2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考真題精選(?？?0題16類題型

專練)

【人教A版(2019)]

題型歸納

題型1變化率問題—題型2利用導(dǎo)數(shù)的定義解題

題型3曲線的切線問題—題型4函數(shù)的單調(diào)性問題

題型5函數(shù)的極值問題——題型6函數(shù)的最值問題

題型7導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)問題—題型8導(dǎo)數(shù)中的恒成立、存在性問題

?？?題型歸納

題型9兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用—題型10排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算

題型11涂色問題—題型12相鄰、不相鄰排列問題

題型13分組分配問題—題型14求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)(系數(shù))

題型15用賦值法求系數(shù)和問題—題型16三項(xiàng)展開式的系數(shù)問題

變化率問題(共5小題)

1.(23-24高二下?廣東江門?階段練習(xí))已知函數(shù)"%)=2%2一%+1,則/(%)從1至IJ1+A%的平均變化率為

()

A.2A%+3B.4A%+3

C.2(Ax)2+3AxD.2(Ax)2—Ax+1

【解題思路】根據(jù)平均變化率的概念即可求解.

【解答過程】由/(%)=2%2一%+1可得：f⑴=2,/(I+Ax)=2(1+Ax)2-(1+Ax)+1=2(Ax)2+3A

x+2.

所以/(%)從1至U1+Ax的平均變化率為八1+黑一，⑴=23)2片x+2-2=2M+3.

故選：A.

2.(23-24高二下?江蘇?階段練習(xí))如果說某物體做直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與距離滿足s(t)=2(1-1)2,則其在t=0.5

時(shí)的瞬時(shí)速度為()

A.4B.-4C.4.8D.-2

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義小。）=史。上吐1即可求解.

【解答過程】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，在t=。.5時(shí)的瞬時(shí)速度為

故選：D.

3.（23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體

血管中的藥物濃度進(jìn)行測量.已知該藥物在人體血管中藥物濃度c隨時(shí)間t的變化而變化，甲、乙兩人服用該

藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示.則下列結(jié)論正確的是（）

Ac(mg/mL)

甲

乙

~O,3佝

A.在"時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同

B.在最時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同

C.在［以心］這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同

D.在［以心］和位2心］兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同

【解題思路】利用圖象可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用平均變化率的概念可判斷C

選項(xiàng)；利用平均變化率的概念可判斷D選項(xiàng).

【解答過程】選項(xiàng)A,在以時(shí)刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,在匕時(shí)刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的尸（以）不相等，

說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,由平均變化率公式知，甲、乙兩人在［12q］內(nèi)，

血管中藥物濃度的平均變化率均為切,即選項(xiàng)C正確；

13T2

選項(xiàng)D,在電,口和上內(nèi)］兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為

寫吟和誓警2,顯然不相同，即選項(xiàng)D不正確.

故選：AC.

4.（23-24高二下?四川南充?階段練習(xí)）某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間f（單位：s）的關(guān)系可用

函數(shù)s（t）=t2+t+1表示，則該物體在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.

【解題思路】利用平均變化率來求瞬時(shí)變化率即可得到瞬時(shí)速度.

【解答過程】該物體在時(shí)間段［1,1+At］上的平均速度為:

竺_s(l+At)—s⑴_(tái)(1+的2+(1+4t)+1-(12+1+1)_

△t—At-At―+'

當(dāng)At無限趨近于0時(shí)，

3+At無限趨近于3,即該物體在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.

故答案為：3.

5.(23-24高二下?上海閔行?階段練習(xí))遙控飛機(jī)上升后一段時(shí)間內(nèi)，第ts時(shí)的高度為f(t)=5t2+45t+4,

其中上升高度f(t)的單位為m,f的單位為s；

(1)求飛機(jī)在［1,2］時(shí)間段內(nèi)的平均速度；

(2)求飛機(jī)在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度.

【解題思路】(1)根據(jù)平均變化率計(jì)算；

(2)根據(jù)瞬時(shí)變化率計(jì)算.

[解答過程】(1)D=筆誓=5x22+45x2+4-(5x12+45x1+4)=人)

2—11

(2)第2s末的瞬時(shí)速度為lim^=lim/(2+A2-/(2)

A*-A,一nAC

5(2+At)2+45(2+At)+4-(5X22+45X2+4)

=lim

At->0At

=lim5^^65^=lim[5(At)+651=65(m/s).

△soASO

因此，第2s末的瞬時(shí)速度為65m/s.

