福建省龍巖市2025屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知向量2=(—3,0),b=(m,V3),且向量R與麗夾角為泰貝"升=()

A.1B.2C.3D.2V3

2.已知集合4={久22},集合B={y|y=，2丫-1,久e4卜則2nB=()

A.[0,+oo)B.[V3,+oo)C.[2,+oo)D.[3,+oo)

3.甲、乙、丙三家公司生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.三家公司的市場占有率如圖所示，且甲、乙、丙

三家公司產(chǎn)品的次品率分別為2%、1%和rn%.若市場上該產(chǎn)品的次品率為2%,則a=()

4.若函數(shù)y=cos(3x+q(3>0)的圖像向左平移g后得到一個奇函數(shù)的圖像，則3的最小

值為()

13

A.-B.1C.-D.3

42

5.已知正四棱臺“BCD-Z/iGA的上，下底面邊長分別為企和2魚.若該棱臺的體積為

芋，則該棱臺的外接球表面積為().

32

A.7nB.—nC.16TTD.19H

3

6.已知/(%)=當(dāng)aVbVc時,有f(a)>/(c)>/(b),則必有()

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.2-a<2CD.l<2a+2c<2

7.已知橢圓C:^+《=l(a>b>0)的左，右焦點分別為Fi，尸2,。為坐標(biāo)原點.若橢圓C上

的點M滿足|OM|=|M&|,|F聞=\MF2\,則橢圓C的離心率為()

A.2-V2B.V3-V2C.2-V3D.V3-1

8.已知函數(shù)/'(X)=2ax-ex2(a>0且a41),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)

的導(dǎo)函數(shù)為/(%).實數(shù)zn,幾滿足((TH)=((九)=0,f(m)>f(n),當(dāng)血>九時，實數(shù)。的

取值范圍為()

A.(0,1)B.0,1)C.(l,e)D.(e,+oo)

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z=1—bi,貝ij()

A.復(fù)數(shù)2的模長為2

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限

C.復(fù)數(shù)z是方程產(chǎn)―2%+4=0在復(fù)數(shù)集內(nèi)的解

D.若復(fù)數(shù)3滿足|3—Z|=1,則|3小=3

10.已知數(shù)列｛即｝的前幾項和為立,則()

A.若｛%J是等差數(shù)列,則S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列

B.若｛oj是等比數(shù)列,則S2,S4-S2,S6—S4成等比數(shù)列

C.若|an+i-an\=1,且%=1,則存在數(shù)列｛%J,使得S102=1

D.若九+i—an\=1,且的=1,則存在々GN*,使得SM+I=100

22

11.已知雙曲線。:靠一色=l(a>0,6>0)的左，右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,左、右頂點分別為

A,B.PQo，yo)為雙曲線C在第一象限上的點，設(shè)P4PB的斜率分別為自，七，且七?七=；?過

點P作雙曲線C的切線與雙曲線的漸近線交于M,N兩點，則()

A.禽的值隨著狗的增大而減小B.雙曲線C的離心率為f

C./t!+k2<V3D.\PM\=\PN\

三、填空題

12.在(2x+1尸的展開式中，各二項式系數(shù)的和與含久"T的項系數(shù)之比為1:16,則打的值

為.

13.在△ABC中，BC=2乃，。為2B邊上的點，且滿足4D=AC,BD=CD=3,貝iJcosA=

14.棱長均為近的四面體的頂點分別在四個互相平行的平面上.若相鄰兩平行平面的距離

都為d,則d的值為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.某項科研活動共進行了5次試驗，其數(shù)據(jù)如下表所示:

特征量第1次第2次第3次第4次第次

X258911

y1210887

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算相關(guān)系數(shù)r；

(2)求特征量y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測當(dāng)特征量》為12時特征量y的值.

參考公式：相關(guān)系蜘=?/式％;)也一歹)

b~%[(XT/一取戶”行2'yb

參考數(shù)據(jù)：-%)2=5V2,舊=式％-刃2=4,A/2?1.414.

16.已知數(shù)列｛%J的前n項和為立,且滿足nSn+1-(71+l)Sn=n(n+1),neN*,%=1.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)若媯=(-l)n-馬方，求數(shù)列｛.｝的前n項和與.

anan+l

17.如圖，在四棱錐P—4BCD中，P41平面ABCD,BC1CD,AB||DC,BC=CD=2,

AB=4,M,N分別為PB,PC的中點.

