福建省龍巖市2025屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知向量乙=(一3,0),B=(m,后,且向量口與B的夾角為4,則[6|=()

3

A1B.2C.3D.2-73

【答案】B

【解析】因?yàn)橄蛄俊?(-3,0),B=市),且向量a與B的夾角為三，

JIAb—3m1

所以8s丁麗二八KT5,化簡4療的2+3

所以m2=1，則W=,)2+3=2.

故選：B.

2.已知集合4={%|%22},集合3=卜|丁=亞口,%64，則4口3=()

A.[0,+oo)B.[V3,+oo)C.[2,+CO)D.[3,+oo)

【答案】C

【解析】因?yàn)锳={x|x22},

由xN2,所以2工一122?—1=3，所以y=JF=1之外，

所以3=卜|y='2工_1,X6.={y|y2g,

所以AcB=[2,y).

故選：C

3.甲、乙、丙三家公司生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.三家公司的市場占有率如圖所示，且甲、乙、丙

三家公司產(chǎn)品的次品率分別為2%、1%和加％.若市場上該產(chǎn)品的次品率為2%,則

m=()

D.4

【答案】C

【解析】設(shè)從出廠產(chǎn)品中任取一件，它是次品為事件A,

貝”（A）=50%x2%+25%xl%+25%xm%=2%,

解得m=3.

故選：C

4.若函數(shù)y=cos[0x+gJ（0〉O）的圖像向左平移g后得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則。

的最小值為（）

13

A.—B.1C.—D.3

42

【答案】A

【解析】函數(shù)y=cos[s+3的圖像向左平移g后得

/（X）=cos10[x+g）+m=cos（cox+g0+m），為奇函數(shù)，

二匚2兀兀7717r13k,

rn以——G+—=EH——>k=（o=—?-----,keZ，

33242

又69>0,所以69=—,

4

故選：A.

5.己知正四棱臺ABCD-ABiG，的上，下底面邊長分別為及和2后.若該棱臺的體

積為此叵，則該棱臺的外接球表面積為（

3

32

A.7兀B.—71C.16兀D.16兀

【答案】C

【解析】在正四棱臺ABCO—A4GQ中，AB=2皿，44=應(yīng)，體積為當(dāng)1,高為

h,

故肛

-(2+8+，2義8)〃=>丸=y/3，

33、

連接3D、AC相交于點(diǎn)E，BR、AG相交于點(diǎn)尸，

設(shè)外接球的球心為。，若。在臺體外,

設(shè)0到底面ABCD的距離為d，

則半徑為R=S/EB^+OE2=JB尸+(//+0E『,

即/=Jl+(G+d)2，

解得d=0,所以球心。與點(diǎn)E重合,

若。在臺體內(nèi)，。到底面A3CD的距離為d,

則半徑為R=[EB?+OE。={BF+（h—0E）2，

即“+/=+—，解得d=0,所以球心。與點(diǎn)￡重合,

綜上所述，h=EF=OF=6故R=2，所以4成2=16兀.

故選：C.

6.已知/（%）=|2*-1|,當(dāng)a<Z?<c時(shí)，有，則必有（）

〃<。/<。,

A.c<0B.a<0,b>0fc>0

C.2Ta<2CD.l<2a+2c<2

【答案】D

【解析】畫出的/(x)=|2-l|圖象：

對于A,。<08<0,。<0不能同時(shí)成立，因?yàn)椤?lt;03<0,c<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，得

不到/(。)>/(。)>/伍)，故A錯誤；

對于B,如圖，當(dāng)a<匕<c時(shí)，有/(a)>/(c)>/0),則b可能小于零，也可能大于

零，故B錯誤；

對于C,如圖，當(dāng)—a>c>0時(shí)，2-“>20，故C錯誤；

對于D,由圖象可知，?<0,c>0,所以0<2"<l,2c>l,

又/(a)>/(c)，所以1一2">2°-1，

所以1<2"+2c<2，故D正確

故選：D.

22

7.己知橢圓C:工+3=1(?！等恕?)的左，右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)],。為坐標(biāo)原點(diǎn).若

ab

橢圓C上的點(diǎn)〃滿足閨鳥|=|叫|,則橢圓C的離心率為()

A.2-72B.73-72C.2-百D.73-1

【答案】A

【解析】如圖，過點(diǎn)M作肱V，。與，垂足為N,

^\MF\=\OM\,知|N制=|ON|=,所以|N用=》，而出閭=眼閭=2c,

所以阿N|=閭2—|N閭2=半,則阿耳|=yj\MNf+\NFxf=0c，

由橢圓定義知，I"胤+|也"|=2a,即J5c+2c=2°,

所以橢圓的離心率為e=亍=尚+2=2-0.

