天水一中2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高一級

第一次階段考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）

1.如圖，在三角形048中，若向量3P=2PA,則向量°P=（）

A,--OA+-OBB,-OA--OBC.-OA+-OBD.-OA+-OB

33223333

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量減法的三角形法則化簡已知條件，移項整理即得所求

［詳解］BP=2PA=OP-OB=2（OA-OP）=>3OP=2OA+OB

^OP=-OA+-OB

33

故選：D

2.已知角6的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點尸（-3,-4）,則sin6+］

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出cos。，再化簡sin［，+］）可求得結(jié)果.

八-33

【詳解】由題意得cos*J（_3）2+（_41

5

所以sin[8+曰71）=cos?=

2

故選：B

3.已知向量。與匕的夾角為吃，卜|=&，a-L（a+b）,則問=（）

A.1B.72C.2D.75

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得出a{a+》）=O,利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義可求得W的值.

【詳解】因為向量。與b的夾角為T，|a|=J2，aL（a+b\

則a（a+》）=+,卜^cos苧=2+0=2-忖=0,解得忖=2.

故選：C.

einrv1

4.已知角a滿足------------=—,則tana的值為（）

cosa+2sina4

11

A.2B.-2C.-D.——

-22

【答案】c

【解析】

【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式化弦為切，解正切方程即得.

.、-,sincrtan。11

【詳解】由-------------=----------=-,解得：tana=-.

costz+2sin?1+2tana42

故選：C.

5.已知VA3C的內(nèi)角A,8,C所對的邊分別是a,b,c,若A:3：C=l:1:4,則a:/?:c=（）

A.1:1:4B.1:1:2C.2:73:1D.l：l：g

【答案】D

【解析】

TTTT27r

【分析】根據(jù)已知得A=—,3=—,C=——，再由正弦邊角關(guān)系即可得比值.

663

TT7T/JT

【詳解】由4瓦。€（0,兀）,4:3:。=1:1:4,且A+3+C=TT,則A=—,8=—,C=—,

663

所以a:。：c=sinA:sinB:sinC=—:=1:1:6.

222

故選：D

6.在AABC中，a=15,b=10,A=60°,則cosB=

A2應(yīng)R20r76NA/6

3333

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理即可得到sin8,進而得到結(jié)果.

ab1510.n73

【詳解】由正弦定理得sin^—sin^-G-sin^一-3，b<a：.B<A:.COSB=

V

考點：正弦定理解三角形

7.如右圖，有兩個具有共頂點且全等的正六邊形，若C,D,K共線，且Xe{C,￡>,E,EG,H,/,1,K},

則A&AX共有（）個不同的正值.

A8B.7C.6D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正六邊形特征，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義即可判斷.

如圖，過C,D,E,G,K作的垂線,

由正六邊形的性質(zhì)可得：過。,J作直線A3的垂線，垂足為5,G,/作直線A3的垂線，垂足為知3,

其它垂足，如圖所示，

當(dāng)Xe{C,￡>,及EG,H,/JK}時，

當(dāng)A9AX20時，4乂在43上的投影向量可以是0,31，45,加12，加/3，血，

由數(shù)量積的幾何意義可得ABAE=O,ABAK=\AB\

ABAD^ABAJ^AB^,ABAC=網(wǎng)

AB-AG=AB-AI=^ABUAM3\,AB-AM=|AB|-|AM4|,

所以AB-AX共有5個不同的正值?

故選：B

8.已知函數(shù)/'(x)氣2,若存在實數(shù)XI、/、/且西＜%＜七,使得

-X+1,尤＜0

/(%1)=/(%2)=/(%；),則%/(玉)+為2/(9)+%/(馮)的取值范圍為()

B.(/fI2]C,「991D,「^2,9-一

【答案】D

【解析】

【分析】作出圖形，利用正弦型函數(shù)的對稱性得出々+退=2,可得出//(%)+工2/(々)+退/(%)

=-才-％+2,求出/的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的取值范圍.