(1)設(shè)兩=4而，且H,A,M,N四點共面，求實數(shù)2的值；

⑵若平面4MN和平面PCD所成角的余弦值為手，求三棱錐C-4MN的體積.

18.已知曲線Ci：/=2py(p>0),點F為曲線G的焦點，點4為曲線的上一點，且方=

(福-1)?

(1)求曲線G的方程；

⑵設(shè)曲線。2：久2+y2-2y=0,若過點F的直線。與曲線Ci，C2從左到右依次相交于點C,M,

N,D.

(i)證明：|CM|?|N0|為定值；

(ii)若直線DO,C。(。為坐標(biāo)原點)分別交直線％：y=%-8于點G,H,求|G”|的最小值.

19.已知函數(shù)/fc(x)=e*-x+Incik-瞅，k=1,2,n.

(D若/fc(x)2°，k=1,2,n,求￡￡=1縱的值；

(2)若ak>l(keN*),集合M={x|九(x)=0,k=1,2,…,n},集合4B為M的子集，它們各

有n?個元素，且4nB=0.設(shè)/eA,i=1,2,n,且x1<x2<■■■<xn,yx>

丫2>…〉％，證明：Zt=i(,Xi+1)Oi+1)<n.

試卷第4頁，共4頁

《福建省龍巖市2025屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案BCCACDABACDAC

題號11

答案ABD

1.B

【分析】應(yīng)用平面向量夾角公式結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)公式計算求解.

【詳解】因為向量2=(—3,0),=(m,V3),且向量益與曲夾角為全

—3TH.1

所以cosg=化簡47n2=病+3

3xVm2+3-2,

所以―=1,則網(wǎng)=Vm2+3=2.

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、累函數(shù)的性質(zhì)求出集合8,再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】因為4={久|%22},

由工22,所以尹一1222-1=3,所以？=-2工一12次,

所以B={y\y=V2X-l,xeX}={y\y>V3},

所以aCl8=[2,+oo).

故選：c

3.C

【分析】利用全概率公式計算直接得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)從出廠產(chǎn)品中任取一件，它是次品為事件4

則PQ4)=50%X2%+25%X1%+25%Xm%=2%,

解得=3.

故選：C

4.A

【分析】由函數(shù)平移得出函數(shù)解析式，再由該函數(shù)為奇函數(shù)得出3=；+竽,k€Z,結(jié)合3>0

4Z

即可求解.

【詳解】函數(shù)y=cos(3%+的圖像向左平移§后得/'(%)=cos[口(％+g)+1=

答案第1頁，共15頁

COS（3%+^3+9，為奇函數(shù)，

所以如3+-=fcn+-/fcGZ=>a）=-+—,/cEZ,

332’42，

又3>0,所以3=-，

4

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)臺體體積公式可得臺體的高，即可利用勾股定理列方程求解半徑.

【詳解】在正四棱臺力BCD—ABiGDi中，AB=242,必當(dāng)=應(yīng)，體積為胃，高為八,

故竽=|（2+8+VTx8）h0h=痘,

則BD=］（2夜J+（2夜）2=4,BR=］（可+（夜J=2,

連接BD、4C相交于點E,BR、&Ci相交于點F,

設(shè)外接球的球心為。，若。在臺體外，

設(shè)。至I］底面4BCD的距離為d,

則半徑為R=y/EB2+0E2=J8/2+（h+OE）2,

即=Jl+（W+d）2,解得d=0,所以球心。與點E重合，

若。在臺體內(nèi)，。到底面48C。的距離為d,

則半徑為R=yJEB2+0E2=jB/2+（八一。耳）2,

即=+—d『，解得d=0,所以球心。與點E重合,

DiC,

綜上所述，h=EF=0F=由,故R=2,所以4TIR2=i6n.

答案第2頁，共15頁

故選：c.

6.D

【分析】根據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和a<b<c,且/(a)>/(c)>/(b),分析各

個選項即可.

【詳解】畫出的f(x)=|2X-1|圖象：

對于A,a<0,b<0,c<0不能同時成立，因為a<0,b<0,c<0時，函數(shù)單調(diào)遞減，得不

到/'(a)>/(c)>f(b),故A錯誤；

對于B,如圖，當(dāng)a<b<c時，有/'(a)>/(c)>/(b),貝肪可能小于零，也可能大于零，

故B錯誤；

對于C,如圖，當(dāng)—a>c>0時，2-。>2，，故C錯誤；

對于D,由圖象可知，a<0,c>0,所以

又f(a)>/(c),所以1-2a>2c-l,

所以1<2。+2c<2,故D正確.