故選：A

8.己知函數(shù)/(x)=2優(yōu)—e/(。>0且awl),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)

/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/"(X).實(shí)數(shù)m,，滿足/'(M=/'5)=0,/(m)>/(n),當(dāng)m>n

時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.B.［：/］C.(l,e)D.(e,+co)

【答案】B

［解析1由f'(m)=/'(〃)=0,/(m)>f(n),m>n,

知加，〃分別為/(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，

所以/(%)在(Y,")、(見”)上單調(diào)遞減，在(n,m)上單調(diào)遞增.

f(x)-2ax—ex2,f'(x)-2axIna-2ex,

則當(dāng)尤w(-00,")時(shí)，f\x)<0,

若a>l且］<0時(shí)，/(x)=2a1na—2ex〉0,與/''(x)<0矛盾，不符合題意，

故0<a<l.

令r(x)=0n優(yōu)Ina=ex,該方程有兩個(gè)不同的解,

則函數(shù)y=a*lna,y=ex圖象在R上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

作出函數(shù)丁=a*lna,y=ex圖象，如圖,

設(shè)過原點(diǎn)且與曲線y=相切的直線為/,切點(diǎn)為（%,優(yōu)。Ina）,

In/7Q1

則）/=々％]112々，所以〃M]n2q=--------,解得/=----,

x0-0In〃

此時(shí)切線I的斜率為左“土命a=eh?a,

要使函數(shù)y=a*Ina,y=ex圖象在R上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

需e>eln2a,由0<a<l,解得1>。>—.

e

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的

選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有

選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z=l—gi，則（）

A.復(fù)數(shù)2的模長為2

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.復(fù)數(shù)z是方程%2一2%+4=0在復(fù)數(shù)集內(nèi)的解

D.若復(fù)數(shù)。滿足|/一Z|=l,則|0|max=3

【答案】ACD

【解析】對于A,同=|z|=J+（_&j=2,故A正確；

對于B,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-石），在第四象限，故B錯誤;

對于C,將Z=1-曲代入方程，得

（1—Gi『—2（1—6i）+4=—2—2"—2+2百i+4=0,故C正確；

對于D,設(shè)復(fù)數(shù)0對應(yīng)向量為麗=（%?）,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為無=（1,-百卜

由|0—z|=l得，|方可=1,0對應(yīng)點(diǎn)在圓心為[,—十）半徑為1的圓上，

uuiruimIuuir

所以O(shè)W=OZ\+ZW=2+1=3,即|0』=3,故D正確；

maxI

故選：ACD.

10.已知數(shù)列｛4｝的前，項(xiàng)和為S“，則（）

A.若｛a.｝是等差數(shù)列，則52,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列

B.若｛4,｝是等比數(shù)列，則S2，S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列

C.若|。”+]且%=1,則存在數(shù)列｛4｝,使得$102=1

D.若|%+1—%|=1，且％=1,則存在左eN*，使得5如=100

【答案】AC

【解析】對于選項(xiàng)A：｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

因?yàn)?(2=〃]+a2，一S?=/+%=Q]+%+4d,-5*4=/+6=[+/+8d

則2(84—82)=82+(56—84)

所以邑，S4-S2,$6-S4,…成等差數(shù)列，故A正確；

對于選項(xiàng)B：例如an=（―1）”,則S2=q+〃2=-1+1=。，

可得邑,S4-S2,$6-S4不成等比數(shù)列，故B錯誤；

對于選項(xiàng)C：例如周期數(shù)列1,0,-1,0,1,0,—1,0,……，滿足I4+1—a,J=l,且%=1,

此時(shí)Hu=25x（1+?！?+0）+1+0=1,故C正確；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)閨%+1-%|=1，且％=1,所以該數(shù)列的項(xiàng)奇偶交替，且為整數(shù)，

而前4k+1項(xiàng)包含2左+1個(gè)奇數(shù)，2左個(gè)偶數(shù)，這些項(xiàng)的和為奇數(shù)，而Sm+i=1°0為偶數(shù)，

矛盾,

故D錯誤;