題型2、1利用導(dǎo)致的定義解題(共5小題)

1.(23-24高二下?福建龍巖?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)在x=x°處可導(dǎo)，且limg誓3=3,則((尤0)

=()

3

A.-3B.-2C.——D.2

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【解答過程】解：因?yàn)閘im及匚等3=3,

△%T0N△久

所以一|lim八時(shí)駕-a。)=3,即一|/(3=3,

所以「(犯)=一2,

故選：B.

2.（23-24高二下?山東?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（久）在R上可導(dǎo)，且尸（1）=2022,則limX嫖羋等于（）

A.12022C.2022D.0

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即得結(jié)果.

【解答過程】由導(dǎo)數(shù)定義可知：,（1）=lim/（1+Af-/（1）=2022,

所以2022'=痂Xhm一遍X2022=1.

故選：A.

3.（23-24高二下?天津?階段練習(xí)）若當(dāng)△%—（）,滿足上若匈—-I,則下列結(jié)論正確的是（）

/（1+Ax）-/（1-Ax）

A.------△T-x------->—4

/i（1+△久）一f（l—△、）

B-mT

C.曲線y=f（x）上點(diǎn)（1/（1））處的切線斜率為一1

D.曲線y=/（X）上點(diǎn)（1/（1））處的切線斜率為—2

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

f(l)-f(13),2

即尸(1)=-2,

【解答過程】由“吆：叫T得:Ax

二曲線y=f（x）上點(diǎn)（1/（1））處的切線斜率為-2,C錯(cuò)誤；D正確;

/1+盤）］（13）=2X"1+1工（j久；2X4,A正確;B錯(cuò)誤.

故選：AD.

4.（23-24高二下?上海?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為r（x）,若（（配）=a,貝Wm/當(dāng)42=

20n

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得Hm?空*過.

［解答過程】因?yàn)閒'Oo）=a,則lin/g+2?-f（x。）=2iim/*3=2ro0）=2a.

/i-?0nh->0z”

故答案為：2a.

5.（23-24高二下?安徽合肥?階段練習(xí)）已知函數(shù)p=/）在點(diǎn)切處可導(dǎo)，試求下列各極限的值.

（1）lim

（2）lim…紇?….

jo2h

【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

fOo-4久）一/（%0）

【解答過程】（1）原式=lim

4%->0一（一?。?/p>

_]jm/（尢04久）―/~（久0）

（Ax-O時(shí)，一Ax一■（））

~Ax

=—/5）?

（2）原式=lim-（%o+h）—f（久o）+f（久0）一/（%。一九）

九T82八

二工hm"W）—""o）+一'（"°一①

21/IT0H20h.

=務(wù)（劭）+7（劭）]=75）.

題型33曲線的切線問題（共5小題）

1.（23-24高二下?廣東梅州?階段練習(xí)）曲線y=21nx+*2在點(diǎn)。1）處的切線方程為（）

A.y=x+3B.y=4x—3

C.y=2x—lD.y=%—3

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，求出切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出

所求切線方程.

2

【解答過程】由y=21nx+x2,得；/=1+2x（x>0）,

所以曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線斜率為k=4,

所以所求切線方程為y—l=4（x—1）,即y=4x—3.

故選：B.

2.（23-24高二下?福建福州?階段練習(xí)）若過點(diǎn)尸（-1即）可以作三條直線與曲線。>=久1相切，則小的取值

范圍是（）

A-（一*+8）B.C,（0,+oo）D.

【解題思路】求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為（功,處）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點(diǎn)尸的切線方程，代入點(diǎn)尸坐標(biāo),

化簡為巾=（-與2—xo—1）廿。，根據(jù)這個(gè)方程有三個(gè)不等根即可求解.

【解答過程】設(shè)切點(diǎn)為（比,打）,過點(diǎn)尸的切線方程為y=（久o+1）^。（萬一曲）+xoe*。，

xx

代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得m=（%0+l）e°（-l-%0）+xoe°,

化簡為6=（-X。2fo_i）e*。，

過點(diǎn)P（-l,巾）可以作三條直線與曲線C:y=xe，相切，即這個(gè)方程有三個(gè)不等根.

令/(%)=(―%2—x—l)ex,求導(dǎo)得：/'(%)=(―%—1)(%+2)ex.

令/'(%)>0,解得：-2<%<-1,所以/(%)在(一2,-1)上遞增；

令尸(%)V0,解得：第<—2或久>—1,

所以f(%)在(一8,-2)和(一1,+8)上遞減.

/(x)有極小值/(—2)=V，有極大值1)=

要使方程m=(-久02_尤0-1)/。有三個(gè)不等根即可.

_Q1

只需/'(—2)<m</(—1),即菽<x<一)

故選：D.

