2023-2024學(xué)年甘肅省武威市涼州區(qū)高一（下）期中

數(shù)學(xué)試卷

、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知向量方=(2,-1),1)=(m,3),若0//L,則m=()

3

A.~2C.6D.-6

2.已知是，虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)竽的虛部是（)

1+1

A.3C.D.3

~22~2

3.八卦是中國(guó)文化中的哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖,其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH,其中

OA=1,給出下列結(jié)論:

①屏'-濟(jì)+詼=/；

②而+~OC=-42OF-,

^)AE+FC-~GE=JB-,

④瓦+1)B+~OC+7)b+'OE+~OF+~OG=7).

其中正確的結(jié)論為（

圖2

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

4.cos163°COS223"+cos253°cos313°等于()

C.吏D.1_

B--T~2

5.在48c中，A=120°,C=15°,AC=46,貝！13c=(

A.4B.243C.3D.2^2

6.一物體受到相互垂直的兩個(gè)力為、％的作用，兩力大小都為巾加則兩個(gè)力的合力的大小為（)

A.10^3NB.QNC.5/6ND.迎N

2

7.已知落了是單位向量，/窈+引=仃，貝底與％的夾角為（

A.-B.-C.巴

633

8.在2\/夕。中，若AB=4,BC=5,B=60°,貝1]/0=（

A.421B.431C.V57D.461

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.關(guān)于復(fù)數(shù)，給出下列命題正確的是（）

A.3>3iB.16>（4i）2C.2+i>1+iD./2+3i/>/2+i1.

10.下列命題的判斷正確的是（）

A.若向量磯向量詼共線，則4B,C,〃四點(diǎn)在一條直線上

B.若4B,C,。四點(diǎn)在一條直線上，則向量法與向量9線

C.若4B,C,。四點(diǎn)不在一條直線上，則向量磯向量而不共線

D.若向量法與向量反共線，則4B,。三點(diǎn)在一條直線上

11.下列函數(shù)中，以"為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）

A.y=tanxB.y=,/sirur/C.y=cos2xD.y=-sinxcosx

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.復(fù)數(shù)3i-l的共軟復(fù)數(shù)是.

13.若tan。=-2,貝Utan2a=,tan（2a+彳）=

14.己知力--2夕，B（l,3）,C（m,n）,若4B,C三點(diǎn)共線，則如〃的關(guān)系式為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.體小題13分）

已知復(fù)數(shù)z=（品-m）+（m-3）i,meR（i為虛數(shù)單位）.

（7）當(dāng)0=2時(shí)，求復(fù)數(shù)zz的值；

⑵若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求〃的取值范圍.

16.體小題15分）

已知會(huì)/=4,用/=3,在下列條件下求方?了：

（。向量為與評(píng)行時(shí)；

⑵向量方與％的夾角為60°；

⑶向量為與%垂直時(shí).

17.體小題15分)

已知ae(三,JT),sina=g.

(7)求sin(彳+的值；

⑵求cos2a」的值.

18.體小題17分)

已知sin(a+B)=*sin(a-0)=-^-,求的值.

35tanP

19.體小題17分)

已知f(x)=z\A?sin^cos^+2sin2^-1.

0)求函數(shù)/■㈤的最小正周期；

⑵己知。，￡均為銳角，f(a+々)=Z，cos￡=],求sin(a-￡)的值.

655

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：向量方=-1),1)=(m,3),且若/>%,

則-/Xm=2X3,

所以〃=-6.

故選；D.

利用向量共線的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算作答.

本題主要考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：年=等”-i

1+1(.1+1)(1-1)222

?:復(fù)數(shù)罷的虛部為提

故選：C.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則，計(jì)算可得答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：①：^-7^+Hb=BF+FH+W=BH+W=BD^0,故①結(jié)論錯(cuò)誤；

②：由正八邊形性質(zhì)知：0A1OC,OA=OC=OB=1,設(shè)OBCAC=M,如圖所示:

因?yàn)?AOB=/COB=45°，所以〃為力。中點(diǎn)，所以而+加=2就

因?yàn)轱S上〃=2所以詼=蟲無(wú)，所以而+注=A?，

222

又演=-旗所以而+市故②結(jié)論正確；

③：由正八邊形性質(zhì)知：AG//CEAG=CE,即羽=演,

所以荏+后-屈=荏+尻祖=9+后=覆-方=麗，

又厚=而，所以荏+后-豆=羽，故③結(jié)論正確；

@：~0A+QB+OC+OD+OE+OF+OG+OH=(OA+~0E)+(OB+~0F)+(OC+OG)+(OD+~0H)=0,故④結(jié)論正確.

故選：C.

根據(jù)圖形關(guān)系，根據(jù)向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

本題主要考查平面向量基本定理，命題真假的判斷，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：cos163°cos223°+cos253°cos313°=-cos17°(-cos43°)+(~cos73°)cos47°-

cos170cos430-sin/70sin430

-cos(17°+43。)=cos60。二;.

故選：D,

利用誘導(dǎo)公式及和差角公式即得.

本題考查誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：0/8C中，A=120°,C=15°,AC=<6,

所以6=180°-A-C=45°,

由正弦定理得￡BC

~p

sin8sinJ

即解得BC=史？=3.

sin45"sinl20°2

故選：C.

由三角形內(nèi)角和可得角8的大小，然后由正弦定理可得6c的大小.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)平行四邊形定則，兩個(gè)合力的大小為：

F=J乃+此7(矩)2+(如)2=麗N,

故選：C.