故選：D.

7.A

【分析】如圖，利用勾股定理求得|M&|=V2c,結(jié)合|M&I=2c和橢圓的定義建立關(guān)于a,c

的方程，解之即可求解.

【詳解】如圖，過點M作MN，。/9垂足為N,

「o

由|M0|=|OM|,知|N6|=|ON|所以囚尸2|=/，而I&F2I=|M&I=2c,

22

所以|MN|=V|MF2|-\NF2\=?，則|M0|=J|MN|2+|N&|2=&c,

答案第3頁，共15頁

由橢圓的定義知，\MF±\+\MF2\=2a,即應(yīng)c+2c=2a,

所以橢圓的離心率為c=^=^=2-V2.

故選：A

8.B

【分析】由題意知/(%)的單調(diào)性，易判斷Q>1不符合題意，當(dāng)0V。<1時，將問題轉(zhuǎn)化為

函數(shù)y=ax\na,y=e%圖象在R上有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合的思

想即可求解.

【詳解】由尸(TH)=fr(n)=O,/(m)>f(n),m>n,

知九分別為f(%)的極大值點和極小值點，

所以/(%)在(-8,幾)、(7H,+8)上單調(diào)遞減，在(幾,7H)上單調(diào)遞增.

???/(%)=2ax一級2,.((%)=2ax\na—2ex,

則當(dāng)％€(-8,九)時，尸(%)V0,

若a>1且］<0時，尸(X)=2ax\na—2ex>0,與/'(%)<0矛盾，不符合題意，

故0<aV1.

令尸(%)=0=ax\na=ex,該方程有兩個不同的解，

則函數(shù)y=ax\na,y=e%圖象在R上有兩個不同的交點，

作出函數(shù)y=ax\na,y=ex的圖象，如圖，

設(shè)過原點且與曲線y=相切的直線為切點為(久°,a%。Ina),

x2aln

則y，=alna,所以a&ln2a=°^~°y解得%0=

，xo-Ouina

i

此時切線，的斜率為k=正司n2a=eln2a,

x

要使函數(shù)y=a\naty=e%圖象在R上有兩個不同的交點，

需e>eln2a,由0<a<1,解得1>a>工.

e

故選：B.

答案第4頁，共15頁

9.ACD

【分析】由向量模的運算即可判斷A；由向量的幾何意義即可判斷B；將z代入方程即可判

斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷D.

【詳解】對于A,\z\=\z\=Jl2+(-V3)2=2,故A正確；

對于B,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為(L-遮)，在第四象限，故B錯誤；

對于C,將z=1-代入方程，得(1-V3i)-2(1-V3i)+4=-2-2V3i-2+2百i+

4=0,故C正確；

對于D,設(shè)復(fù)數(shù)3對應(yīng)向量為麗=(x,y),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為方=(1,-73),

由|3—z|=1得，|而|=1,3對應(yīng)點在圓心為(1,—%)半徑為1的圓上，

所以I而Imax=I被I+I而I=2+1=3，即Q|max=3,故D正確；

故選：ACD.

10.AC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)分析判斷A；舉例判斷BC；根據(jù)數(shù)列特征及項的奇偶

性判斷D.

【詳解】對于選項A：是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

因—a】+a2,S4—S?—CI3+CI4=a1+a2+4d,S$—S4—CL^+CL^—a】+a2+8d

則204—S2)=Sz+(S6—S4)

所以S2,S4-S2,S6-S4,…成等差數(shù)列，故A正確；

對于選項B：例如與=(―l)n,則S2=^+^=—1+1=0,

可得S2,S4-S2,S6-S4不成等比數(shù)列，故B錯誤；

對于選項C：例如周期數(shù)歹Ul,0,—1,0,……，滿足la』—而|=1,且%=1,

此時Si。？=25x(1+0-1+0)+1+0=1,故C正確；

對于選項D：因為|即+1-斯|=1,且的=1,所以該數(shù)列的項奇偶交替，且為整數(shù)，

而前4k+1項包含2k+1個奇數(shù)，2k個偶數(shù)，這些項的和為奇數(shù)，而5狄+1=100為偶數(shù)，

矛盾，

故D錯誤；

故選：AC

11.ABD

【分析】利用三角形正弦定理來判斷A選項，利用坐標(biāo)來計算斜率得到相等關(guān)系可求離心

答案第5頁，共15頁

率，可判斷B選項，利用基本不等式可判斷C選項，利用雙曲線的切線方程來研究交點坐

標(biāo)，可判斷D選項.