故選：AC

22

11.已知雙曲線c：二—斗=1（?！?力〉0）的左，右焦點(diǎn)分別為K，歹2,左、右頂點(diǎn)分

ab

別為A,B.P（%,%）為雙曲線。在第一象限上的點(diǎn)，設(shè)上4，的斜率分別為匕，

3

左2,且4?&過點(diǎn)尸作雙曲線C的切線與雙曲線的漸近線交于〃，N兩點(diǎn)，則

（）

\PA\B.雙曲線C的離心率為五

A.茜的值隨著/的增大而減小

2

C./+左2W\/3D.\PM\=\PN\

【答案】ABD

【解析】對于A,雙曲線烏―1=1（。〉〉0）的左頂點(diǎn)為A（—a,0），右頂點(diǎn)為8（。,0）,

b

漸近線為y=±—x,在AP4R中,

a

\PA\sinNPBAsin（7i—NPBA）

由正弦定理可知

\PB\sinZPAB~sinZPAB

顯然兀-NPR4,/上旬均為銳角且隨著飛的增大分別減小與增大,

即sin（兀-NPBA）,sinZPAB隨著/的增大分別減小與增大且均為正數(shù),

二的值隨著玉的增大而減小，故A正確；

對于B,由P（的%），則為2=廿一T，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為4—。,0）,右頂點(diǎn)為

ka7

8（。,0）,

（尤2、

2

2b烏7,

k卜一%_%_va）_b

收一。仁—熱丁

即乙=2,所以2=且，e=叵,故B正確；

a24a22

對于C,顯然％i，左2>。且女產(chǎn)女2，.二（+左2>2dhik?=g，故C錯誤;

22

對于D,可設(shè)雙曲線C：^乙=1（左〉0）,

4k3k

在點(diǎn)尸處的切線方程為訝匹-9=1,

4k3k

[6

丁=虧工12k

聯(lián)立《可得X“二^—不行—，

xoxy（）y34_2,3%

Ak^k~

[6

y=_f-x12k

聯(lián)立《可得樂=Q°A，

空—%z=]3%+2,3%

Ak^k~

_12k12k_72kx°_72Ax0_

一%+赤—3%-26%+3%+26%―9%2―12%2—36k—%（

二點(diǎn)尸為線段MV的中點(diǎn)，即|PM|=|PN|,故D正確；

故選：ABD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在（2x+l）"的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和與含靖t的項(xiàng)系數(shù)之比為1:16,則〃的值

為.

【答案】32

【解析】由題可知各二項(xiàng)式系數(shù)的和為2"，

由（2x+爐的展開式中的7；=C：（2x）J=C：2"T,

2”12

根據(jù)它們的比為1:16可得:->--=—=>H=32

C；2T--16----n16

故答案為：32

13.在“BC中，BC=2屈,。為A8邊上的點(diǎn)，且滿足45=AC，

BD=CD=3,貝!JcosA=

7

【答案】-

【解析】在△BDC中，BC=2y[6,BD=DC=3,

9+9-241

由余弦定理得出cos/CDB=--------=——=-cosZCDA,

2x3x33

在八40。中，AD=AC,

所以NADC=NACE>,則

cosA=-cos2ZADC=-(2cos2ZADC=2cos2ZCDB-1)=-I2x-1-lU|

7

故答案為：—

14.棱長均為正的四面體的頂點(diǎn)分別在四個(gè)互相平行的平面上.若相鄰兩平行平面的距離

都為d,則d的值為

【答案】也

2

【解析】在正方體中作出正四面體O-A3C,

作其中過C,。，A三個(gè)頂點(diǎn)的互相平行的平面，如圖:

由于相鄰兩平行平面間距離都相等，不妨求平面AESK與平面OMNQ間的距離,

其中M，N,E，S為正方體棱上的中點(diǎn)，

過E作歷，。暇于尸，則EF即為兩平行平面間的距離,

因?yàn)閠anZFOE=tan|-ZLOF

tan/LOF

2_275

所以sinNFOE=45=~r

所以EE=OEsinNFOE=^x^=—,

2V252

即相鄰平行平面間的距離為變.

2

故答案為：—.

2

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

15.某項(xiàng)科研活動共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如下表所示：

特征量第1次第2次第3次第4次第次

X258911

y1210887

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)廠；

（2）求特征量）關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測當(dāng)特征量X為12時(shí)特征量y的值.

參考公式：相關(guān)系數(shù)一=/.I,

'J------------=號----------，a=y-bx.

i=\i=l

參考數(shù)據(jù)：肩—)2=50，JE(X-y)2=4.V2-1.414.