3.(23-24高二下?河北邢臺(tái)?階段練習(xí))過點(diǎn)P(a,0)作曲線y=的切線，若切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a

的值可以是()

A.2B.0C.-4D.-6

【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為Ooioe"。)，求得切線方程為：y—配^。=(沏+1)6，。。一曲)，將切線過點(diǎn)P(a,0),代

入切線方程，得到焉—ax()-a=0有兩個(gè)解，結(jié)合△>(),即可求解.

【解答過程】由題意，函數(shù)y=xe*,可得曠=(%+1)/

設(shè)切點(diǎn)為。0，&6力)則y'|x=xo=(%0+l)eg,

xx

所以切線方程為：y-xoe°=(%0+l)e°(x-%0),

切線過點(diǎn)P(a,0),代入得一M6*。=g+l)exo(a-xo),即方程焉-axo-a=0有兩個(gè)不同解，則有A=a2

+4a>0,解得a>0或a<—4.

故選：AD.

4.(23-24高二下?四川內(nèi)江一階段練習(xí))己知函數(shù)/(X)=ax3+bx在點(diǎn)處的切線方程為丫=2x-2,

則a+b-0_.

【解題思路】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程組，求得a,b的值，即可求解.

【解答過程】由函數(shù)/(%)=a/+加,可得/(%)=3a%2+匕，可得/⑴=3a+瓦/'⑴=a+b,

因?yàn)楹瘮?shù)/(久)=ax3+bx在點(diǎn)(1,/■⑴)處的切線方程為y=2x-2,

可得｛a；空渡J2,解得a=l力=一1，所以a+b=0.

故答案為：0.

5.(23-24高二下?江蘇常州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=-x3+%+=e-2x+1.

(1)求曲線y=/(%)過點(diǎn)處的切線；

(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=gQ)在x=t(teR)處的切線平行，求t的值.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求過一點(diǎn)的切線方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，由切線平行列方程求參數(shù)值.

【解答過程】(1)由導(dǎo)數(shù)公式得/(切=-3久2+1,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),設(shè)切線方程為：y-1=fc(x-l)

yo-1—fc(%o—1)

由題意可得：jyo=-%o+xo+1,

.k=-3XQ+1

%--

(^0=1[°52

所以|=i或Jy。=g，

——2Ik=-

'4

從而切線方程為2x+y-3=0或x-4y+3=0.

(2)由⑴可得:曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=-2x+3,

2x+12t+1

由9口)=-2e-,可得曲線y=g(x)在x=t(teR)處的切線斜率為夕(t)=-2e-,

由題意可得—2e-2t+i=-2,從而t=g,

此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為g,l),曲線y=以功在尤=《處的切線方程為y-l=-2(x-1),

即y=-2久+2,故符合題意，所以t=9

題型4R函數(shù)的單調(diào)性問題(共5小題)

1.(23-24高二下?河北秦皇島?階段練習(xí))函數(shù)/(久)=%3_》2_2久+i的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(―8,—1)和(2,+8)D.(―8,—2)和(1,+8)

【解題思路】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解尸(x)<0的解集，即是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【解答過程】由題意得廣(%)=x12-x-2=(%+l)(x-2),

令尸。)<0,得—l<x<2,所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,2).

故選：A.

2.⑵-24高二下?四川內(nèi)江?階段練習(xí))若函數(shù)/(%)=2/_inx在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k—l,k+1)內(nèi)不

是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

31

A.々>萬B.々<——

C.1<fc<f3D.I3

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后列不等式求解即可

【解答過程】/(X)=2%2_]nx,故x〉0,

且「(X)=4"T=三J—yf

由((x)>0=>x廣(%)<0=>0<x<!，

."(久)在(0,鄉(xiāng)上單調(diào)遞減，在G，+8)上單調(diào)遞增.

'fc-1>0,

若/(%)在(k—L/C+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則Ik-1<^解得

+1>|,

故選：C.

3.(23-24高二下?福建泉州?階段練習(xí))若奇函數(shù)/(久)在R上可導(dǎo)，當(dāng)久>0時(shí)，滿足/(W-x/(x)<0,

/(I)=0,則()

A.f(l)<0B./(4)-2/(2)>0

C.f(久)在(1,+8)上單調(diào)遞增D.不等式f(x)>0的解集為(-8,-l)U(l,+8)

【解題思路】對于A,令x=l,解出即可；對于B、C、D,構(gòu)造函數(shù)gQ)=號(hào)，由題意求導(dǎo)研究函數(shù)性

質(zhì)即可.

