第4章指數(shù)與對(duì)數(shù)章末小結(jié)

一、典型題型...................................................................................1

題型1指數(shù)的運(yùn)算.........................................................1

題型2對(duì)數(shù)的運(yùn)算.........................................................3

題型3利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求值.......................................5

題型4解簡(jiǎn)單的指數(shù)和對(duì)數(shù)方程...........................................6

相

數(shù)

數(shù)又寸婁攵

典型例題

題型1指數(shù)的運(yùn)算

反思領(lǐng)悟：指數(shù)的運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)好本章的前提和基礎(chǔ)，為后續(xù)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)作鋪

墊.指數(shù)的運(yùn)算常與根式交匯考查，也常與方程等知識(shí)聯(lián)系，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

例1若實(shí)數(shù)X,y滿足2"+4"=2-2%則尤+2y的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由條件結(jié)合基本不等式求尤+2y的最小值.

【詳解】因?yàn)?*+4>=2*+2刀22《2網(wǎng)，又2,+4y=2x+2y

所以2工+2了22哼+'

所以x+2”2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l,y時(shí)取等號(hào)，

所以無(wú)+2y的最小值為2,

故選：C.

例2(多選題)下列運(yùn)算正確的是()

74

A.=m-(m>0,M>0)B.!^(-3)="^3^=-^3

C-+J=(X+y"(尤>0,y>0)D.-^/3

【答案】BD

【分析】根據(jù)根式的定義與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的定義、運(yùn)算法則判斷.

【詳解】3)7=?—(m>0,n>0),故A錯(cuò)；

n

攻一3)4=啊=石,故B正確；

府+y3與(x+yj=[(X+y)3不同,故C錯(cuò)；

曬=(如?=亨=5，故D正確?

故選：BD.

例3化簡(jiǎn)求值:

(1)(-5)°+2^x64^-

1_1

⑵已知X+%T=3,求官+X2

X2+/

【答案】⑴/

(2)卓

【分析】⑴根據(jù)指數(shù)幕的計(jì)算方法計(jì)算即可；

⑵先利用完全平方公式求出￡+和尤2+尤-2的值，從而求出結(jié)果.

⑴

131

原式=1+7乂4_2=/.

⑵

,/%+%T=3,/.x>0,

1_1

廠.戶+工5>0，

又,/（/+x萬(wàn)>=x+—+2--x2=3+2=5*

二.?+”=如'

v（x+x-1）2=x2+x~2+2x-x~l=9,

.*./十%2=7，

.x，+x，_6，

,?f+%-27

題型2對(duì)數(shù)的運(yùn)算

反思領(lǐng)悟：對(duì)數(shù)的運(yùn)算是本章的重要內(nèi)容之一，在學(xué)習(xí)指數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算，指數(shù)

運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算是互逆的.對(duì)數(shù)運(yùn)算常與指數(shù)、方程等知識(shí)交匯考查，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)

算和邏輯推理能力.對(duì)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)遵循以下原則：

對(duì)數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的變化，前后要等價(jià)，熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)

并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式，換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧.

例1設(shè)〃=log53,^=log85,c=log138,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】用作商法比較。涉的大小，通過(guò)比較。與0.8/與0.8的大小比較勿c的大小，從而得。,必。的大小.

【詳解】解：?.4=警|=地53」幅8〈絲吟空包=（駕竺）2<1,

blogs342

：.a<b\

54

:5<8,**-5<4/。&8，log58>1.25,/.Z?=log85<0.8；

45

V13<8,.,.4<5/6>g138,.*.c=log138>0.8,：.c>b,

綜上，c>b>a.

故選：A.

例2（多選題）已知log23=m,log37=〃，則log4256的值不可能是（）

mn+3m+n+3mn+3mn+3

A.--------B.------------C.-------------D.-------------

mn+12m+?+lmn+m+1mn-m+1

【答案】ABD

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的公式計(jì)算即可.

【詳解】由換底公式得：Iog27=log23-log37=，”“，log2=—,log,56=log,（7x8）=log7+log8,

7mn444242

1111mn

其中l(wèi)°g427=

log7421+log761+log72+log731111mn+m+1，

mnn

333mn3mn+3

42

log428=31og422=log42log6+log7l+m+rrm'故^°^%-------1-------=-------

222mn+m+ll+m+mnmn+m+l

故選：ABD.

例3化簡(jiǎn)與求值：

⑴（若-1）0+府行+艱

103

(2)4^+log18-1g-I+lg25-1gf-InT?.

216k2；

【答案】（1）町

畤

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)求解.

（1）

原式=1+兀-3+（23戶

=71.