【詳解】對于A,雙曲線靠—a=l(a>0,6>0)的左頂點為4(—a,0),右頂點為B(a,0),

漸近線為y=±《x，在APAB中，

由正弦定理可知震=%*=smg：?),

\PB\s\nz.PABs\nz.PAB

顯然兀-"BA,NP4B均為銳角且隨著X。的增大分別減小與增大，

即sin(兀-NPBA),sin"48隨著;to的增大分別減小與增大且均為正數(shù)，

.??翳的值隨著工。的增大而減小，故A正確；

對于B,由P(Xo，yo)，貝如。2=62(等—1),因為左頂點為4(—a,0),右頂點為B(a,0),

k.k___—_靖_〃(弟t)——

A--1fVO———--o

zQ9Qz9

%0+ax0—axo—>xo—a乙*

即與=：，所以2=f,e=g故B正確；

a24a22

對于C,顯然/q,0>0且七看上2，*''+k2>2-yJkrk2=V3,故C錯誤；

22

對于D,可設(shè)雙曲線C：3=l(k>0)，

在點p處的切線方程為等-岑=1,

4k3k

(=當(dāng)

聯(lián)立LJ'IX可得"M=:I?；，

xx11

Io_ypy_]3x0-2y/3y0

\4k3k~

聯(lián)立Iy=一『可得o=—

N

XQX_yoy_3x0+2V3y0

<4k3k-

.%+X_12k+12k_72kx_72kx

XmXn2020

-3x0-2y[3y0+3x0+2y/3y0-9x0-12y0-36fc

二點尸為線段MN的中點，即|PM|=|PN|,故D正確；

故選：ABD.

12.32

【分析】利用二項式展開式的通項公式和二項式系數(shù)和的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題可知各二項式系數(shù)的和為2%

由(2%+1嚴(yán)的展開式中的72=*(2x)nT=*2n-1針-1,

答案第6頁，共15頁

根據(jù)它們的比為1:16可得：=~=>~=~=^n=32,

Zlo?T1o

故答案為：32

13.-

9

【分析】應(yīng)用余弦定理計算得出cos/CDB,再結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計算求解.

【詳解】在^BDC中，BC=246,BD=DC=3,

由余弦定理得出COS/CDB=9+924=_1=—COS/.CDA,

2X3X33

在△4DC中，AD=AC,

所以NADC=^ACD,則cos4=-cos2zXDC=-(2cos2zXDC-1)=-(2cos2zCDB-1)=

-(2*1)=彳

故答案為：：

14.季夜

22

【分析】在正方體中作出正四面體。-ABC,作其中過C,0,4三個頂點的互相平行的平面，

由于相鄰平面間距離都相等，根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.

【詳解】在正方體中作出正四面體。-28C,

作其中過C,0,4三個頂點的互相平行的平面，如圖：

由于相鄰兩平行平面間距離都相等，不妨求平面AESK與平面。MNQ間的距離,

其中M,N,E,S為正方體棱上的中點，

過E作EF1?！庇贔,貝IJEF即為兩平行平面間的距離，

因為tan/FOE=tan(--NLOF)=---=2,

\2)tanzLOF

所以sin/FOE=2=半，所以EF=OEsin^FOE=卓x竺=必，

V552V252

即相鄰平行平面間的距離為了.

答案第7頁，共15頁

故答案為：乎.

15.(l)r?-0.99

(2)y=-0.56%+12.92,y=6.2

【分析】(1)根據(jù)題意，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計算公式即可求解；

(2)根據(jù)題意即可求解y關(guān)于％的線性回歸方程，再將特征量%為12代入即可求解.

【詳解】(1)由題意得元=：2乙/=F=7,y=|Ef=iyi=y=9,

卻=1(勺—x)(y[—y)=SF=ixi%—5xy=2x12+5x10+8x8+9x8+11x7—5x

7x9=-28,

2：=式勺_君2=50,2：=式％_刃2=16,

???相關(guān)系數(shù)廠￡之4％「北)Qi-歹)_-28_-7_X_Q99

反=13-叫隗心廣》)2V50x16‘近

⑵由⑴知，[生需滬=需=一。.56,

???a=y—bx=9—(—0.56)x7=12,92,

???所求的線性回歸方程是y=-0.56%+12.92.