【解答過程】對于A,令％=1,則f(l)-r(l)<0/(l)=0,所以((1)>0,

所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于B,構(gòu)造函數(shù)g(x)=§2則當(dāng)x>0時(shí)，呢?zé)o)=好>0,

所以g(x)在(。,+8)單調(diào)遞增；所以g(4)>g(2),

所以竽>竽/(4)一2f(2)>0,所以選項(xiàng)B正確；

對于C,構(gòu)造函數(shù)g(x)=號(hào)，由久>。時(shí)，f(x)-xf'(x)<0,

所以((%)>號(hào)=9(%)，由9(1)=平=0，

又由選項(xiàng)B可知g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以當(dāng)%>1時(shí),g(x)>g(l)=0,

即當(dāng)久>1,f'(x)>g(x)>0,所以f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以選項(xiàng)C正確；

對于D,構(gòu)造函數(shù)9(無)=號(hào)，當(dāng)x>0時(shí)，由選項(xiàng)B可知g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

又知9(1)=芋=0，所以當(dāng)X>1,g(x)>0，在0<%<1,9(無)<0；

即當(dāng)久>0時(shí)，/(X)在(0,1)為負(fù)，在(L+8)為正;

由/(%)為奇函數(shù)，所以當(dāng)X<O時(shí)，/⑺在(—8,1)為負(fù)，在(—1,0)為正，

所以不等式/(x)>o的解集為：(-l,0)U(l,+oo),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

4.(23-24高二下?上海?階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=#+女2—x+*在&2)上存在嚴(yán)格減區(qū)間，則加的取值

范圍是-國登一

【解題思路】借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，再參變分離，可得小<§-“在區(qū)間@,2)上有解，結(jié)合g(%)=§-久的

單調(diào)性計(jì)算即可得解.

【解答過程】/'(X)=%2+mx-l,

函數(shù)/(X)在G，2)上存在嚴(yán)格減區(qū)間，則r(x)<0在區(qū)間G，2)上有解.

即6<4萬在區(qū)間G,2)上有解，

令9。)=§-X，因?yàn)間(x)在區(qū)間(；,2)上嚴(yán)格遞減，

所以<g(￡)=|，故有m<|.

故答案為：m<|.

5.(23-24高二下?遼寧?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=(a—l)x+e，(aeR).

(1)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)gQ)=/(x)-sinx,若函數(shù)y=g(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，參數(shù)a進(jìn)行分類討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即得；(2)

由題可得函數(shù)y=g(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，)(久)=a-1+ex-cosx>。在［0,+8)上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)的最值即可.

【解答過程】(1)由題意得，fXx)=a-l+ex,xER,

①當(dāng)a21時(shí)，f'Qx')=a-1+ex>0,函數(shù)/'(%)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<1時(shí)，令r(x)=a-1+e*>0,解得刀>In(l-a),

f'(x)=a-1+ex<0,解得x<ln(l-a),

所以函數(shù)/(x)在(ln(l-a),+8)上單調(diào)遞增，在(-8,ln(l-a))上單調(diào)遞減;

綜上，當(dāng)a21時(shí)，函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)QV1時(shí)，函數(shù)f(%)在(-8,ln(l-a))上單調(diào)遞減，

在(ln(l—a),+8)上單調(diào)遞增，

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=g(%)在［0,+8)上為增函數(shù)，

所以，g'O)=a-l+ex-cosx>。在［0,+8)上恒成立.

即l-Q<e*-cos%在［0,+8)上恒成立.

令九(%)=e*-cos%,當(dāng)工€［0,+8)時(shí)，hz(x)=ex+sin%>0,

所以，h(%)=e'-cos%在［0,+8)上單調(diào)遞增，/i(x)min=h(0)=0.

所以，1一。40,解得。之1,

所以，實(shí)數(shù)。的取值范圍為口+8).

題型54函數(shù)的極值問題(共5小題)

1.(23-24高二下?貴州銅仁?階段練習(xí))已知函數(shù)/0)=。111%+%2-3%+1在久=1處取得極值，則f(x)的極

大值為()

A.In2+"B,-In2-1C.-1D.1

【解題思路】先求出a的值，再由導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性求解.

【解答過程】由題意知，r(x)=?+2x—3,所以r(l)=a+2-3=0,解得a=l,

所以3(x)=1+2x—3=(%>0),令r(%)=0,解得x=g或x=l,

由r(x)>0得，0<x<T，或x>l,

1

由ro)<o得，

所以了(%)在(0,［上單調(diào)遞增，在(fl)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

X/(|)=ln|+(|)2-3x|+l=-ln2-i

所以f(x)的極大值為Tn2-3

故選：B.