（2）

5-

原式=2210823-log,8-lg—+lg25-lg8-lne2

16

=9-3+lg（25x^x-^）-|-

582

3

=6+lgl0--

題型3利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求值

反思領(lǐng)悟：對(duì)于帶有附加條件的與對(duì)數(shù)式有關(guān)的求值問(wèn)題是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，常與對(duì)數(shù)的

運(yùn)算性質(zhì)相結(jié)合，如果附加條件比較復(fù)雜，則需先對(duì)其進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，并充分利用其最簡(jiǎn)結(jié)

果解決問(wèn)題.具體解決方法：（1）注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，有些需要將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，

而有些需要將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式；（2）注意換底公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)全方

位、多角度地思考，注意已知條件和所求式子的前后照應(yīng).

例1已知0.3010<lg2<0.3011,則log42022屬于（）

A.（5.3,5.4）B.（5.4,5.5）C.（5.5,5.6）D.（5.6,5.7）

【答案】B

【分析】根據(jù)3+lg2<lg2022<lllg2結(jié)合換底公式，代入計(jì)算即可.

【詳解】E2000<2022<2048,

01g2000<1g2022<lg2048,

03+lg2<lg2O22<lllg2,

3+lg21202211

021g2<lg4<T，

u*lg2022uu

05.4<--------<5.5

lg4

故選:B.

Q

例2（多選題）若。=log23-l,2〃=],則下列結(jié)論正確的是（）

A.a+b=2B.a—b<0

111-

C.-<a<]D.—+->2

2ab

【答案】ABCD

aR

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算與指對(duì)數(shù)的關(guān)系可得a=log2：，^=log2j,再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算與基本不等式逐個(gè)

選項(xiàng)判斷即可.

3R

【詳解】由題意可得。=log23-1=log?*=log2j.

38（38、

對(duì)于A,a+^=log2-+log2-=log2l-xjl=log24=2,所以A正確；

對(duì)于B,o-/?=（log23-l）-（log28-log23）=21og23-4<21og24-4=0,所以B正確；

對(duì)于C,因?yàn)閼?yīng)<；<2,所以log?log?log?2,所以;所以;<a<l,所以C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镼>0,b>0,a+b=2,所以工+〈=:（工+4]（〃+8）=:（2+2+1]之:（2+2^^]=2,

ab2\ab）2（ab）21\ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，而〃b,所以取不到等號(hào)，所以1+1>2,所以D正確.

ab

故選：ABCD.

例3已知33=0.4771,估計(jì)95。的大小.

【答案】1047-71

【分析】令x=95。，然后兩邊取常用對(duì)數(shù)求解即可

【詳解】令x=95°,則兩邊取常用對(duì)數(shù)得

lgx=lg950=501g9=501g32=1001g3,

因?yàn)閘g3a0.4771,

所以Igxn100x0.4771=47.71,

所以XBlO,型，

所以愛(ài)的大小約為I。’?》

題型4解簡(jiǎn)單的指數(shù)和對(duì)數(shù)方程

反思領(lǐng)悟：簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程是指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的延伸，主要與方程結(jié)合交匯考

查，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是對(duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的鞏固和提升.具體解決方法

如下：

⑴化同底：將指數(shù)方程變形為十=〃臺(tái)機(jī)=幾

fM>0,

形如log.M=log°N(a>0,的對(duì)數(shù)方程，等價(jià)轉(zhuǎn)化為舷=N,且彳心。求解.

⑵定義法:解形如6=logoM(a>0,aWl)的方程時(shí)，常借助對(duì)數(shù)的定義等價(jià)轉(zhuǎn)化為〃=/求解.

⑶換元法：設(shè)/=〃(x=log"),將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的一元二次方程求出/,再解出X.

例1根據(jù)下列條件，分別求實(shí)數(shù)x的值：

(1)log2(2—X)=log2(X-1)+1；

(2)3次+i—6*=22X+2.

4

[解]⑴原方程可化為log2(2—x)=log2[2(x—1)],得2—X=2(x—1),解得％=弓.經(jīng)檢驗(yàn)知，原

4

方程的解為％=].⑵原方程可化為3X3^-2xX3x-4X22X=0,

<3Y4

因式分解得(3*3%—4*2%)(3%+2，)=0,則3X3%—4X2%=0,即[夕=§，

4

解得冗=log|

例2解下列關(guān)于％的方程：

(1)lg^/x—1=lg(x—1)；(2)log4(3—X)+log0,25(3+x)=log4(l—x)+log0.25(2x+1).

［解A］（1）原方程等A價(jià)I于V—1=X-1,

［x-1>0,

解之得x=2.經(jīng)檢驗(yàn)了=2是原方程的解，所以原方程的解為x=2.

（2）原方程可化為log4（3—%）—log4（3+x）=log4（1—X）—log4（2x+1）.

3—x1—x3—X1—Y

即I0g4i==i°g4訐T?整理得市=占不？解之得x=7或x=0-

當(dāng)x=7時(shí)，3—x<0,不滿足真數(shù)大于0的條件，故舍去.x=0滿足，

所以原方程的解為x=0.