故當(dāng)XW[0,2]時，對稱軸為直線x=l,則4+%=2,

因為/（%）=/（%2）=/（%3），所以,%/（玉）+//（%2）+七/（七）=/（%）（玉+2），

又因為/（石）=_九1+1,

%/（石）+士/（X2）+七/（七）=/（%）（石+2）=（―玉+1）（玉+2）=F2—%+2

i+g

1ii（iY1

由/(毛)=一%+16(1,2]可得石G[-1,0),則-廣網(wǎng)+片相則04底+5卜屋

(1Y99

所以,

xlf(xl)+x2f(x2)+x3f(x3)=-\xl+-\+-e2,-

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性以及函數(shù)解析式將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)

于某個量的函數(shù)，求出變量范圍后，轉(zhuǎn)化為值域問題求解.

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）

9.關(guān)于平面向量d,Z?,c,下列說法不正確的是（）

A.\a-bj\aJrb^=cT-b1

B.[a+b^-c=a-c+b-c

C.若a，b=，且awO，則Z?=c

D.{a-b\-c=a{b-c\

【答案】CD

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積的定義和運算律，對選項逐一進行判斷即可.

【詳解】對于A、B,根據(jù)向量的運算法則，及分配律，易知A、B正確；

對于C,當(dāng)反向且都與&垂直時滿足題設(shè)，但Z，wc，故C錯誤；

對于D,是與Z共線的向量，是與。共線的向量，故D錯誤.

故選：CD.

10.已知。是實數(shù)，則函數(shù)/（x）=l+asinox的圖象可能是（）

【解析】

【分析】分a=0與awO討論，再結(jié)合正弦函數(shù)的周期，振幅逐項判斷即可；

【詳解】當(dāng)a=O時，/(%)=1；

當(dāng)awO時，周期為丁=聲，振幅為何，

對A,當(dāng)a=0時，/(x)=l,故A正確；

對B,由7>2兀，可得時<1,所以|asin同<1,所以振幅小于2,故B錯誤；

對C,當(dāng)時<1時，T>2n,故C正確；

對D,由T<2?？傻猛?,所以|asinat|>l,所以振幅大于2,故D正確；

故選：ACD

11.“費馬點，，是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，

使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)VA5C的三個內(nèi)角

均小于120。時，使得==NCQ4=120°的點。即為費馬點；當(dāng)VABC有一個內(nèi)角大于或

等于120。時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.下列說法正確的是()

A,正三角形的費馬點是正三角形的中心

ULLUULUUIU1

B.若P為VA5C的費馬點，且PA+PB+PC^O^則VA5C一定為正三角形

C.若VA5C三邊長分別為1,百,2,則該三角形的費馬點到各頂點距離之和為J7

7T

D.VA5C的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為mb,c,/A=—,bc=2,若點尸為VA5C的費馬點，

2

則PAPB+PBPC+PCPAn—苴-

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】對A,根據(jù)正三角形中心的性質(zhì)結(jié)合費馬點定義易判斷；對B,取的中點。，由

PA+P5+PC=0可得點尸是VABC的重心，再結(jié)合條件可得點尸是VABC的中心，得證；對C,利用

三角形旋轉(zhuǎn)，結(jié)合費馬點定義，構(gòu)造正三角形轉(zhuǎn)化線段長求解；對D,由向量數(shù)量積定義，結(jié)合費馬點定

義和三角形等面積法列式求解.

【詳解】對于A,如圖。是正三角形ABC的中心，根據(jù)正三角形的性質(zhì)易得

ZAOB=：ZAOC=ZBOC=120°，所以點。是正三角形ABC的費馬點，故A正確；

對于B,如圖，取A3的中點則PA+P5=2PD，因為PA+P5+PC=0,

UUUUUU

所以PC=—2PD，所以CRD三點共線，且點P是VA5C的重心，

又點尸是VA3C費馬點，則/4尸5=/4「。=/5尸。=120°，

則NAPD=尸￡>=60°，又AD=BD,易得FA=PB,同理可得PC=P5,

所以Q4=尸5=尸。所以點尸是VA3C的外心，所以點尸是VA3C的中心，

即7ABe是正三角形.故B正確；

c

對于C,如圖，在Rt^ABC中，AB=\,BC=g，AC=2,ZACB=30°>

點。是RtAABC的費馬點，將.COL繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△。￡￡），

易證—COE,ACD是正三角形，

則OC=OE,OA=DE,CD=AC,且點5O,E,D共線,

所以/BCD=90°，所以BD=4BC2+CD?=小的+2?=布,

又OA+OB+OC=DE+OE+OB=DB=^，

即該三角形的費馬點到各頂點距離之和為近.故C正確;

D

對于D,由費馬點定義可得/4/>5=/4^。=/3尸。=120°，

設(shè)叢=x,PB=y,PC=z,x,y,z>0,

,v「?汨1731s/31A/31

田^VABC~^VPAB十,VPA5十^VPAB，口J倚—XV-----1XZ-------1VZ--------X2，

2'222222

整理得孫+丁2+X2=，

所以PA.P5+PB.PC+PC.PA=D1—g）+yz[—g）+xz[—；）

1/\14G2百痂「碎、口

=一一（肛+yz+xz）=--X------=---------,故D錯味.