2.(23-24高二下?湖北武漢?階段練習(xí))若函數(shù)nX)=xe，-ax恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

1111

A.a>—rB.CL<--C.—-<a<0D.—a<0

eze2e2ez

【解題思路】求出函數(shù)fo)的導(dǎo)數(shù)ro),求出函數(shù)r(w有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)的口的范圍即可.

【解答過程】函數(shù)/0)=疣，-3的定義域?yàn)榭?，求?dǎo)得r(x)=(%+

由函數(shù)/(x)=xeX-ax恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，得函數(shù)尸(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

即方程(x+l)ex-a=。有兩個(gè)不等實(shí)根，令g(x)=(%+l)ex,因此函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a有兩個(gè)

交點(diǎn)，

求導(dǎo)得g'(x)=(x+2)ex,當(dāng)久<-2時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(一8,-2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>-2時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(一2,+8)上單調(diào)遞增,

因此函數(shù)g(x)在％=-2處取得最小值g(-2)=_白,

而，9(-1)=。，且當(dāng)％<-1時(shí)，g(x)<。恒成立，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象，如圖：

觀察圖象知，當(dāng)-尚<a<0時(shí)，函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是—《<a<0.

故選：C.

3.(23-24高二下?云南曲靖?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)+]n%(aeR)有兩個(gè)極值點(diǎn)玲%2，則下列說

法正確的是()

A.a的取值范圍是(一8,0)u(4,+8)B.%i+%2=1

C.久62的取值范圍是(0,3D./(久1)+/02)的取值范圍是(—8,—3—21112)

【解題思路】函數(shù)/(%)極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為ro)=o方程根的問題研究.A項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二次方程有兩不等正根求

參數(shù)范圍；BC項(xiàng)由韋達(dá)定理與參數(shù)范圍可得；D項(xiàng)，先將所求式子整理變形，再利用韋達(dá)定理將打+冷,打

+冷整體代入消元，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)/1(a)的范圍即可.

【解答過程】A項(xiàng)，函數(shù)/■(%)=?久2-ax+Inx(aeR)有兩個(gè)極值點(diǎn)久1處，

則尸(尤)=0至少有兩正根.

￡，r、.1ax2—ax+l、

f(x)=ax-a+-=---,%>0n,

設(shè)g(x)—ax2—ax+1,

當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=l,即r(x)=O沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意;

當(dāng)aKO時(shí)，由題意知方程以久)=0有兩不等正根，設(shè)兩根為打,%2,

解得a>4.

則有居工JU

即a的取值范圍是為(4,+8),故A錯(cuò)誤;

BC項(xiàng)，因?yàn)椋?,均是方程a*2-ax+1=。的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

所以Xi+%2=1，*1"2=：W(0,；)，故BC正確;

D項(xiàng)，/(%1)+/(x2)=曷-ax1+lnxx+^xl-ax2+lnx2

2

=9[(%1+x2)-2x1x2]-a(xi+%2)+ln*iX2=y(1-^)-a+In-

乙Z\a/ci.

=—Ina一萬一1j

設(shè)h(a)=—Ina—5—l,a>4,

因?yàn)?i(a)在(4,+8)上單調(diào)遞減，所以h(a)</i(4)=-3-21n2.

且當(dāng)a74-故h(a)G(-8,-3-21ri2).

即f(%i)+f(%2)e(-oo-3-21n2),故D正確.

故選：BCD.

4.(23-24高二下?安徽馬鞍山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=M0-1沖-/+》在%€點(diǎn)4)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)ni的取值范圍是_(3氣

【解題思路】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，由極值點(diǎn)的意義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成直線與函數(shù)圖象在64)上有

兩個(gè)交點(diǎn)求解.

【解答過程】函數(shù)/(%)=m(x-l)ex-%2+%,求導(dǎo)得廣(%)=mxex-2x+1,

依題意，函數(shù)/(%)在64)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由((x)=0,得小=手，

令g(x)=7，xe(|,4),于是直線y=爪與函數(shù)y=g(x)在弓,4)上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

而0(%)=忑1二1牝二L2,由g，(x)>0,得由g(%)<0,得l<x<4,

exexz

即函數(shù)g(x)在弓1,1)上單調(diào)遞增，在(L4)上單調(diào)遞減，又必1)=。均⑴="1(4)7=￡,

1

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=m與函數(shù)y=g(x)在(萬,4)上的圖象，

711

觀察圖象知，當(dāng)不<小<々時(shí)，直線丫=血與函數(shù)丫=9。:)在(5,4)上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)/Xx)在6,4)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)f(x)在xe64)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍是(￡,?.

故答案為：(￡3.