當(dāng)特征量%為12時，可預(yù)測特征量y=-0.56X12+12.92=6.2.

16.(l)an=2n—1；

(2)rn=-i+(-ir—.

【分析】(1)構(gòu)造法判斷｛手｝為等差數(shù)列，并寫出其通項公式，再應(yīng)用a“Sn關(guān)系求｛&J的通

項公式;

(2)應(yīng)用裂項相消法求

【詳解】(1)由TiSn+i—(71+1)SJJ=n(n+1),TIGN*,得—優(yōu)=1,又a1=1,

??.數(shù)歹喑｝是首項為+=%=1,公差d=1的等差數(shù)歹！J,

中=71,即S九=彥，

22

當(dāng)九>2時，an=Sn-Sn_1=n-(n-l)=2n-1,且臼=1也滿足,

an=2n-l,則數(shù)列｛。九｝的通項公式為a九=2九一1；

(2)由(1)得a九=2n-1,

4n/11\

=(T)KI)(2E=島+g)

答案第8頁，共15頁

?F=—（l+g+G+f—（H+…+（T）”（++念）=T+（T）n*.

17.（1）2=|

延

【分析】（1）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，利用共面向量基本

定理建立方程組求解即可；

方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，求出平面4MN的法向量，然后

利用本AH=0建立方程求解即可；

方法三：延長交CD于S,連接S4利用線面平行判定定理證明MNII平面4BCD,然后利

用線面平行的性質(zhì)定理得四邊形48CS是平行四邊形，利用比例相等求解即可；

（2）求出平面CDP的法向量，然后利用向量法表示二面角的平面角，求解尸4=2,

方法一:利用向量法求三棱錐C-AMN的高,然后求出SAAMN=當(dāng)利用錐體體積求解即可；

方法二：先利用線面平行的性質(zhì)定理得BC||平面4MN,然后利用等體積法,轉(zhuǎn)化為求解力TBC

即可.

【詳解】（1）方法一：坐標(biāo)法（利用共面向量基本定理）

在平面ABCD內(nèi)作2S1AB,以4為原點，AB,AS,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P4=2a,???AB\\DC,BC=CD=2,AB=4,BC1CD,

???S(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),D(2,2,0),PD=(2,2,-2a),

又”M,N分別為PB,PC的中點，

???AM=(2,0,a),麗=(2,1,a),

AH=AP+XPD=(0,0,2a)+2(2,2,-2a)=(22,2A,2(1-A)a),

???AH,AM,而共面，二存在實數(shù)％,y,使得京=+y而,

答案第9頁，共15頁

即(22,22,2(1—2)a)=久(2,0,a)+y(2,l,a)=(2x+2y,y,ax+ay),

2A=2x+2y

24=y,解得4=I；

.2(1—A)a=ax+ay

方法二：坐標(biāo)法(利用法向量)

在平面ABCD內(nèi)作ASLAB,以4為原點，AB,AS,AP所在直線分別為x軸,，z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PA=2a,???ABWDC,BC=CD=2,AB=4,BC1CD,

???B(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),D(2,2,0),PD=(2,2,-2a),