2V7233

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題首先要理解費馬點的含義，解答D選項的關(guān)鍵在于利用三角形等面積法求

中4A/3

出盯+yz+xz=§.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

7171?

[-X+-的單調(diào)遞增區(qū)間為

【答案】〔24-1,24+￡|（左eZ）

【解析】

【分析】利用正切型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)了（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間.

，兀兀|,由kn-—<—x+—<kn+—(kGZ),

【詳解】對于函數(shù)〃x）=tan]

)2242V7

31

可得2左一5<%<2左+]（kwZ）,

所以，函數(shù)外力的單調(diào)遞增區(qū)間為"攵—1>2k+g[(keZ).

故答案為：^2k--,2k+/]（kGZ）.

13.已知同=2,b=（2,2百）,〃?/?=4,則向量a在向量b上的投影向量坐標(biāo)為____________

【答案】

【解析】

a-b7

求得忖=4,

【分析】根據(jù)題意,結(jié)合投影向量的計算公式即可得到向量。在向量b上的投影向

量，得到答案.

【詳解】由忖=2,》=（2,2G）,a-b=4,可得慟=4,

設(shè)向量。與人的夾角為。,

則向量a在向量b上的投影向量為卜卜"""="：?"=*(2,2我=(1當(dāng)

故答案為:

14.在平行四邊形ABCD中，AB=i,AD=y[3,AC與BD交于點0,ZAOD=~,則該平行四邊形

ABCD的面積為

【答案】小

【解析】

【分析】利用余弦定理和三角形面積公式求解.

如圖，因為四邊形A3CD是平行四邊形，所以05=0。，設(shè)。4=a,05=0。=>

在△A0D中，AOD=,AD=^＞，根據(jù)余弦定理

27r

AD2=a1+b2-2abcos——=a2+b2+ab=3,

3

9TTjr

在VAOB中，ZAOB=n--=-,AB=1,根據(jù)余弦定理

33

AB2=a~+b2-2a/?cos—=a~+b~-ab=1,

3

兩式相減可得，ab=l.

故答案為：A

四、解答題(本題共5小題，共77分)

15.已知平面直角坐標(biāo)系中，點。為原點，42,1),5(1,-1),C(3,/n).

(1)若05_LAC，求實數(shù)機的值；

(2)若A,B,C三點共線，求實數(shù)機的值.

【答案】(1)2(2)3

【解析】

【分析】(1)利用向量垂直列方程求出加；

(2)利用向量共線列方程求出加

【小問1詳解】

因為A(2,l),B(l,-1),C(3,相)，所以03=(1,=

因為05_LAC，所以1x1+(-1)x(m—1)=°，解得：m=2.

【小問2詳解】

因為A(2,l),B(l,-1),C(3,m),所以AB=(—1,—2),AC=(1,加—1).

因為A,B,C三點共線，所以〃—z1=2,解得:m=3.

16.某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)/(%)=45：111(5+9)+?。＞0,|。|＜3在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表

并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

兀3兀

a)x+(p0兀2兀

2~2

715兀

Xmn

~3~6P

Asis(s+0)+左161-41

(1)求出實數(shù)機，n,p的值；

(2)求出函數(shù)“力的解析式；

(3)將y=/(x)圖象向左平移山＞0)個單位，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若丁=8(尤)為偶函數(shù)，求f的

最小值.

.3、兀7n13n

【答案】(1)m=一,n=—,p

1212~12

n

(2)/(x)=5sin|2x~—|+1

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)表格列方程，解方程得到，"，n,p.

Asin0+左=1

fA=5

(2)根據(jù)表格得到《4.兀,「，解方程得到＜,然后結(jié)合(1)中結(jié)論即可得到了(%)的解析

Asin—+左=6k=l

2

式;

(3)根據(jù)圖象的平移變換得到g(x),根據(jù)g(x)為偶函數(shù)得到g(O)為最值，然后解方程求/即可.