5.(23-24高二下?遼寧沈陽?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=一爐+3久2+9久-2,求：

⑴函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(01(0))處的切線方程；

(2)/(久)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑶求/(%)的極大值和極小值.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，進(jìn)而得到切線方程；

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可確定所求的單調(diào)區(qū)間；

(3)根據(jù)(2)可求極值.

【解答過程】(1)由題意得:f'(x)=-3x2+6x+9=—3(x2—2x-3)=-3(x-3)(x+1),

.1.f(0)=9,又f(0)=-2,

y=/(x)的圖象在(0/(0))處的切線方程為y+2=9(x—0),即9尤—y—2=0.

(2)由(1)知:f/{x}=-3(x-3)(x+1),

.?.當(dāng)xe(―8,—1)U(3,+8)時(shí)，r(%)<0；當(dāng)xe(-L3)時(shí)，r(x)>0；??./(>)的單調(diào)遞減區(qū)間為

(―8,—1),(3,+00).

(3)根據(jù)(2)可知，當(dāng)％=-1為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，且f(-l)=一7,

當(dāng)x=3為函數(shù)/(均的極大值點(diǎn)，且/3)=25,

所以f(x)的極大值為25,極小值為-7.

題型6卜、函數(shù)的最值問題(共5小題)

1.(23-24高二下?江西贛州?階段練習(xí))函數(shù)/(久)=%3_久2一3網(wǎng)久wo)的最大值是()

A.-9B.0C.1D.3

【解題思路】求導(dǎo)可得廣⑺=/-2x-3,令尸(x)>0,r(x)<0可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即可求解.

【解答過程】因?yàn)?(X)=#-%2-3x(xw0),所以尸(X)=%2一2%-3,

令ro)>o,得刀<一1,令ro)<o,得一1<%<0,

所以函數(shù)f(尤)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減，

所以f(x)的最大值是/(-1)=|.

故選：C.

-1

2.(23-24高二下?四川內(nèi)江?階段練習(xí))已知/(久)=/3_%在區(qū)間⑺方-/)上有最小值，則實(shí)數(shù)小的取值范

圍是()

A.(-co,V5)B.(-V5,1)C.［-2,V5)D.［-2,1)

【解題思路】求得r(x)=/-i,得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合題意，得至uf7｝藍(lán))§：茍2,即可求解.

【解答過程】由函數(shù)/(X)=#-X,可得—(萬)=尤2-1=(x+

當(dāng)工<一1時(shí)，廣(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)一IV%VI時(shí),f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)%>1時(shí),/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增,

要使得函數(shù)y=/(久)在區(qū)間(血方一血?)上有最小值，

則滿足｛)篇:淞’即:二

-12

2

因?yàn)?3一瓶之一1可得63-37n+2Z0,BP(m—l)(m+2)>0,解得mN—2,

所以—2Wm<l,即實(shí)數(shù)ni的取值為卜2,1).

故選：D.

3.(23-24高二下?安徽安慶?階段練習(xí))已經(jīng)知道函數(shù)/(久)=/一2久2在［_1同上，則下列說法正確的是

()

A.最大值為9B.最小值為-3

C.函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增D.久=0是它的極大值點(diǎn)

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性，求得該函數(shù)的極值與最值，由此可判斷

各選項(xiàng)的正誤.

【解答過程】???/(工)=/一2乂2,則r(x)=3/-4x=x(3x-4).

令可得％VO或%>］；令((%)V0,可得Ov%v§.

當(dāng)Xe［一1,3］時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［一1,0),尊3］上均為增函數(shù)，

在區(qū)間［。,［上為減函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

所以x=O是函數(shù)y=/(X)的極大值點(diǎn)，D選項(xiàng)正確；

因?yàn)閒(O)=O,f(3)=27-2x9=9,/(-I)=-1-2X1=-3,

熊"祟2*竽=—||，

所以，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值為9,

最小值為-3,A、B選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

4.(23-24高二下?湖北?階段練習(xí))若函數(shù)f(x)=2久+：+31nx在(a,2-3a)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是」詞—?

【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得到關(guān)于a的

不等式組，解得即可.

【解答過程】函數(shù)/(%)=2x+|+31n久的定義域?yàn)?0,+co),

532N+3%—5(2x+5)(x-l)

m=2—+-=：

%2=%2

令廣(%)=o可得％=1或%=-|(舍)，

當(dāng)ov久<1時(shí)r(%)<o,當(dāng)%>i時(shí)/(%)>o,

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/(%)在久=1處取得極小值，即最小值,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在(a,2-3a)內(nèi)有最小值，故0Wa<1<2-3a,解得OWa<(,

所以a的取值范圍是卜3).