■■■AH=AP+APD=(0,0,2a)+2(2,2,—2a)=(22,2A,2(1-A)a),

又；M,N分別為PB,PC的中點，

???AM=(2,0,a),AN=(2,1,a),

設(shè)平面AMN的法向量為元=(x,y,z),

fn-AM=2x+az=0

y=0,令z=2得x=-a,

(ft-AN—2x+y+az=0

n=(—a,0,2),

又???AH,AM,詢共面,

n'AH=-2uA+4(1-2.)a=0,解得4=—；

方法三：幾何法：延長NH交CD于S,連接S4

N分別為PB,PC的中點，MNWBC,

MN0平面4BCD,BCu平面4BCD,

答案第10頁，共15頁

又?:AS=平面AMNHC平面ABC。,

MNWSA,???BCWSA,又：ABWCD,

???四邊形ABCS是平行四邊形，

AB=CS,CD=DS,

過N作N7IICD交PC于7,PT=TD,

V-空一空NT一1,PH_2

?HDDSCD2PD~3

(2)方法一：由(1)得元=(—a,0,2),

又???DC=(2,0,0),DP=(-2,-2,2a),

設(shè)平面CDP的法向量為沆=(x,y,z),

.??[一—J71，—2%-。,解得％=o,令z=1得y=a,

[m-DP=-2x—2y+2az=0

.??m-(0,a,1),

設(shè)平面/MN和平面COP所成的角為巴

)\n-m\2VTo

■'8s9=何=<a2+4Va2+1=V

整理得a4+a2—6=0,

a>0,a=1,即PA=2；

方法一：利用向量法求三棱錐C-ZMN的高,

設(shè)點C到平面4MN的距離為d,d=卑="，

1n15

???PA1平面4BCD,又；BCu平面ABCD,???PA1BC,

又；BC1CD,BAC\PA=A,BA.PAu平面28P,

BC_L平面4BP,

又：M,N分別為PB,PC的中點，

答案第11頁，共15頁

???MNWBC,MN=|BC=1,

MN_L平面4BP,又；4Mu平面4PB,MN1AM,

又?：PA1AB,AB=4,PA=2AM=BM=-BP=V5,

2

則S"=1AM-MN=等

所以%-4MN=]SA4MN.d=『W.曰=I；

方法二：幾何法：???M,N分別為PB,PC的中點，.?.8CIIMN,

???MNu平面AMN,BCc平面AMN,；.BC||平面AMN,

111

^C-AMN=^B-AMN=^N-ABM=~^C-ABM=J^C-PAB=^P-ABC9

■：S&ABC=jx2x4=4,PA1平面ABC,PA=2,

^C-AMN=]X§X4X2=

(2)(i)證明見解析；(ii)詈

【分析】(1)利用拋物線上的點滿足的條件列方程，求解即得;

(2)(i)先確定C2的圓心為F(O,1),設(shè)直線。方程為y=kx+1并與/=4y聯(lián)立，寫出韋達

定理，根據(jù)拋物線定義求得|CF|和繼而可證得|CM|?|ND|；(ii)將直線C。的方程與

直線y=%-8聯(lián)立求得知=同理得久G=3》，求得|GH|=32；妾：1,利用4k-3=t

換元后借助于二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出|GH|的最小值.

【詳解】⑴因1(0,)設(shè)A值,芋)，則同=(如,_§=(低_；)，

%]=V3

即在v_1,化簡得：2P2—p—6=0,解得p=2或p=—|(舍)，

-2p2~4

???拋物線Ci的方程為％2=4y.

(2)(i)由％2+y2—2y=0得。2：%2+(y-1)2=1,圓心(0,1),半徑為1,

答案第12頁，共15頁

拋物線Cl的焦點與。2的圓心重合，即為尸(0,1),

顯然，直線斜率存在，設(shè)直線"方程為y=fcc+L設(shè)點CQi，%)、D(x2,y2),

聯(lián)立方程,消去y并整理得/—4收—4=0,

A=16(/+1)>0,由韋達定理得%1+冷=4匕%i%2=-4.

2+

由拋物線的定義可知|CF|=月+1,|。尸|=丫1，％i<0，x2>0.

???\CM\-\ND\=(|CF|-1)-(|OF|-1)=y/2=誓=察=1，

即|CM|?|MD|為定值1；

(i)xx2=2

(ii)由可知：\xr—x2\=-7(i+2)~~4%I%24Vfc+1.

xi2

喙=言=1=藍(lán)，則直線C。的方程為曠=十%,

y=￡;可得知=言,

由

y=X—O4%1

y=「久可得打=產(chǎn)，

同理直線D。的方程為y=??久，由

4

.y=-84-亞

.-?\GH\=VTTP-\x-x\=V2I————I=32V2-I——-I=32產(chǎn)

HG14Tl4T21I久1%2-4(%1+%2)+16||4fc-3|

設(shè)4/c-3=3tWO,：.k=—,

4

32V2j(-)2+lV2-Vt2+6t+25p：(25.6,.R.3,,16

；?|GH|=8=8o迎?〔衣+2+1=8O&125(￡+元)2+元

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)研究其單調(diào)性，進而得到加(0)=也%—縱+1=0,構(gòu)造拉(乃=

In%-％+1研究其零點得以=1,即可得；

(2)由題意方(無)有一個零點％=Inap記G=Ina”at>1,在?？谄咭患?)上一個零點,

記為山,并有Inaj—見<a<0<q=Inttj,根據(jù)已知M至少有2幾個元素，M=

答案第13頁，共15頁

{q,di，C2，d2,且包含ri個正數(shù)，幾個負(fù)數(shù)，利用集合性質(zhì)得2憶1左％<0，由零點得

Cix

e~ct=e由一dt,構(gòu)造g(