活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題意要求的.）

1.^xlog23=l,則3*+3-，=（）

,53103

A.-B.—C.—D.一

2632

【答案】A

【分析】求出x=log32,代入3，+3T化簡(jiǎn)即得解.

1,c

【詳解】解：由題得尤=1-7=log2,

log,33

所以3*+3-1=3陶2+3‘°8萬(wàn)=2+-=-.

22

故選：A.

2.若0<4<1*>0,且都-/=-2,則4+1的值為（）

A.2四B.±272C.-2A/2D.瓜

【答案】A

【分析】將已知等式條件兩邊平方可得a以=6,再將目標(biāo)式平方結(jié)合指數(shù)幕的性質(zhì)即可求值.

【詳解】由題設(shè)，（ab-aby=a2b-2+a2b=4,^a2b+a2b=6,

又（ab+a-b）2=a2b+2+a2b=8,且非+鵬>o,

所以?！?/=2亞.

故選：A.

3.中國(guó)的5G技術(shù)處于領(lǐng)先地位，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=WlogJl+^.它表

示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S,信道內(nèi)部

q

的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按

N

照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比三從1000提升到4000,則。大約增加了（）（愴2。0.301）

N

A.10%B.20%C.30%D.50%

【答案】B

q

【分析】根據(jù)題中的香農(nóng)公式分別計(jì)算?等于1000和4000時(shí)對(duì)應(yīng)的C,進(jìn)而比較可得出結(jié)果.

【詳解】信噪比提升到4000時(shí)對(duì)應(yīng)的C值記為C',根據(jù)題意，

焉=1000時(shí)，C=Wlog2^l+-^^=Wlog21001?3Wlog210

鼻=4000時(shí)，C'=Wlog?[1+[]=Wlog24001（2+31og210）

。'_呼（2+31暇10）

..--------------------------k

C晦?102

；.c大約增加了20%,選項(xiàng)B正確.

故選：B.

4.設(shè)=5〃=加且工一,=2,則〃z=（）

⑶ab

1i—/i-o

A.—B.10C.VioD.A—

10710

【答案】D

【分析】先由（11=5〃=〃7,用對(duì)數(shù)表示出6,再根據(jù)工-：=2即可求出機(jī).

{2）ab

【詳解】

am

=l°gj,,b=log5m,

2

1111

Q—2,.-.log,--log5=2,BPlog-=2,

ab2m10

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換底公式的應(yīng)用.

5.化簡(jiǎn)聯(lián)可得

3

A.Iog34B.—

C.3D.4

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

33

【詳解】,0!=log28=log22=3.故選C.

logs2

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力.

6.若210g2（2x-y）=log2X+log2y,則log?x-log?y=（）

A.2B.2或0C.0D.-2或0

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知（2x-y『=孫，且2x-y>0,尤>0,y>0,

化簡(jiǎn)得》=兒再化簡(jiǎn)log?x-log2y求值.

【詳解】依題意，（2x—?=盯，二4尤2-5xy+y2=0,;.（4x-y）（x-y）=o,，％=>或》=；、，>。，

|]JQx

x>0,y>0,;.x>—y,:.x=—y（舍去），—=1,logx-logj=log—=0.

2-4'y2--2-2y

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，以及化簡(jiǎn)計(jì)算.

7.若非零實(shí)數(shù)。、6滿足2。=3〃，則下列式子一定正確的是（）

A.t>aB.b<a

C.網(wǎng)<問(wèn)D.網(wǎng)>同

【答案】C

【解析】令2。=3〃=公貝卜>0,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得“、b后，然后取絕對(duì)值作差比較可得.

【詳解】令2"=3"=r,貝卜>0,twl,，。=廄2，=曇，獸，

1g21g3

.?」。|一21=魯_魯」叫曙]g2）>0,因此，\a\>\b\.

1g2lg3Ig2-lg3

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中

等題.

二、多選題

8.若10"=4,1(/=25,則()

A.a+b=2B.b-a=l

C.ab>8\g22D.b-a>lg6

【答案】ACD

【分析】利用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其關(guān)系求出。+6、b-a,ab,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題設(shè)，10"”=100,即。+6=2,A正確；

10j=3,即6-。=坨9>坨(=36,B錯(cuò)誤，D正確；

444

由a=21g2/=21g5,則必=41g21g5>41g21g4=81g?2,C正確；

故選：ACD

9.已知3"=8"=24,則b滿足的關(guān)系是()

A.a+b=abB.a+b>4

C.(di-1)2+(Z?-1)2<2D.a2+b2>6

【答案】ABD

【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的關(guān)系求出。/，取倒數(shù)相加即可判斷A選項(xiàng)是否正確；將〃力代入B、C、D