故答案為：［og).

5.(23-24高二下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ax+:—(a—2)lnx.

(1)當(dāng)a=0時(shí),求/(X)在性,21上的最值；(提示：In2ao.69)

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可;

(2)求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再由零點(diǎn)的大小分類討論即可得出答案.

【解答過程】⑴當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=：+21nx,則尸(為=等,

當(dāng)時(shí)，/'(%)<0,當(dāng)1<%W2時(shí)，f'(x}>0,

所以函數(shù)f(x)在L，l)上單調(diào)遞減，在(1,2］上單調(diào)遞增，

所以八X)min=f(D=2,

因?yàn)樾?=4-21n2/(2)=1+21n2,熊)〉f(2),

所以/'(x)max=/(1)=4—21n2,

綜上:f(x)min=2,/,(X)max=4-21n2;

(2)f(x)=a-——=—；2)X-2=(—)(廠+2)(0)

J、'X2XX2X2v7

當(dāng)aNO時(shí)，令尸(%)<0得0V%<1,令得％>1,

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=—2時(shí)，-(%)=<o在(0,+8)上恒成立，

所以/'(X)在(。，+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)—2<aV0時(shí)，令<0得0V%V1或%>-令/(%)>0得1<%V-

所以f(x)在(0,1),(-3,+8)上單調(diào)遞減，在(1,一|)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<—2時(shí)，令((%)<0得0<x<-g或久>1,令r(x)>0得—(<x<1,

所以f(x)在(0,-3,(1,+8)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)a<—2時(shí)/(>)在(0,-?，(1,+8)上單調(diào)遞減，在(―上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=-2時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)—2<a<0時(shí)，在(0,1),(―：,+8)單調(diào)遞減，在(1,—3上單調(diào)遞增；

當(dāng)a20時(shí)，/(久)在(0,1)單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增.

題型7卜導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)問版彳其57函O1

1.⑵-24高二下?陜西咸陽?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=仔3+游手f-0(若g(x)=/(*)-E有4個(gè)零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(0,9B.(-pO]uQC.{-鴻D.(一39

【解題思路】先討論x=0是否為函數(shù)零點(diǎn)，然后f(x)-mx=0,兩邊同時(shí)除以工,分離參數(shù)，最終轉(zhuǎn)化為

八(幻=9與丫=7n交點(diǎn)問題，求導(dǎo)，研究單調(diào)性畫出h(x)圖像，即可得到答案.

【解答過程】當(dāng)x=0時(shí)，g(0)—小心=0,對于任意加恒成立，所以無=0是其中的一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)％H0時(shí)，g(%)=f(%)-血%有三個(gè)(除％=0之外)的零點(diǎn)，即/(%)-m%=0,與^=TH,所以y=/F，y=7n

有三個(gè)交點(diǎn).

令八(久)=e={x2+3%+2,x<0,

Inx、八,

—,X>0,

x

、【/_門r/、Inx7,/、1—Inx

當(dāng)%>0,/l(%)=―9h(%)=/，

當(dāng)OVxVe,hf(x)>0,/i(%)單調(diào)遞增.當(dāng)％>e,hf(x)<0,九(%)單調(diào)遞減,

所以九(X)max=〃e)=；.

當(dāng)久<0,八(久)=N+3久+2,為二次函數(shù)，易知單調(diào)性，

九(x)在(—8,—|)單調(diào)遞減，在(_|,o)單調(diào)遞增.h(x)min=初—|)=-1.

似乃圖像如下：

%(x)與y=加有三個(gè)交點(diǎn)，加的取值范圍為一：＜?。?或者爪=

故選：B.

2.(23-24高二下?四川眉山?階段練習(xí))己知函數(shù)/(久)=e%+ax有兩個(gè)零點(diǎn)燈,久2，且卬＞久2，則下列說法

不正確的是()

A.a<-eB.x-^+x2>ln(%1%2)+2

C.xi%2>1D.f(x)有極小值點(diǎn)

【解題思路】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極小值，根據(jù)極小值小于0,判斷A；根

據(jù)方程，指對互化，判斷B；根據(jù)極值點(diǎn)的位置，結(jié)合f(0)>0,即可判斷C；根據(jù)A的判斷，即可判斷

D.