【小問1詳解】

(0=2

com+°=0兀

兀兀

—CD+(p--

32

in——bt、i兀7口13n

由題意得con+0=兀，解得《12，所以根=—，n=—,p=----

121212

5兀3兀7兀

——①+0=——n-——

6212

cop+(p=2兀13兀

p=——

12

【小問2詳解】

Asin0+左=1

A=5,所以/(x)=5sin12x—￡j+l.

由題意得《Asin.左=6,解得

k=l

2

【小問3詳解】

n

由題意得g(x)=5sin|2x+2t--+1,

6

因為g(%)為偶函數(shù)，所以g(0)=5sin[2…￡)+l=6或g(0)=—4,即sin12/一看卜±1,

即2/—三=三+左n,左eZ,解得。=三+生/eZ,

6232

兀

因為，＞0,所以當(dāng)k=0時，，最小，最小為一.

3

17.如圖，為了測量兩山頂”,N間的距離，RG,M,N四點在同一鉛錘平面內(nèi)，飛機沿水平方向在RG

兩點進行測量，途中在點P測得NGPM=75。,NGPN=30。，在點G測得/PGM=45。,NMGN=75。，

測得PG=#km.

（1）求點P和點〃之間的距離;

（2）求兩山頂M,N間的距離.

【答案】（1）2km

⑵^/10km

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中在P,G兩點觀測到的俯角，得出相關(guān)角，利用正弦定理，可得長度;

（2）觀察角的特點以及三角形中求出角和邊長，正余弦定理靈活應(yīng)用，./NG中，得PN=3也，

工PNM中,余弦定理得

小問1詳解】

依題意可知PG=而on，ZGPM=75，/PGM=45ZPMG=60

PG_PM

在，加G中，根據(jù)正弦定理,

sinZPMG~sinZPGM

所以需H居‘貝"2km?

【小問2詳解】

由題設(shè)知，在aPNG中NPNG=30,NPGN=120,

V6PN「

由正弦定理可得:——=-------，PN=3由,

sin30sin120

叢PNM中，ZMPN=ZGPM-ZGPN=45°，

由余弦定理得：MN2=PM2+PN2-2PM-PNcosZMPN

=22+(372)2-2x2x372x^=10，

所以兩山頂點M,N之間距離為JIUkm.

18.在VABC中，內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,b,c.>(Z?-a)(sinB+sinA)=(Z?-c)sinC,

(1)求A的值；

⑵若a=2,bc=4,求VABC的周長；

(3)設(shè)內(nèi)角A的平分線交3c于點。，AD=6求VA5C面積的最小值.

JT

【答案】(1)A=—；

3

(2)6;

(3)技

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；

(2)由(1)的信息，配方求出〃+c即可得解；

(3)利用三角形面積公式，結(jié)合基本不等式求出最小值.

【小問1詳解】

在7ABe中，由出一?)(sinB+sinA)=(Z?—c)sinC及正弦定理得(b-a)(b+a)=(b—c)c,

即廿+c2—a2=Ac，由余弦定理得cosA==上,而0<4<兀，

2bc2

TT

所以A=一.

3

【小問2詳解】

由(1)知，a2-b2+c2-be-(b+c)2-3bc,而a=2,Z?c=4,

解得b+c=4,所以VA3C周長的為6.

【小問3詳解】

由內(nèi)角A的平分線交BC于點O,AD=V3.SABC^SABD+SACD,

得工besin二=工c-ADsin—+—/?-ADsin—,即^bc=(6+c)AD=6(b+c),

因此秘=8+cN2癡，即》c24,當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=2時取等號,

則所以VA5C面積的最小值為若?

UUUUL1UULIUULUUUU1UUU1

19.如圖，在VABC中，AE=E5,CD=2￡>8,點。為AD和CE的交點，設(shè)5A=a,BC=6.

UUL111

(1)若_BO=%a+y〃，求的值；

⑵若E在AC上，OF±AC,且口=2忖=10,求t的取值范圍.

21

【答案】(1)x=：,y=%

【解析】

【分析】(1)利用平面向量線性運算，用基底6表示80,根據(jù)平面向量基本定理求出系數(shù)尢〃即可求解;

(