5

]535145

解：(1)由題意得亍=￡三七=彳=7,9=工￡%=彳=9,

3i=i33z=i3

55

￡(七一元)(%—9)=—5回=2x12+5x10+8x8+9x8+11x7-5x7x9=-28,

Z=1J=1

55

￡(圖-可2=50,X(x-y)=16,

Z=1Z=1

5

Z&-元)(%-歹)

i=l-28二a-0.99

?.?相關(guān)系數(shù)廠=

750x165V2

應(yīng)—)2但5H

Vi=lVi=l

5

,2(%-丁)(％-可_28

(2)由(1)知，b――一；-------------==—0.56,

2a一葉50

；=1

，a=y—g元=9—(—0.56)x7=12.92,

所求的線性回歸方程是y=-0.56x+12.92.

當(dāng)特征量了為12時(shí)，可預(yù)測特征量y=-0.56x12+12.92=6.2.

16.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S"，且滿足"S"+i—5+l)S“="5+1),〃eN*，

Q]=1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

2a+2

(2)若4=(T)",—,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

anan+l

解：(1)由〃S〃+]—S+l)S〃=〃5+l),〃￡N*，得——」=1,又。]=1,

n+1n

數(shù)列是首項(xiàng)為1=6=1,公差d=1的等差數(shù)列，

s

...」=〃，即，=后9,

n

當(dāng)2時(shí)，4=S〃—Ei="2_(〃_1)2=2“—1,且4=1也滿足，

=2”—1,則數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式為=2”-1；

(2)由(1)得=2H-1,

4〃11

?M=(T)'--------------------1------

(2〃-1)(272+1)2幾一12〃+1

11]

-----------F=-1+(-1)"

2n-l2n+l2,n+1

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，R4J_平面ABCD,BC±CD,AB//DC,

BC=CD=2,A8=4，M，N分別為PB,PC的中點(diǎn).

P

（1）設(shè)兩=44,且A,M.N四點(diǎn)共面,求實(shí)數(shù)X的值;

（2）若平面和平面尸支所成角的余弦值為巫，求三棱錐C-的體積.

5

解：（1）方法一：坐標(biāo)法（利用共面向量基本定理）

在平面43。內(nèi)作人5,43,以A為原點(diǎn)，AB，AS,"所在直線分別為％軸，丁

軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)Q4=2a,-.AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BCLCD,

.?.5(4,0,0),C(4,2,0),尸(0,0,2a),￡>(2,2,0),而=(2,2,—2a),

又???M，N分別為PB,PC的中點(diǎn)，，麗7=(2,0,a),AN=(2,1,a),

-,-AH=AP+APb=(0,0,2a)+2(2,2,—2a)=(22,22,2(1-2)a),

AH-AM>前共面，，存在實(shí)數(shù)x,y,使得由=+y麗

即(22,22,2(1-A)a)=x(2,0,a)+y(2,1,a)=(2x+2y,y,ax+ay),

22-2x+2y

2

24=y，解得力=—；

3

2(1-A)a=ax+ay

方法二：坐標(biāo)法（利用法向量）

在平面ABC。內(nèi)作AS，A3,以A為原點(diǎn)，AB，AS,"所在直線分別為％軸，V

軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)B4=2a,-.-AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BC上CD,

.?.8(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),￡>(2,2,0),而=(2,2,—2a),