【解答過程】由題意,函數(shù)/O)=e，+ax,則r(x)=ex+a,

當(dāng)a20時(shí)，廣(乃=^+￡1>0在區(qū)上恒成立，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，令尸(%)=e*+a>0,解得(>ln(—a),令/，(無)=e*+a<0,解得x<ln(-a),

所以函數(shù)/'(%)在(-oo,ln(-a))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+8)上單調(diào)遞增，

x

因?yàn)楹瘮?shù)/■(%)=e+ax有兩個(gè)零點(diǎn)xi/2且xi>x2,

對A,貝!J/Xlnl-a))=eln(：_a)+aln(-a)=-a+aln(-a)=-a(l-ln(-a))<0,且a<0,

所以1—ln(—a)<0,解得a<—e,所以A正確；

X2

對B,a<-e,且e4+axi=0,e+ax2-0,故=In(-ax。，x2=ln(-a%2)>

2

所以Xi+x2=ln(ax1x2)=21n(-a)+刊⑸冷)>2+ln(xi%2)，所以B正確；

對C,由/'(())=l>0,且由A可知，a<-e,ln(-a)>1,則0<及<1，但>1不能確定，

所以C不正確；

對D,由函數(shù)/(x)在(-8,ln(-a))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為工o=ln(-a),所以D正確；

故選：C.

3.(23-24高二下?山東泰安?階段練習(xí))已知函數(shù)/(嗎=9-奴2(a為常數(shù))，則下列結(jié)論正確的有

()

A.a=］時(shí)，/(久)N0恒成立

B.a=l時(shí)，/(久)無極值

C.若/(為有3個(gè)零點(diǎn)，貝la的范圍為(?,+oo)

D.a=,時(shí)，/(%)有唯一零點(diǎn)且一1<%o<-：

【解題思路】A選項(xiàng)，當(dāng)。=5時(shí)，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合f(-l)=H<0得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，

a=l時(shí)，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)x=0時(shí)，顯然/'(0)40,久力。時(shí)，參變分離，

記F(x)=s,求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得到a的范圍為(3,+8),C正確；D選項(xiàng)，二次求導(dǎo)

得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的工。，滿足-1<為<-今

x2/xxx

【解答過程】對于A,當(dāng)a=］時(shí)，/(x)=e-fx,/()=e-ex,令g(%)=/'(%)"(%)=e-e,

令g'(%)=e*-e>0,則%>1,廣(%)在(L+8)上單調(diào)遞增，在(一8,1)上單調(diào)遞減,

故尸(%)"(1)=0，

???/(X)在R上單調(diào)遞增，/(-l)=|-f<0'故A錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)Q=1時(shí)，/(x)=ex-x2,//(x)=ex-2x,^m(x)==ex-2,

令?n，(%)=e*—2>0,則%>ln2,令nT(%)=e“-2V0,解得久Vln2,

廣(%)在(ln2,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,ln2)上單調(diào)遞減，

故尸(%)>f(ln2)=2-21n2>0,

???/(%)在R上單調(diào)遞增，無極值，故B正確;

對于C,令/(%)=e'-a/=o,當(dāng)汽=0時(shí)，顯然

故％=0不是函數(shù)的零點(diǎn)，

當(dāng)工。0時(shí)，則a=聶,記正(%)=%則尸'(%)=e

令-(久)=>0得％<0或%>2,令尸(%)<0得0V%<2,

故尸(工)=\在(—8,0),(2,+8)單調(diào)遞增，在(0,2)單調(diào)遞減，且F(2)=?,

且當(dāng)%t+8和%70時(shí)，+00,

故/(%)有3個(gè)零點(diǎn)，貝心的范圍為(?,+8),C正確，

對于D,當(dāng)a=:時(shí)，/(x)=ex-1x2,1(%)=ex-x,

令h(%)=f<x),則"(久)=ex-l,

令"(%)=e^—1>0,則汽>0,令解得汽<0,

故廣(%)在(o,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減，故r(x)2r(o)=i,

f0)在R上單調(diào)遞增，則此時(shí)/(%)至多只有一個(gè)零點(diǎn)&,

又/(—1)=e-1-1=蕓<0/(4)=院匕！=籍>。，

1

由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的犯，滿足-1<配<-5,選項(xiàng)D正確；

故選：BCD.

4.(23-24高二下?河南濮陽?階段練習(xí))若函數(shù)/(久)=(e，+x)[ln(-久)+時(shí)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是(―8.—1)U(—IQ]U

【解題思路】設(shè)9(%)=e%+%,根據(jù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)范圍，令+k%=0,得k=一

吟2設(shè)%(%)=-吟2求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性及函數(shù)極值的取值情況確定k的范圍，再根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)不相同對

k的取值進(jìn)行排除即可.

【解答過程】由己知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-8,0),

1

設(shè)9(%)=^+%,明顯g(%)單調(diào)遞增，且g(-l)=l—1<0,.g