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合勾股定理，即可得出答案.

本題考查向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由/窈4/二遮，可得函+1)2=3,

即4a+4a-b+b=3,

又/3/=/?/=1,Za-1

./T7\a-Z?1

?……方而廣萬(wàn)，

：d>w[o,JI],

T2兀

?：<~a,b

故選：C.

由數(shù)量積性質(zhì)，直接將向量的模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算，解出夾角余弦值，進(jìn)而根據(jù)范圍求角.

本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：:.AB=4,BC=5,B=60°,

2

.：由余弦定理可得：AC=7AB+BG-2XABXBCXcosB=\16+25-2X4X5X-rj=yT21.

故選：A.

由已知及余弦定理即可求值得解.

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BD

【解析】解：不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，故力。錯(cuò)誤；

因?yàn)?4i)2=-16,因此(4i)2,故6正確；

因?yàn)?2+3“=722+32=6/2+//=722+12=逐因此l2+3i[>12+”,故2正確.

故選：BD.

利用復(fù)數(shù)的意義判斷4C;利用復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算判斷8;計(jì)算復(fù)數(shù)的模判斷。作答.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4在平行四邊形48必中，~CD=AB,滿足研視線，而4B,C,。四點(diǎn)不共線，故/

錯(cuò)誤；

對(duì)于昆A,B,C,2四點(diǎn)在一條直線上，則懣與赤方向相同或相反，即磯而共線，故5正確；

對(duì)于G平行四邊形中，滿足4B,C,。四點(diǎn)不共線，有拔=加，即向量港與反共線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于A向量還與反共線，而向量懣與應(yīng)有公共點(diǎn)昆因此4B,C三點(diǎn)在一條直線上，故。正確.

故選：BD.

根據(jù)給定條件，利用共線向量的意義逐項(xiàng)判斷作答.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量共線的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

n.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4函數(shù)y=tanx的最小正周期為萬(wàn)，在區(qū)間〃，上單調(diào)遞增，故/正確;

對(duì)于/函數(shù)y=/sinx/的最小正周期為萬(wàn)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,函數(shù)"。。52*二"羅二觸5為弓的最小正周期為〃，在區(qū)間二)上單調(diào)遞增，故。正確;

對(duì)于"函數(shù)y=-sinxcosx=-；sin2x的最小正周期為孫在區(qū)間《，口上先減后增，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

直接利用函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題主要考查了三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】-1-3i

【解析】解：1?復(fù)數(shù)3i-l=-l+3i,

?:根據(jù)復(fù)數(shù)共輾復(fù)數(shù)的定義可知復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)為-1~3i.

故答案為：——i.

根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，比較基礎(chǔ).

13.【答案】(-7

【解析】解：因?yàn)閠ana=-2,所以tanZa=廣與一=衿愣

7-tanza1-(-2)43

4

所以tan念.弓)=當(dāng)子=4=V

4a

1-tan2/-z3

故答案為：--7.

利用正切的和角及倍角公式，再利用條件即可求出結(jié)果.

本題主要考查二倍角的正切公式及兩角和的正切公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3n+m=10

【解析】解：由/B(l,3),C血n)可得:AB=(3,-1),~BC=(m-l,n-3),

因?yàn)?B,C三點(diǎn)共線，所以物流；

所以3(n-3)=1-印,整理得：3n+m=10.

故答案為：3n+m=10.

由4B,C三點(diǎn)共線，可得雙反，利用向量共線的充要條件即可得到〃，〃的關(guān)系式.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量共線的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】解：O當(dāng)/=2時(shí)，z=2-i,故zz=(2-i)(2+i)=5；

⑵若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)-3)位于第三象限，

則【＜77/，解得

.：0的取值范圍為0,勿.

【解析】⑴代入畔2,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法求解即可；

⑵根據(jù)第三象限實(shí)部為負(fù)，虛部為負(fù)求解不等式即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】解：〈。當(dāng)向量方與評(píng)行時(shí)，向量方與％的夾角為。。或180。,

當(dāng)向量召與了的夾角為?！銜r(shí)，a-1=/a/[b/cosO°=3X4X1=12-,

當(dāng)向量方與力的夾角為時(shí)，為-％=/a/[b/cosl80°=3X4X(-1)=-12,

綜上，~a-'b=±12.

⑵當(dāng)向量Z與了的夾角為&T時(shí)，a-'b=lai[b/cos60°=3X4X^=6.

⑶當(dāng)向量方與強(qiáng)直時(shí)，向量召與了的夾角為9。°,

所以若?'b=/a//b/cos900=3X4X0=0.

【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一求解即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)???aE(5,「),sin。二等，

cosa--V7-sin2a,

5

.,.s?in(/a+,——71)\-s?m乃—cosa/,cos—萬(wàn)si?na-y——[ib；

44410

⑵：aee，n),Sina=空瀉,

...ae([,(]),2ae(7t,i71),

4

:'sinZ。-^cosasina

?：cos2a=-yj1-sin22a

./5\5靠.53\[3-4

??cos(-兀-zoa)-cos—cosza+sin-"sin2n〃-———.

66610

【解析】本題考查由一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值、兩角和與差的余弦公式、兩角和與差的正弦公式、

二倍角正弦公式，屬于中檔題.

(〃利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出cosa,結(jié)合兩角和差的三角函數(shù)公式，求解即可得出答案；

⑵先根據(jù)sina二竿邛求出ae(j”),從而得到2ae",J”利用二倍角公式求出sinZa,

52233

利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，求出