0解得b=6k=?2∴直線BP的解析式為y=?2x+6，聯立得y=?2x+6y=?解得x=1y=4或x=3∴點P的坐標是1,4；（3）解：①在y軸上找到點N0,n，用無刻度直尺連接PN，則PN與拋物線的交點即為點Q②∵拋物線y=?x2+2x+3的對稱軸為x=?22×?1=1∴PQ=p?q，p+q2∴p+q=2，即p=2?q，∴PQ=2?q?q=2?2q=21?q∵PQ=2t，∴t=1?q，∴p==4?4q+=2025．18．（1）解：∵C(0,6)，∴OC=6，∵tan∠CAB=3∴OCOA∴OA=2，∴A?2,0∵AB=8，∴OB=6，∴B6,0把A?2,0，B6,0，C(0,6)分別代入4a?2b+c=036a+6b+c=0解得：a=?1∴y=?1（2）解：過點D點作DH⊥EF于G，如圖，由（1）知：OC=OB=6，∵∠BOC=90°，∴∠BCO=∠CBO=45°，∵EF∥y軸，∴∠DEF=∠OCB=45°，∵DH⊥EF，∴∠DGE=90°，∴∠DEF=∠EDF=45°，∴EG=DG，由勾股定理得：DE∵DE=2∴EG=DG=1，設直線BC解析式為：y=kx+m，把B6,0，C(0,6)分別代入y=kx+m0=6k+mm=6解得：k=?1m=6∴直線BC解析式為：y=?x+6，設Ex,?x+6，則F∴EF=?∴S△DEF∵?1∴當x=3時，S△DEF有最大值，最大值為9∴D的橫坐標為3?1=2，把x=2代入y=?x+6，得y=4，∴D2,4（3）解：設直線AC解析式為y=sx+t，把A?2,0，C(0,6)分別代入y=sx+t?2s+t=0t=6解得：s=3t=6∴y=3x+6，∵拋物線沿射線CB方向平移，使得新拋物線經過D2,4又∵C(0,6)，∴拋物