選項(xiàng)式子的左端化簡(jiǎn)，并利用基本不等式即可判斷是否正確.

a

【詳解】Q3=8^=24,：.a=\og324,b=logs24,

11Ic111c

10

?>--=------=§243,工=----=log248,

alog324blog824

,_1111

對(duì)于A選項(xiàng)：—+—=log3+log8=log24=l,.-.—+—=1,:,a+b=ab,故A選項(xiàng)正確；

ab2424a2b4

對(duì)于B選項(xiàng)：?.?a+b=log324+log824=(log33+log38)+(log88+log83),

/.=2+log38+log83>2+2^/log381og83=4,故B選項(xiàng)正確；

222

對(duì)于C選項(xiàng)：Qa=log324,Z?=log824,+(^-i)=(log33+log38-l)+(log88+log83-l),

2222

/.(4Z-1)+(Z?-1)=(log83)+(log38)>2(log83)(log38)=2,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：Qa=log324,b=log824,

ab=log324xlog824=(log33+log38)(log88+log83)=2+log83+log38>2+2=4,

：.ab>4,a2+b2>2ab>S,故D選項(xiàng)正確；

故選：ABD

10.下列各式或說(shuō)法中正確的有()

A.lg(1g10)=0B.lg(lne)=0

C.若10=lgx,則x=100D.若log25X=；,貝l]x=±5

【答案】AB

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閘gl0=l,lgl=0,所以lg(lgl0)=lgl=0,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閘ne=l,lgl=0,所以lg(lne)=lgl=0,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?0=lgx,所以x=K)i。，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閘og25X=5，,所以尤=255=5，故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

三、填空題

b

11.已知logb=~,貝!]3。+6=.

fla

【答案】6.

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)判斷。力>0,由已知利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得a,4即得答案.

【詳解】由題意可知。>0*>0,

bb

由=6,log”。=一可用log0a=-=3,..b=3。，

aa

貝a3=3a,a=A/3,貝6=3#),

故3a+6=6A/3,

故答案為：6G

12.已知二次函數(shù)的最小值為3,則實(shí)數(shù)a=,(log.5丫+log〃2Jog“50的值為

【答案】101

【分析】對(duì)于題空①，根據(jù)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，自變量取對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)的值達(dá)到最小值，解得。的值；

對(duì)于題空②，把。的值代入表達(dá)式，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】因?yàn)閥=(lga)f+2x+41ga的最小值為3,所以lga>0,

,1J1)“，,，1c

=lga--------r+2----+41gfl=41ga---二3

(Iga)Ilg?J也。

即4(lga)~-31ga-l=O,

所以(41ga+l)(lga—1)=0,

解得lga=l或lga=_：(舍去)，所以a=10,

故(1(嗔5)2+Ioga2.1og“50=(lg5)2+lg2/g50=(lg5)2+lg2(lg5+l)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=l.

故答案為：①10;01.

13.解指數(shù)方程23=349：.

【答案】為=-3或》=3+1幅2

【分析】直接對(duì)方程兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，討論x+3=0和x+3/O,解出方程即可.

【詳解】由2"3=s'—得logs2**3=log?3"一°,HP(x+3)log32=(x—3)(x+3),當(dāng)x+3=0即x=—3時(shí)，0=0顯

然成立；

當(dāng)尤+3*0時(shí)，log32=x—3,解得x=log32+3；故方程的解為:x=—3+log32.

故答案為：x=—3或x=3+log32.

33

14.若log“c=w，log"C=w,則log/=.

【答案】3

【分析】可根據(jù)已知條件，將對(duì)數(shù)化成指數(shù)關(guān)系，然后對(duì)等，找到a、b之間等量關(guān)系，帶入到。、氏c三

者關(guān)系中，找到Ac的關(guān)系，即可完成求解.

3333

【詳解】因?yàn)閘og°c="log>=g,所以/=c，(。加=「

333333

此時(shí)鵬=(aby=，化簡(jiǎn)得=廬，

33

所以。=/，(〃萬(wàn)戶=(加>=匕3=小

所以log/,C=3.

故答案為：3.

四、解答題

15.(1)已知了=。.3+/2,化簡(jiǎn)取2—2。心+d?

(2)設(shè)振+涼=4'x=a+3a3b^'y=b+3a^tPJ求(x+,戶+(x—,戶的值.

1

【答案】(1)W；(2)8

【分析】(1)由已知得了-0一二斤?，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)；

(2)令j=A，J=8，結(jié)合因式分解可得了+y=(A+8)3,x-y=(A-8)3,則食+丫戶+(尤_y)3=2(4+B2)，

結(jié)合已知即可求值.

【詳解】(1)由了=/3+6-2,得了一/3=6一2,

團(tuán)yjx2-2a3x+a^=^(x-a-3)2=^(b2)2=—,

'1^1

(2)令