\-AH=AP+APD=(0,0,2a)+2(2,2-Id)=(22,22,2(1—4)a),

又?；M，N分別為PB,PC的中點(diǎn),

AM=(2,0,a),麗=(2,1,a),

設(shè)平面AMN的法向量為n=(x,y,z),

n-AM-2x+az-0

：?<_.,y=。，令z=2得x=-a,

n-AN=2%+y+az=0

n=(-a,0,2),

又,：&i，AM版共面，

—.2

n-AH=-2aA+4(1—X)a=0,解得A=—；

方法三：幾何法：延長NH交CD于s,連接S4,

VM，N分別為PB,PC的中點(diǎn)，AMN//BC,

MN/平面ABCD,BCu平面ABC。，

兒W〃平面ABCD,

又,:AS=平面AMNHP|平面ABCD,

：.MN//SA,BC//SA,又

二四邊形ABCS是平行四邊形，

AB=CS,:.CD=DS,

過.N作NT〃CD交PD于T,PT=TD，

HTNTNT_1.PH2

---------,??/L------

HDDSCD2PD3

(2)方法一：由(1)得行=(一。,0,2),

又?凱=(2,0,0),DP=(-2,-2,2a),

設(shè)平面CDP的法向量為m=(x,y,z),

m-DC=2x=Q

\,解得x=o,令z=i得

m-DP=—2x—2y+2az=0

/.m=(0,(2,1),

設(shè)平面AMN和平面CDP所成的角為凡

八\n-m\2JIU

?.?cos￡=--------==-----,

r2

\n\\m\y/a~+4yla+l5

整理得/+/—6=0,

,二。>0,.,.a=l>BPPA=2；

方法一：利用向量法求三棱錐C-AMN的高，

???平面AMN的法向量為為=(—L0,2),AC=(4,2,0),

設(shè)點(diǎn)C到平面AMN的距離為d,:.d=|AC'/?I=述,

I利5

QA，平面ABCD,又5Cu平面ABCD,..1%_LBC,

又；BCLCD,BAr>PA=A，BA>Q4u平面ABP，

■??3。，平面45尸，

又〈M，N分別為PB,PC的中點(diǎn)，

MN//BC,MN=-BC=\,

2

MN,平面ABP，又,?,AMu平面APB，二上WLAM,

又??,JR4，AB,AB=4，PA=2:.AM=BM=-BP=45,

2

則%"N=gAM.“N=￥,

所以、/-1c?一14石石一2

所以LAMN=2S\AMN.d=].Y=J；

方法二：幾何法：???M，N分別為PB,PC的中點(diǎn)，」.BC〃1W,

??,MNu平面AAW,3。,平面4^,，3。〃平面41加，

YSMBC='x2x4=4，出,平面ABC，PA=2,

T,11,C2

?'-^C-AMN

18.己知曲線￡：x2=2py（p〉0）,點(diǎn)尸為曲線Cj的焦點(diǎn)，點(diǎn)A為曲線C1上一點(diǎn)，且

（1）求曲線Cl的方程;

⑵設(shè)曲線。2：/+/—2y=o,若過點(diǎn)尸的直線4與曲線。1，從左到右依次相交

于點(diǎn)C,M，N,D.

（i）證明：|QW|?|ND|為定值；

（，i）若直線。。，co（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線，2：y=x—8于點(diǎn)G,H,求IGH|

的最小值.

解：（1）因尸（0,“），設(shè)A&,則FA=(X],在一4)=(后一,),

22p24

3

1化簡得：2P2_p_6=0,解得。=2或“=一一（舍）,

“2

，拋物線C］的方程為f=4y.

(2)(i)由/+y2—2y=0得。2：/+(>_1)2=1,圓心(0,1),半徑為1,

拋物線C1的焦點(diǎn)與C2的圓心重合，即為F（0,l）,

顯然，直線斜率存在，設(shè)直線4方程為y=Ax+l,設(shè)點(diǎn)。（%,%）、D（W，%），

v=kx+1

聯(lián)立方程12“，消去y并整理得必―4區(qū)—4=0，

/=16（左2+1）>0,由韋達(dá)定理得%+%=4左，=-4.

由拋物線的定義可知|CF|=%+1,\DF\=y2+l,%1<0,x2>0.

(

：.\CM\-\ND\=(\CF\-\)-(\DF\-V)=yiy0=^=^=\,

lolo

即|CM|?|ND|為定值1；

(ii)由⑴可知：|%1二j(再+%2)2=4,女2+1.

再2

1_弘_工_玉，則直線CO的方程為y=五?x,

cco--—~~r4

xx4

y=--x32

由＜-4可得//=;----

Ux-84|f

y---x32

同理直線DO的方程為y=2?%，由＜4可得%=；------

|y=x—8…1

3232須-x3272-V^+l

.-.|G/7|=V1+12-|X-X|=V2=3252

HG一玉

44—x?xxx2-4(^+X2)+16|4^-3|

設(shè)4左一3=，，/wO,k=,

4

32萬J(丁『+18萬戶

4.'+3_3”

4

=8A/2?J^+1+l=8A/2-,25(；+福-￡

19.已知函數(shù)/(x)=e*-x+lna*-久，k=L2,…，n.

n

(1)若4(x)2。，k=l,2,…，〃，求￡%的值;

k=l

(2)若以>1(keN*),集合/={x，(x)=O,左=1,2,…,集合A,8為M的子

集，它們各有〃個(gè)元素，且4口3=0.設(shè)玉eA,y,eB,z=l,2,…，〃，且

n

xt<x2<...<xn,證明：2(%+1)(%+1)<”-

i=l

⑴解：：

當(dāng)龍<0時(shí)，力'(九)=/—1<0，當(dāng)x>o時(shí)/'(x)=e“—1>0，

???力(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0